?2023年09月01日實事求是的初中數學組卷
一．選擇題（共28小題）
1．如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G分別在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF與EG交于點P．連接DP，則DP的最小值為（　?。?br />
A． B． C． D．
2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為AD的中點，且OE＝3，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．9 B．12 C．18 D．24
3．四邊形ABCD是平行四邊形，下列說法錯誤的是（　?。?br />
A．當AB＝CD時，四邊形ABCD是矩形
B．當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形
C．當∠BAD＝90°時，四邊形ABCD是矩形
D．當AC平分∠BAD時，四邊形ABCD是菱形
4．已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．下列補充條件中，能判定這個平行四邊形是菱形的是（　?。?br /> A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB
5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E、F分別是邊CD、AD的中點，連接BE、BF，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（　?。?br />
A．5 B． C． D．2
6．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝80°，則∠CBD的度數為（　?。?br />
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．下列說法正確的是（　?。?br /> A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．四個角都相等的四邊形是正方形
C．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
D．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以斜邊AB、直角邊BC為邊作正方形ABDE和正方形BFGC．若正方形ABDE的面積為36，AC＝5，則正方形BFGC的面積為（　?。?br />
A． B．11 C． D．31
9．如圖，已知菱形ABCD的周長是20cm，對角線AC的長是8cm，則這個菱形ABCD的面積是（　?。?br />
A．2cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
10．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分線交AB于點E，交對角線AC于點F，則∠CDF的度數為（　?。?br />
A．45° B．30° C．25° D．15°
11．一元二次方程的一次項系數是（　?。?br /> A．2 B． C． D．﹣3
12．一元二次方程x2＝5x的解為（　?。?br /> A．x1＝0，x2＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝5 D．x＝5
13．已知關于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，則k的值應為（　?。?br /> A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能確定
14．關于x的方程2x2+6x﹣7＝0的兩根分別為x1，x2，則x1+x2的值為（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C． D．
15．若a，b是菱形ABCD兩條對角線的長，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個根，則菱形ABCD的周長為（　?。?br /> A．16 B． C． D．20
16．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正確的是（　?。?br /> A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
17．方程（x+3）2＝4的根是（　?。?br /> A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
18．某商品原價200元，連續(xù)兩次降價后售價為128元，若每次降價的百分率為a，下列所列方程正確的是（　?。?br /> A．200（1+a）2＝128 B．200（1﹣a）2＝128
C．200（1﹣2a）2＝128 D．200（1﹣a2）＝128
19．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列變形正確的是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
20．已知方程x2+mx+3＝0的一個根是1，則m的值為（　?。?br /> A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
21．等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，則k的值為（　?。?br /> A．7 B．3 C．4 D．3或4
22．關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0無實數解，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
23．地理生物中考在即，有一個團隊有x人，每兩人都互相送對方寄語卡片一張，為彼此加油打氣，全團共贈送了56張，根據題意列出的方程是（　?。?br /> A． B．
C．x（x﹣1）＝56 D．x（x+1）＝56
24．有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則可列方程得（　?。?br /> A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
25．有五條線段，長度分別是2，4，6，8，10，從中任取三條能構成三角形的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
26．桌面上有5本書，2本為數學書，2本為物理書，1本為化學書，小明分2次從桌上抽走2本書，則小明2次抽走的都是數學書的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
27．在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有4個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發(fā)現摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值大約為（　?。?br /> A．16 B．20 C．24 D．28
28．不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球，除顏色外小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么兩次都摸到紅球的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
二．填空題（共10小題）
29．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在BC，CD上．若，∠EAF＝45°，則AF的長為 　 ?。?br />
30．如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E在BC的延長線上，且CE＝2．連接AE，∠DCE的平分線與AE相交于點F，連接DF，則DF的長為 　 　．

31．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中點，則OE的長是 　 ?。?br />
32．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若，AC＝2cm，則BD的長為 　 　cm．

33．在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則該菱形ABCD的面積為 　 ?。?br /> 34．方程x2+6x+9＝0的解為 　 ?。?br /> 35．已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一個根是0，則m的值是　 ?。?br /> 36．若關于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是 　 ?。?br /> 37．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個實數根，則a2﹣b﹣3的值是 　 ?。?br /> 38．若關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有兩個相等的實數根，則m的值為 　 ?。?br /> 三．解答題（共22小題）
39．如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD＝10cm，OD＝6cm；過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E．
（1）求OC的長；
（2）求證：四邊形OBEC為矩形；
（3）求矩形OBEC的面積．

40．如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點，過點O作EF⊥AC交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AF＝10，AC＝16，求四邊形AECF的面積．

41．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且．連接CE，OE，OE交CD于點F．
（1）求證：四邊形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的長．

42．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，在AC上截取OE＝OF＝OB，順次連接B，F，D，E四點．求證：四邊形BFDE是正方形．

43．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是菱形外一點，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形DECO是矩形．

44．受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素．某汽車零部件生產企業(yè)的利潤率年提高，據統(tǒng)計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為3.92億元．
（1）求該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率；
（2）若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2022年的利潤能否超過5.5億元？
45．解方程：x2+2x﹣8＝0．
46．已知關于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0．
（1）若1是該方程mx2﹣4x+1＝0的一個根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有實數根，求m的取值范圍．
47．已知關于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求證：無論k取何實數值，方程總有實數根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
48．用適當的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
49．解方程
（1）2x2+4x+1＝0（配方法）
（2）x2+6x＝5（公式法）
50．隨旅游旺季的到來，北湖濕地公園的游客人數逐月增加，3月份游客人數為8萬人，5月份游客人數為12.5萬人．
（1）求這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率；
（2）預計6月份北湖濕地公園游客人數會繼續(xù)增長，但增長率不超過前兩個月的月平均增長率．已知北湖濕地公園6月1日至6月10日已接待游客6.625萬人，則6月份后20天日均接待游客人數最多是多少萬人？
51．已知關于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有兩個實數根．
（1）試求k的取值范圍；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的兩個實數根為x1，x2，且滿足|x1|+|x2|＝2，試求k的值．
52．某校為了解學生平均每天閱讀時長情況，隨機抽取了部分學生進行抽樣調查，將調查結果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表（如圖所示）．
學生平均每天閱讀時長情況統(tǒng)計表
平均每天閱讀時長x/min
人數
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
根據以上提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調查共抽取了 　 　名學生，統(tǒng)計表中a＝　 　．
（2）求扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”所對應的圓心角度數．
（3）若全校共有1400名學生，請估計平均每天閱讀時長為“x＞80”的學生人數．
（4）該校某同學從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進行閱讀，這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標記，先隨機抽取一張卡片后不放回，再隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法，求該同學恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．

