?2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．（3分）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子成立的是（　?。?br />
A．a(chǎn)＞b B．|a|＜|b| C．a(chǎn)+b＞0 D．＜0
3．（3分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團建團100周年，某校團委組織以“揚愛國精神，展青春風(fēng)采”為主題的合唱活動，下表是九年級一班的得分情況：
評委1
評委2
評委3
評委4
評委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
數(shù)據(jù)9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位數(shù)是（　?。?br /> A．9.6 B．9.7 C．9.8 D．9.9
4．（3分）某學(xué)校初一年級學(xué)生來自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計圖，由圖中的信息，得出以下3個判斷，錯誤的有（　?。?br /> ①該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．
②若已知該校來自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為1080人．
③若從該校初一學(xué)生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學(xué)生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學(xué)生中分別隨機抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．

A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
5．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論：
①四邊形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC?EF＝CF?CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。?br />
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與y＝2x+m相交于點P（3，n），則關(guān)于x，y的方程組的解為（　?。?br /> A． B． C． D．
7．（3分）已知a為整數(shù)，且÷為正整數(shù)，求所有符合條件的a的值的和（　?。?br /> A．0 B．12 C．10 D．8
8．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，F(xiàn)G∥AD交AE于點G．若cosB＝，則FG的長是（　?。?br />
A．3 B． C． D．
9．（3分）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB＝8，OC＝3，則EC的長為（　?。?br />
A． B．8 C． D．
10．（3分）下列命題中，真命題的個數(shù)是（　?。?br /> ①同位角相等；
②經(jīng)過一點有且只有一條直線與這條直線平行；
③若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有實數(shù)解，則b的值可以是﹣1；
④當(dāng)k＜1時，一次函數(shù)y＝kx+k﹣1（k≠0）的圖象一定交于y軸的負(fù)半軸．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．（3分）定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
12．（3分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F是CD上一點，OE⊥OF交BC于點E，連接AE，BF交于點P，連接OP．則下列結(jié)論：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，則tan∠CAE＝；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）
13．（3分）如圖，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O為AC上一點，OA＝2，以O(shè)為圓心，以
OA為半徑的圓與CB相切于點E，與AB相交于點F，連接OE、OF，則圖中陰影部分的面積是　 ?。?br />
14．（3分）若直線L1經(jīng)過點（0，4），L2經(jīng)過點（3，2），且L1與L2關(guān)于x軸對稱，則L1與L2的交點坐標(biāo)為　 ?。?br /> 15．（3分）三個數(shù)3，1﹣a，1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍為 　 ?。?br /> 16．（3分）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的兩個實數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是 　 　．
17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點D為邊AB上一點．將△BCD沿直線CD翻折，點B落在點E處，連接AE．如果AE∥CD，那么BE＝　 　．

18．（3分）如圖，直線y＝﹣2x+5與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B兩點，與x軸相交于點C．S△BOC＝，若將直線y＝﹣2x+5沿y軸向下平移n個單位，所得直線與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）有且只有一個交點，則n的值為　 ?。?br />
19．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，2），且與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④當(dāng)x＝m（1＜m＜2）時，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正確的有 　 ?。ㄌ顚懻_的序號）

三、解答題（本大題共6小題，共63分）
20．（8分）首屆全民閱讀大會于2022年4月23日在北京開幕，大會主題是“閱讀新時代?奮進(jìn)新征程”．某?！熬C合與實踐”小組為了解全校3600名學(xué)生的讀書情況，隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報告（不完整）：
××中學(xué)學(xué)生讀書情況調(diào)查報告
調(diào)查主題
××中學(xué)學(xué)生讀書情況
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對象
××中學(xué)學(xué)生
數(shù)據(jù)的收集、整理與描述
第一項
您平均每周閱讀課外書的時間大約是（只能單選，每項含最小值，不含最大值）
A.8小時及以上；
B.6～8小時；
C.4～6小時；
D.0～4小時．

第二項
您閱讀的課外書的主要來源是（可多選）
E．自行購買；
F．從圖書館借閱；
G．免費數(shù)字閱讀；
H．向他人借閱．

調(diào)查結(jié)論
……
請根據(jù)以上調(diào)查報告，解答下列問題：
（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)及這些學(xué)生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)；
（2）估計該校3600名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)；
（3）該小組要根據(jù)以上調(diào)查報告在全班進(jìn)行交流，假如你是小組成員，請結(jié)合以上兩項調(diào)查數(shù)據(jù)分別寫出一條你獲取的信息．
21．（8分）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點B轉(zhuǎn)動，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此時云梯AB的長．
（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸到險情處？請說明理由．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

22．（10分）南充市被譽為中國綢都，本地某電商銷售真絲襯衣和真絲圍巾兩種產(chǎn)品，它們的進(jìn)價和售價如下表．用15000元可購進(