53．端午節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日．今年端午節(jié)前夕，杭州市某食品廠抽樣調查了某居民區(qū)市民對A、B、C、D四種不同口味粽子樣品的喜愛情況，并將調查情況繪制成如圖兩幅不完整統(tǒng)計圖：
?（1）根據題中信息補全條形統(tǒng)計圖，并求出喜歡C種口味粽子的人數所占圓心角為 　 　度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四種不同口味的粽子各一個，煮熟后，小李吃了兩個，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出小李第二個吃的粽子恰好是A種粽子的概率．

54．某商場服裝部為了了解服裝的銷售情況，5月份隨機抽查了25名營業(yè)員的銷售額，繪制出了如下的兩個統(tǒng)計圖，請根據信息解決問題：

（1）圖中m的值為 　 　，扇形統(tǒng)計圖中，12萬元扇形的圓心角等于 　 ??；
（2）統(tǒng)計的這組數據的平均數是 　 　萬元，中位數是 　 　萬元，眾數是 　 　萬元；
（3）如果規(guī)定銷售額24萬元為A等級，銷售額15萬元到21萬元為B等級，銷售額12萬元為C等級，從A、C等級中任意選出兩個營業(yè)員，至少有一個是A等級的概率是多少？（用列表法或樹形圖求解）

55．一個不透明的口袋中裝有8個白球和12個紅球，每個球除顏色外都相同．
（1）“從口袋里隨機摸出一個球是黃球”這一事件是 　 　事件：“一次性摸出9個球，摸到的球中至少有一個紅球”這一事件發(fā)生的概率為 　 ?。?br /> （2）求從口袋里隨機摸出一個球是紅球這一事件的概率；
（3）從口袋里取走x個紅球后，再放入x個白球，并充分搖勻，如果隨機摸出白球的概率是，求x的值．
56．為培養(yǎng)學生熱愛美，發(fā)現美的藝術素養(yǎng)，我校開展了藝術選修課．學生根據自己的喜好選擇一門藝術項目：A書畫，B攝影，C泥塑，D紙藝．張老師隨機對該校部分學生的選課情況進行調查后，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
（1）張老師調查的學生人數是 　 　，其中選擇“泥塑”選修課在扇形統(tǒng)計圖中圓心角的度數為 　 　；
（2）若該校學生共有900人，請估計全校選修“攝影”的學生人數；
（3）現有4名學生，其中2人選修書畫，1人選修攝影，1人選修泥塑．張老師要從這4人中任選2人了解情況，請用樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書畫的概率．
57．如圖，已知正方形ABCD，AB＝4，點M在邊CD上，射線AM交BD于點E，交射線BC于點F，過點C作CP⊥CE，交AF于點P．
?（1）求證：△ADE≌△CDE．
（2）判斷△CPF的形狀，并說明理由．
（3）作DM的中點N，連結PN，若PN＝3，求CF的長．

58．已知：如圖，E是正方形ABCD對角線BD上的一點，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于點F．求證：DE＝CF．

59．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E在OB上，連接AE，點F為CD的中點，連接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，則線段OF的長為 　 　．

60．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接BF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，若AD＝4，求DE的長度．


2023年09月01日實事求是的初中數學組卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共28小題）
1．如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G分別在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF與EG交于點P．連接DP，則DP的最小值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【考點】正方形的性質；三角形三邊關系；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】過點E作EM⊥CD于點M，取BE的中點Q，連接QP、QD，根據正方形的性質證明Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），然后根據直角三角形性質可得，當Q、D、P共線時，DP有最小值，根據勾股定理即可解決問題．
【解答】解：如圖，過點E作EM⊥CD于點M，取BE的中點Q，連接QP、QD，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四邊形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中點，
∴，
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝3﹣1＝2，
∴QB＝QE＝1，
∵QD﹣QP≤DP，
∴當Q、D、P共線時，DP有最小值，
∵，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，
∴，
∴，
∴PD的最小值為．
故選：A．
【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形的三邊關系，在幾何證明中常利用三角形的三邊關系解決線段的最值問題，解題的關鍵是得到Rt△BAF≌Rt△EMG．
2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為AD的中點，且OE＝3，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．9 B．12 C．18 D．24
【考點】菱形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】由菱形的性質得AD＝AB＝CD＝CB，AC⊥BD，則∠AOD＝90°，由E為AD的中點，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得AD＝2OE＝6，即可求得菱形ABCD的周長為24，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，
∴AD＝AB＝CD＝CB，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E為AD的中點，且OE＝3，
∴OE＝AE＝DE＝AD，
∴AD＝2OE＝2×3＝6，
∴AD+AB+CD+CB＝4AD＝4×6＝24，
∴菱形ABCD的周長為24，
故選：D．
【點評】此題重點考查菱形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，證明∠AOD＝90°是解題的關鍵．
3．四邊形ABCD是平行四邊形，下列說法錯誤的是（　?。?br />
A．當AB＝CD時，四邊形ABCD是矩形
B．當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形
C．當∠BAD＝90°時，四邊形ABCD是矩形
D．當AC平分∠BAD時，四邊形ABCD是菱形
【考點】正方形的判定；平行四邊形的性質；菱形的性質；菱形的判定；矩形的判定．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】根據矩形、菱形、正方形的判定方法即可判斷．
【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
當AB＝CD時，四邊形ABCD還是平行四邊形，故符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形，故不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
當∠BAD＝90°時，四邊形ABCD是矩形，故不符合題意
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD時，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形，故不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟練掌握各個判定定理是解題的關鍵．
4．已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．下列補充條件中，能判定這個平行四邊形是菱形的是（　?。?br /> A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB
【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】根據矩形的判定方法和菱形的判定方法分別對各個選項進行判斷，即可得出結論．
【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，這是平行四邊形的性質，故選項A不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形；故選項B不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；故選項C符合題意；
D、∵∠ABD＝∠CAB，
∴OA＝OB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC＝AD，
∴平行四邊形ABCD是矩形；故選項D不符合題意；
故選：C．

【點評】本題考查矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形和菱形的判定方法是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．
5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E、F分別是邊CD、AD的中點，連接BE、BF，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（　　）

A．5 B． C． D．2
【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】連接EF，根據正方形的性質和勾股定理得出EF，進而利用三角形中位線定理解答即可．
【解答】解：連接EF，如圖：

∵四邊形ABCD是正方形．
∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，∠D＝90°，
∵E，F分別是邊CD，AD中點，
∴DF＝DE＝AD＝2．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝2．
∵點M、N分別是BE、BF的中點，
∴MN是三角形BEF的中位線，
∴MN＝EF＝×2＝．
故選：B．
【點評】此題考查正方形的性質，解題的關鍵是根據正方形的性質和三角形中位線定理進行解答．
6．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝80°，則∠CBD的度數為（　?。?br />
A．50° B．60° C．70° D．80°
【考點】菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】根據菱形的性質得出AD∥BC，∠A＝80°，，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A＝80°，
∴∠ABC＝100°，
∴，
故選：A．
【點評】本題考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
7．下列說法正確的是（　?。?br /> A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．四個角都相等的四邊形是正方形
C．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
D．有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形
【考點】正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】根據平行四邊形、矩形、菱形和正方形的判定內容進行逐項分析判斷即可．
【解答】解：A、因為對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，所以對角線互相垂直的四邊形是菱形的說法是不正確的；
B、因為四個角都相等的四邊形是矩形，所以四個角都相等的四邊形是正方形的說法是不正確的；
C、因為一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形也有可能是等腰梯形，所以一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形的說法是不正確的；
D、因為有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形，所以D選項正確；
故選：D．
【點評】本題主要考查的是平行四邊形、矩形、菱形和正方形的判定等知識內容，掌握平行四邊形、矩形、菱形和正方形的判定內容是解題的關鍵．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以斜邊AB、直角邊BC為邊作正方形ABDE和正方形BFGC．若正方形ABDE的面積為36，AC＝5，則正方形BFGC的面積為（　?。?br />
A． B．11 C． D．31
【考點】正方形的性質；勾股定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】根據正方形ABDE的面積求出AB，在Rt△ABC用勾股定理可求BC，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABDE的面積為36，
∴AB＝6，
∵AC＝5，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴正方形BFGC的面積＝BC2＝11，
故選：B．
【點評】本題考查幾何問題，涉及到正方形的性質、勾股定理等，靈活運用所學知識是關鍵．
9．如圖，已知菱形ABCD的周長是20cm，對角線AC的長是8cm，則這個菱形ABCD的面積是（　?。?br />
A．2cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【考點】菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】先根據題意畫出圖形，因為菱形的對角線互相垂直平分，可利用勾股定理求得BE或DE的長，從而求得BD的長．再利用菱形的面積公式：兩條對角線的積的一半求得面積．
【解答】解：所畫圖形如圖所示：
∵四邊形ABCD為菱形，周長為20cm，
∴AD＝AB＝20÷4＝5cm，∠AED＝90°
∵AE＝AC＝×8＝4（cm）
∴DE＝＝3（cm）
∴BD＝2DE＝2×3＝6（cm）
S菱形ABCD＝BD?AC
＝×6×8
＝24（cm2）．
故選：B．

【點評】主要考查菱形的面積公式：兩條對角線的積的一半和菱形的對角線性質，勾股定理的運用．
10．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分線交AB于點E，交對角線AC于點F，則∠CDF的度數為（　　）

A．45° B．30° C．25° D．15°
【考點】菱形的性質；線段垂直平分線的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】由菱形的性質可得∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，由“SAS”可證△ABF≌△ADF，可得BF＝DF＝AF，可求∠ADF＝55°，即可求解．
【解答】解：如圖，連接BF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF＝DF，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF＝55°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝15°，
故選：D．

【點評】本題考查了菱形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，證明△ABF≌△ADF是解題的關鍵．
11．一元二次方程的一次項系數是（　?。?br /> A．2 B． C． D．﹣3
【考點】一元二次方程的一般形式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】根據一元二次方程的一般形式，即可解答．
【解答】解：一元二次方程的一次項系數是，
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟練掌握和運用一元二次方程的一般形式及其概念是解決本題的關鍵．
12．一元二次方程x2＝5x的解為（　?。?br /> A．x1＝0，x2＝5 B．x1＝0，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝5 D．x＝5
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】先移項，然后再運用分解因式解一元二次方程求解即可．
【解答】解：x2＝5x，
x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x1＝0，x2＝5，
故選：A．
【點評】本題主要考查了運用因式分解法解一元二次方程，用因式分解法解方程的一般步驟為：移項、化積、轉化、求解的步驟解答即可．
13．已知關于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，則k的值應為（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能確定
【考點】一元二次方程的定義．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】根據一元二次方程的定義：未知數的最高次數是2；二次項系數不為0；是整式方程；含有一個未知數．
【解答】解：由關于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．
14．關于x的方程2x2+6x﹣7＝0的兩根分別為x1，x2，則x1+x2的值為（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C． D．
【考點】根與系數的關系．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，即，，即可解答．
【解答】解：∵關于x的方程2x2+6x﹣7＝0的兩根分別為x1，x2，
∴，
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握和運用一元二次方程根與系數的關系是解決本題的關鍵．
15．若a，b是菱形ABCD兩條對角線的長，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個根，則菱形ABCD的周長為（　?。?br /> A．16 B． C． D．20
【考點】根與系數的關系；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】利用根與系數的關系可得出a+b＝14，ab＝48，進而可得出（）2+（）2的值，利用勾股定理及菱形的性質，可求出菱形的邊長，再利用菱形的周長計算公式，即可求出菱形的周長．
【解答】解：∵a，b為一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩根，
∴a+b＝14，ab＝48，
∴（）2+（）2
＝+
＝（a2+b2）
＝（a+b）2﹣ab
＝×142﹣×48
＝25，
∴菱形的邊長為＝＝5，
∴菱形的周長為4×5＝20．
故選：D．
【點評】本題考查了根與系數的關系、菱形的性質以及勾股定理，利用根與系數的關系及勾股定理，求出菱形的邊長是解題的關鍵．
16．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正確的是（　?。?br /> A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
【考點】解一元二次方程﹣配方法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】根據配方法的求解步驟，進行求解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
移項得：x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7．
故選：D．
【點評】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握配方法求解一元二次方程的步驟．
17．方程（x+3）2＝4的根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
【考點】解一元二次方程﹣直接開平方法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】利用直接開平方法解方程即可．
【解答】解：（x+3）2＝4，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．
18．某商品原價200元，連續(xù)兩次降價后售價為128元，若每次降價的百分率為a，下列所列方程正確的是（　?。?br /> A．200（1+a）2＝128 B．200（1﹣a）2＝128
C．200（1﹣2a）2＝128 D．200（1﹣a2）＝128
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】利用經過兩次降價后的價格＝原價×（1﹣每次降價的百分率）2，即可得出關于a的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據題意得200（1﹣a）2＝128．
故選：B．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
19．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列變形正確的是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
【考點】解一元二次方程﹣配方法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】方程移項后，配方得到結果，即可作出判斷．
【解答】解：方程移項得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．
故選：C．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
20．已知方程x2+mx+3＝0的一個根是1，則m的值為（　?。?br /> A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【考點】一元二次方程的解．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】根據一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到還有m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，
解得m＝﹣4．
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
21．等腰三角形的一邊長是3，另兩邊的長是關于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，則k的值為（　?。?br /> A．7 B．3 C．4 D．3或4
【考點】根的判別式；三角形三邊關系；等腰三角形的性質；一元二次方程的解．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】當底邊為3，利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4；當腰為3時，把x＝3代入關于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，解得k＝3．
【解答】解：當底邊為3，兩腰為關于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，
解得k＝4，
此時方程為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
當腰為3時，把x＝3代入關于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，
解得k＝3，
此時方程為x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
三角形三邊分別為3、3、1，
綜上所述，k的值為4或3．
故選：D．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．
22．關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0無實數解，則k的取值范圍是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【考點】根的判別式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0無實數解，則Δ＜0，列出不等式解出k的范圍即可．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0無實數解，
∴Δ＜0，
即4﹣4k＜0，
解得k＞1．
故選：A．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的解法和根的判別式，熟記一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解與b2﹣4ac的關系：當b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；當b2﹣4ac＜0時，方程無解是解決問題的關鍵．
23．地理生物中考在即，有一個團隊有x人，每兩人都互相送對方寄語卡片一張，為彼此加油打氣，全團共贈送了56張，根據題意列出的方程是（　?。?br /> A． B．
C．x（x﹣1）＝56 D．x（x+1）＝56
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】由等量關系式：每個人所送出去的寄語卡×人數＝56張，列出方程，即可求解．
【解答】解：由題意得，
每個人所送出去的寄語卡數為（x﹣1）張，則有：
x（x﹣1）＝56．
故選：C．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，找出等量關系式是解題的關鍵．
24．有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則可列方程得（　　）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．菁優(yōu)網版權所有
【答案】C
【分析】由每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，可得出第一輪傳染中有x個人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）個人被傳染，結合“有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感”，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，
∴第一輪傳染中有x個人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）個人被傳染，
又∵有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，
∴可列出方程1+x+x（1+x）＝121．
故選：C．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
25．有五條線段，長度分別是2，4，6，8，10，從中任取三條能構成三角形的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法；三角形三邊關系．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】找出五條線段任取三條的所有等可能的情況數，找出能構成三角形的情況，即可求出所求的概率．
【解答】解：所有的情況有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10種，其中能構成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3種，
則P＝．
故選：B．
【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及三角形的三邊關系，用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
26．桌面上有5本書，2本為數學書，2本為物理書，1本為化學書，小明分2次從桌上抽走2本書，則小明2次抽走的都是數學書的概率為（　　）
A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】A
【分析】畫樹狀圖法計算即可．
【解答】解：設數學為A，物理為B，化學為C，畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的結果數，符合條件的有2種，
故小明2次抽走的都是數學書的概率為，
故選：A．
【點評】本題考查了畫樹狀圖法求概率，熟練掌握畫樹狀圖是解題的關鍵．
27．在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有4個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發(fā)現摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值大約為（　?。?br /> A．16 B．20 C．24 D．28
【考點】利用頻率估計概率．菁優(yōu)網版權所有
【答案】B
【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．
【解答】解：根據題意知＝20%，
解得a＝20，
經檢驗：a＝20是原分式方程的解，
故選：B．
【點評】本題考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．關鍵是根據紅球的頻率得到相應的等量關系．
28．不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球，除顏色外小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么兩次都摸到紅球的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】列表法與樹狀圖法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】D
【分析】畫樹狀圖，共有25種等可能的結果，其中兩次都摸到紅球的結果有9種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有25種等可能的結果，其中兩次都摸到紅球的結果有9種，
∴兩次都摸到紅球的概率是，
故選：D．
【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
二．填空題（共10小題）
29．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在BC，CD上．若，∠EAF＝45°，則AF的長為 　?。?br />
【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】如圖，延長CB到點G，使得BG＝DF，連接AG，先證明△ABG≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質可知AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，結合∠EAF＝45°，求出∠EAG＝45°，再證明△EAG≌△EAF（SAS），由全等三角形的性質可知EG＝EF，在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝2，設DF＝x，則BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6﹣x，再利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如圖，延長CB到點G，使得BG＝DF，連接AG，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∵在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，，
∴由勾股定理得：，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
設：DF＝x，則BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6﹣x，
∵在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，
∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝3，
∴DF＝3，
∵在Rt△ADF中，
∴由勾股定理得：，
故答案為：．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理，構造全等三角形，并利用方程的思想是解答本題的關鍵．
30．如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E在BC的延長線上，且CE＝2．連接AE，∠DCE的平分線與AE相交于點F，連接DF，則DF的長為 　?。?br />
【考點】正方形的性質；角平分線的性質；勾股定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】如圖，過F作FM⊥BE 于M，FN⊥CD于N，由CF平分∠DCE，可知∠FCM＝∠FCN＝45°，可得四邊形CMFN是正方形，FM∥AB，設FM＝CM＝NF＝CN＝a，則ME＝2﹣α，證明△EFM∽△EAB，則，即，解得，，由勾股定理得DF＝＝．
【解答】解：如圖，過F作FM⊥BE于M，FN⊥CD于 N，則四邊形CMFN是矩形，FM∥AB，

∵CF平分∠DCE，
∴∠FCM＝∠FCN＝45°，
∴CM＝FM，
∴四邊形CMFN是正方形，
設FM＝CM＝NF＝CN＝a，則ME＝2﹣a，
∵FM∥AB，
∴△EF∽△EAB，
∴，即，
解得：，
∴，
由勾股定理得：DF＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了正方形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
31．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中點，則OE的長是 　5?。?br />
【考點】菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】5．
【分析】直接利用菱形的性質得出AD＝CD，AC⊥BD，再結合∠ADC＝60°，可得△ACD為等邊三角形，從而AD＝AC＝10，最后根據直角三角形中線的性質得出答案
【解答】解：∵菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，
∴AD＝CD，AC⊥BD．
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD為等邊三角形．
∴AD＝AC＝10．
∵E為AD的中點，AC⊥BD，
∴OE＝AD＝5．
故答案為：5．
【點評】此題主要考查了菱形的性質，正確得出AD的長是解題關鍵．
32．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若，AC＝2cm，則BD的長為 　4　cm．

【考點】菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】4．
【分析】由菱形的性質可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝2cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝1cm，
∵AB＝cm，
∵BO＝＝2cm，
∴DO＝BO＝2cm，
∴BD＝4cm，
故答案為：4．
【點評】本題考查了菱形的性質，勾股定理，掌握菱形的性質是解題的關鍵．
33．在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則該菱形ABCD的面積為 　2　．
【考點】菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】．
【分析】如圖，過點A作AE⊥BC于E，利用∠B的正弦可求出AE的長，根據菱形面積公式即可得答案．
【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，

∵菱形ABCD的邊AB＝2，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∵∠B＝60°，
∴AE＝AB?sin60°＝2×＝，
∴S菱形ABCD＝BC?AE＝2×＝，
故答案為：．
【點評】本題考查菱形的面積求法及解直角三角形，利用∠B的正弦求出AE的長是解題關鍵．
34．方程x2+6x+9＝0的解為 　x1＝x2＝﹣3?。?br /> 【考點】解一元二次方程﹣配方法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】x1＝x2＝﹣3．
【分析】利用配方法得到（x+3）2＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵x2+6x+9＝0，
∴（x+3）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣3．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
35．已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一個根是0，則m的值是　﹣1?。?br /> 【考點】一元二次方程的解．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】把x＝0代入方程即可得到一個關于m的方程，即可求得m的值．
【解答】解：根據題意得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0
解得：m＝﹣1
故答案為：﹣1．
【點評】本題主要考查了方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項系數不等于0．
36．若關于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是 　m＜　．
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【答案】m＜．
【分析】若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．
【解答】解：∵方程有兩個不相等的實數根，a＝1，b＝﹣3，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜，
故答案為：m＜．
【點評】本題考查了根的判別式，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數根；（3）Δ＜0?方程沒有實數根．
37．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個實數根，則a2﹣b﹣3的值是 　1　．
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【答案】1．
【分析】利用根與系數的關系求出a+b，把x＝a代入方程得到關系式，變形后代入原式計算即可求出值．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個實數根，
∴a+b＝﹣1，
把x＝a代入方程得：a2+a﹣3＝0，即a2＝3﹣a，
則原式＝3﹣a﹣b﹣3
＝﹣（a+b）
＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查了根與系數的關系，掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關鍵．
38．若關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有兩個相等的實數根，則m的值為 　﹣?。?br /> 【考點】根的判別式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】﹣．
【分析】由于關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有兩個相等的實數根，可知其根的判別式為0，據此列出關于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即32﹣4（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣．
故答案為：﹣．
【點評】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況．
三．解答題（共22小題）
39．如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD＝10cm，OD＝6cm；過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E．
（1）求OC的長；
（2）求證：四邊形OBEC為矩形；
（3）求矩形OBEC的面積．

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【答案】（1）8cm；
（2）見解析；
（3）48cm2．
【分析】（1）利用菱形的性質得到AC⊥BD，在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；
（2）先證明四邊形OBEC是平行四邊形，再由∠COB＝90°，即可證明平行四邊形OBEC是矩形；
（3）利用矩形的面積公式即可直接求解．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴直角△OCD中，OC＝＝＝8cm，
（2）證明：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四邊形OBEC為平行四邊形，
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四邊形OBEC為矩形；
（3）解：∵OB＝OD，
∴S矩形OBEC＝OB?OC＝6×8＝48（cm2）．
【點評】本題考查了菱形的性質以及矩形的判定，勾股定理，理解菱形的對角線的關系是關鍵．
40．如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點，過點O作EF⊥AC交BC于點E，交AD于點F，連接AE，CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AF＝10，AC＝16，求四邊形AECF的面積．

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見解析；
（2）96．
【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，則可得AF＝CE，繼而證得結論；
（2）根據菱形的性質及勾定理可得，進而可知EF＝2OF＝12，再結合菱形AECF的面積＝即可求得答案．
【解答】（1）證明：∵點O是AC的中點，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分線，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO．
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
∴四邊形AECF為菱形．
（2）解：∵點O是AC的中點，AC＝16，
∴OA＝OC＝8
∵AF＝10，EF⊥AC，
∴，
由菱形的性質可知：EF＝2OF＝12，
∴菱形AECF的面積＝．
【點評】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定及性質，熟練掌握相關性質是關鍵．
41．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且．連接CE，OE，OE交CD于點F．
（1）求證：四邊形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的長．

【考點】矩形的判定與性質；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見解答；
（2）5．
【分析】（1）由菱形的性質得OA＝OC＝AC，AC⊥BD，再證四邊形OCED是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結論；
（2）證四邊形OADE是平行四邊形的，得OE＝AD＝10，再由矩形的性質得OF＝OE＝5即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵DE＝AC，
∴OC＝DE，
∵DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
又∵∠COD＝90°，
∴平行四邊形OCED是矩形；
（2）解：由（1）可知，OA＝DE，
∵DE∥AC，
∴四邊形OADE是平行四邊形，
∴OE＝AD＝10，
∵四邊形OCED是矩形，
∴OF＝OE＝5．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質以及菱形的性質等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．
42．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，在AC上截取OE＝OF＝OB，順次連接B，F，D，E四點．求證：四邊形BFDE是正方形．

【考點】正方形的判定；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見解析．
【分析】先根據菱形的性質可得AC⊥BD，OB＝OD，再根據矩形的判定可得四邊形BFDE是矩形，然后根據正方形的判定即可得證．
【解答】證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，
∴AC⊥BD，OB＝OD．
∵OE＝OF＝OB，
∴OE＝OF＝OB＝OD，
∴四邊形BFDE是矩形．
又∵BD⊥EF，
∴四邊形BFDE是正方形．
【點評】本題考查了菱形的性質、正方形的判定，熟練掌握正方形的判定是解題關鍵．
43．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是菱形外一點，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形DECO是矩形．

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【答案】見解析過程．
【分析】先證四邊形CODE是平行四邊形，由菱形的性質可得AC⊥BD，可得結論．
【解答】證明：∵AC∥DE，BD∥CE，
∴四邊形CODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四邊形DECO是矩形．

【點評】本題考查了矩形的判定和性質，菱形的性質，掌握矩形的判定是解題的關鍵．
44．受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素．某汽車零部件生產企業(yè)的利潤率年提高，據統(tǒng)計，2019年利潤為2億元，2021年利潤為3.92億元．
（1）求該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率；
（2）若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2022年的利潤能否超過5.5億元？
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【答案】（1）40%；
（2）不能．
【分析】（1）設該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率為x，根據題意列一元二次方程求解即可；
（2）根據該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率求出該企業(yè)2022年的利潤即可作答．
【解答】解：（1）設該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率為x，
根據題意得：2（1+x）2＝3.92，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合題意，舍去），
即該企業(yè)從2019年到2021年利潤的年平均增長率為40%；
（2）若2022年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，
該企業(yè)2022年的利潤為：3.92×（1+40%）＝5.488＜5.5，
故該企業(yè)2022年的利潤不能超過5.5億元．
【點評】本題考查一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．
45．解方程：x2+2x﹣8＝0．
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【答案】見試題解答內容
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0
（x﹣2）（x+4）＝0
x﹣2＝0，x+4＝0
x1＝2，x2＝﹣4
【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．
46．已知關于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0．
（1）若1是該方程mx2﹣4x+1＝0的一個根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有實數根，求m的取值范圍．
【考點】根的判別式；一元二次方程的解．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）3；
（2）m≤4且m≠0．
【分析】（1）把x＝1代入方程得到m﹣4+1＝0，然后解一次方程即可；
（2）根據根的判別式的意義得到m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程mx2﹣4x+1＝0得m﹣4+1＝0，
解得m＝3，
即m的值為3；
（2）根據題意得m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，
解得m≤4且m≠0，
即m的取值范圍為m≤4且m≠0．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．也考查了一元二次方程的解．
47．已知關于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求證：無論k取何實數值，方程總有實數根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【考點】根的判別式；三角形三邊關系；等腰三角形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）計算方程的根的判別式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，則證明方程總有實數根；
（2）已知a＝6，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗．
【解答】（1）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k﹣2）2﹣4?（﹣6k）＝9k2﹣12k+4+24k＝9k2+12k+4＝（3k+2）2≥0
∴無論k取何值，方程總有實數根．
（2）解：①若a＝6為底邊，則b，c為腰長，則b＝c，則Δ＝0．
∴（3k+2）2＝0，解得：k＝﹣．
此時原方程化為x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此時△ABC三邊為6，2，2不能構成三角形，故舍去；
②若a＝6為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設b＝a＝6
代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k＝0
∴k＝﹣2
則原方程化為x2﹣8x+12＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
∴x1＝2，x2＝6
即b＝6，c＝2
此時△ABC三邊為6，6，2能構成三角形，
綜上所述：△ABC三邊為6，6，2．
∴周長為6+6+2＝14．
【點評】重點考查了根的判別式及三角形三邊關系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關系定理檢驗．
48．用適當的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1），；
（2）x1＝3，x2＝9．
【分析】（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣18＝0，
∴x2﹣6x＝18，
∴x2﹣6x+9＝27，
即（x﹣3）2＝27，
∴，
解得：，；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，
即2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．
49．解方程
（1）2x2+4x+1＝0（配方法）
（2）x2+6x＝5（公式法）
【考點】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【解答】解：（1）2x2+4x＝﹣1，
x2+2x＝﹣，
x2+2x+1＝﹣+1，即（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
則x＝﹣1±，
即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；

（2）x2+6x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣5，
∴Δ＝36﹣4×1×（﹣5）＝56，
則x＝＝﹣3，
x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．
50．隨旅游旺季的到來，北湖濕地公園的游客人數逐月增加，3月份游客人數為8萬人，5月份游客人數為12.5萬人．
（1）求這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率；
（2）預計6月份北湖濕地公園游客人數會繼續(xù)增長，但增長率不超過前兩個月的月平均增長率．已知北湖濕地公園6月1日至6月10日已接待游客6.625萬人，則6月份后20天日均接待游客人數最多是多少萬人？
【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）25%；
（2）0.45萬人．
【分析】（1）設這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率為x，利用5月份游客人數＝3月份游客人數×（1+這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率）2，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；
（2）設6月份后20天日均接待游客人數是y萬人，根據6月份游客人數不超過12.5×（1+25%）萬人，可列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論．
【解答】解：（1）設這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率為x，
根據題意得：8（1+x）2＝12.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．
答：這兩個月中北湖濕地公園游客人數的月平均增長率為25%；
（2）設6月份后20天日均接待游客人數是y萬人，
根據題意得：6.625+20y≤12.5×（1+25%），
解得：y≤0.45，
∴y的最大值為0.45．
答：6月份后20天日均接待游客人數最多是0.45萬人．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
51．已知關于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有兩個實數根．
（1）試求k的取值范圍；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的兩個實數根為x1，x2，且滿足|x1|+|x2|＝2，試求k的值．
【考點】根與系數的關系；絕對值；根的判別式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）k≤﹣1；
（2）k＝﹣2；
（3）k＝﹣1．
【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式Δ≥0，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；
（2）由根與系數的關系可得出x1+x2＝2k，，結合可得出關于k的方程，解之即可得出k的值；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，根據，可得x1x2＞0，即由|x1|+|x2|＝2，可得，進而可得，則有，即（2k）2＝4，問題得解．
【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有兩個實數根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）≥0，
解得：k≤﹣1；
（2）∵方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0的兩個實數根為x1，x2，
∴x1+x2＝2k，，
∵，
∴，
∴（2k）2﹣2（k2+k+1）＝10，
整理得：k2﹣k﹣6＝0，
解得：k＝3或者k＝﹣2，
∵根據（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣2；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，
∵，
∴x1x2＞0，
∵|x1|+|x2|＝2，
∴，
∴，
∵x1x2＞0，
∴，
∴，
∴（2k）2＝4，
∴k＝±1，
∵根據（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣1．
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，靈活運用完全平方公式的變形是解題的關鍵．
52．某校為了解學生平均每天閱讀時長情況，隨機抽取了部分學生進行抽樣調查，將調查結果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表（如圖所示）．
學生平均每天閱讀時長情況統(tǒng)計表
平均每天閱讀時長x/min
人數
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
根據以上提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調查共抽取了 　100　名學生，統(tǒng)計表中a＝　30?。?br /> （2）求扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”所對應的圓心角度數．
（3）若全校共有1400名學生，請估計平均每天閱讀時長為“x＞80”的學生人數．
（4）該校某同學從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進行閱讀，這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標記，先隨機抽取一張卡片后不放回，再隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法，求該同學恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；頻數（率）分布表；扇形統(tǒng)計圖；加權平均數．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）100，30；
（2）54°；
（3）140名；
（4）．
【分析】（1）將40＜x≤60組的人數除以其百分比即可求出抽取的人數；將抽取的人數乘以20＜x≤40組的百分比即可求出a的值；
（2）將60＜x≤80組的人數除以抽取的人數，再乘以360°即可求出扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”所對應的圓心角度數；
（3）將x＞80組的人數除以抽取的人數，再乘以1400即可估計平均每天閱讀時長為“x＞80”的學生人數；
（4）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結果，從中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的結果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60組的人數為25，占比為25%，且25÷25%＝100，
∴本次調查共抽取了100名學生；
∵20＜x≤40組占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案為：100，30；
（2）∵樣本中平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”所對應的圓心角度數為54°；
（3）∵樣本中平均每天閱讀時長為“x＞80”的學生人數為10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估計平均每天閱讀時長為“x＞80”的學生人數為140名；
（4）《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標記，畫樹狀圖如下：

一共有12種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游記》即D有2種可能的情況，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的）＝．
【點評】本題考查頻數分布表，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計圖表中獲取有用信息，掌握用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關鍵．
53．端午節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日．今年端午節(jié)前夕，杭州市某食品廠抽樣調查了某居民區(qū)市民對A、B、C、D四種不同口味粽子樣品的喜愛情況，并將調查情況繪制成如圖兩幅不完整統(tǒng)計圖：
?（1）根據題中信息補全條形統(tǒng)計圖，并求出喜歡C種口味粽子的人數所占圓心角為 　72　度．
（2）若有外型完全相同的A、B、C、D四種不同口味的粽子各一個，煮熟后，小李吃了兩個，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出小李第二個吃的粽子恰好是A種粽子的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）圖形見解析，72；
（2）．
【分析】（1）由喜歡D種口味粽子的人數除以所占百分比得出調查的市民人數，即可解決問題；
（2）由360°乘以喜歡C種口味粽子的人數所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中小李第二個吃的粽子恰好是A種粽子的結果有3種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）調查的市民人數為：240÷40%＝600（人），
∴喜歡B種口味粽子的人數為：600×10%＝60（人），
∴喜歡C種口味粽子的人數為：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：

喜歡C種口味粽子的人數所占圓心角為：360°×＝72°，
故答案為：72；
（2）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中小李第二個吃的粽子恰好是A種粽子的結果有3種，
∴小李第二個吃的粽子恰好是A種粽子的概率為＝．
【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
54．某商場服裝部為了了解服裝的銷售情況，5月份隨機抽查了25名營業(yè)員的銷售額，繪制出了如下的兩個統(tǒng)計圖，請根據信息解決問題：

（1）圖中m的值為 　28　，扇形統(tǒng)計圖中，12萬元扇形的圓心角等于 　28.8°??；
（2）統(tǒng)計的這組數據的平均數是 　18.6　萬元，中位數是 　18　萬元，眾數是 　21　萬元；
（3）如果規(guī)定銷售額24萬元為A等級，銷售額15萬元到21萬元為B等級，銷售額12萬元為C等級，從A、C等級中任意選出兩個營業(yè)員，至少有一個是A等級的概率是多少？（用列表法或樹形圖求解）

【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；加權平均數；中位數；眾數．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）28，28.8°；
（2）18.6，18，21；
（3）．
【分析】（1）用1減去其他情況所占的百分數，用360°乘上12萬元所占的百分數；
（2）所有數據加起來除以數據的個數等于平均數，將一組數據按照從大到小或者從小到大的順序排列，奇數個數據最中間的數據即為中位數，偶數個數據最中間兩個數據的和的平均數即為中位數，一組數據中出現次數最多的數據即為眾數；
（3）用列表法將所有情況列出來即可解決問題．
【解答】解：（1）1﹣20%﹣8%﹣12%﹣32%＝28%，
∴m＝28，360°×8%＝28.8°；
故答案為：28，28.8°；
（2），
∴平均數為18.6萬元，
∵抽查了25名營業(yè)員，
∴中位數為從大到小排列后的第13個數據，
∴中位數為18萬元，
∵21出現次數最多，出現了8次，
∴眾數為21萬元；
故答案為：18.6；18；21；
（3）A等級3人，B等級2人，列表如下：

A1
A2
A3
C1
C2
A1

（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，C1）
（A1，C2）
A2
（A2，A1）

（A2，A3）
（A2，C1）
（A2，C2）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）

（A3，C1）
（A3，C2）
C1
（C1，A1）
（C1，A2）
（C1，A3）

（C1，C2）
C2
（C2，A1）
（C2，A2）
（C2，A3）
（C2，C1）

一共有20種等可能結果，至少有一個是A等級的有18種，
∴P（至少有一個是A等級）＝．
【點評】本題考查了數據的分析和概率的計算，正確理解并掌握平均數、中位數、眾數的概念，能熟練用列表法求概率是解決問題的關鍵．
55．一個不透明的口袋中裝有8個白球和12個紅球，每個球除顏色外都相同．
（1）“從口袋里隨機摸出一個球是黃球”這一事件是 　不可能　事件：“一次性摸出9個球，摸到的球中至少有一個紅球”這一事件發(fā)生的概率為 　1?。?br /> （2）求從口袋里隨機摸出一個球是紅球這一事件的概率；
（3）從口袋里取走x個紅球后，再放入x個白球，并充分搖勻，如果隨機摸出白球的概率是，求x的值．
【考點】列表法與樹狀圖法；隨機事件；概率公式．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）不可能；1；
（2）；
（3）x＝8．
【分析】（1）根據事件的分類解答即可；
（2）根據概率公式計算概率即可；
（3）根據口袋中有（8+x）個白球和（12﹣x）個紅球，共有20個球，再根據概率公式列方程即可解答．
【解答】解：（1）∵口袋沒有黃球，
∴口袋里隨機摸出一個球是黃球”這一事件是不可能事件；
∵口袋中有8個白球和12個紅球，
∴“一次性摸出9個球，摸到的球中至少有一個紅球”這一事件發(fā)生的概率為1，
故答案為：不可能；1；
（2）口袋中裝有8個白球和12個紅球，共有20個球，
∴從口袋中隨機摸出一個球是紅球的概率是；
（3）由題意，口袋中有（8+x）個白球和（12﹣x）個紅球，共有20個球，
∴從口袋中隨機摸出一個球是白球的概率是，解得x＝8．
【點評】本題考查了事件的分類，用概率公式計算概率，解題關鍵是熟練運用概率公式計算．
56．為培養(yǎng)學生熱愛美，發(fā)現美的藝術素養(yǎng)，我校開展了藝術選修課．學生根據自己的喜好選擇一門藝術項目：A書畫，B攝影，C泥塑，D紙藝．張老師隨機對該校部分學生的選課情況進行調查后，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
（1）張老師調查的學生人數是 　72人　，其中選擇“泥塑”選修課在扇形統(tǒng)計圖中圓心角的度數為 　60°??；
（2）若該校學生共有900人，請估計全校選修“攝影”的學生人數；
（3）現有4名學生，其中2人選修書畫，1人選修攝影，1人選修泥塑．張老師要從這4人中任選2人了解情況，請用樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書畫的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；統(tǒng)計表；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）72人，60°；
（2）估計全校選修“攝影”的學生人數約200人；
（3）．
【分析】（1）由喜歡B、C、D的人數除以所占比例得出張老師調查的學生人數，即可解決問題；
（2）由該校學生共有人數乘以選修“攝影”的學生人數所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中所選2人都是選修書畫的結果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）張老師調查的學生人數是（16+12+20）÷＝72（人），
其中選擇“泥塑”選修課在扇形統(tǒng)計圖中圓心角的度數為360°×＝60°，
故答案為：72人，60°；
（2）900×＝200（人），
答：估計全校選修“攝影”的學生人數約200人；
（3）把選修書畫的2人記為A、B，選修攝影的1人記為C，選修泥塑的1人記為D，
畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中所選2人都是選修書畫的結果有2種，即AB、BA，
∴所選2人都是選修書畫的概率為＝．
【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
57．如圖，已知正方形ABCD，AB＝4，點M在邊CD上，射線AM交BD于點E，交射線BC于點F，過點C作CP⊥CE，交AF于點P．
?（1）求證：△ADE≌△CDE．
（2）判斷△CPF的形狀，并說明理由．
（3）作DM的中點N，連結PN，若PN＝3，求CF的長．

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見解析過程；
（2）△CPF是等腰三角形，理由見解析過程；
（3）2．
【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△CDE；
（2）由全等三角形的性質可得∠DAE＝∠DCE，由余角的性質可得∠DCE＝∠PCF，可得結論；
（3）由三角形中位線定理可求DF＝6，由勾股定理可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE＝∠PCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE＝∠CFP，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴CP＝PF，
∴△CPF是等腰三角形；
（3）解：如圖，連接DF，
∵∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝MP，
∴MP＝PF，
又∵點N是DM的中點，
∴DF＝2NP＝6，
∴CF＝＝＝2．

【點評】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
58．已知：如圖，E是正方形ABCD對角線BD上的一點，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于點F．求證：DE＝CF．

【考點】正方形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】見試題解答內容
【分析】連接BF，由四邊形ABCD是正方形，可得∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，可得DE＝EF，由EF⊥BD，得∠FEB＝90°，進而證明Rt△BEF≌Rt△BCF可得EF＝CF，等量代換即可得DE＝CF．
【解答】證明：如圖，連接BF，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠FEB＝90°，
在Rt△BEF和Rt△BCF中，
BF＝BF，BC＝BE，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）．
∴EF＝CF．
∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴DE＝EF，
∴DE＝CF．
【點評】本題考查了正方形的性質，解決本題的關鍵是掌握正方形的性質．
59．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E在OB上，連接AE，點F為CD的中點，連接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，則線段OF的長為 　2?。?br />
【考點】菱形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．菁優(yōu)網版權所有
【答案】2．
【分析】先由菱形的性質得到OA＝OC，AC⊥BD，進而利用勾股定理求出AE＝5，則OB＝8，利用勾股定理求出，證明OF是△BCD的中位線，則．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，
∴AE＝BE＝5，
∴OB＝OE+BE＝8，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
∵點F為CD的中點，
∴OF是△BCD的中位線，
∴．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，三角形中位線定理，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
60．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接BF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，若AD＝4，求DE的長度．

【考點】矩形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有
【答案】（1）見解析；
（2）．
【分析】（1）首先證明出四邊形DFBE是平行四邊形，然后結合DE⊥AB證明出四邊形DFBE是矩形；
（2）首先根據含30°角直角三角形的性質得到AE＝2，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四邊形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
又∵AD＝4，
∴AE＝2，
∴．
【點評】此題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/9/1 17:31:14；用戶：實事求是；郵箱：18347280726；學號：37790395

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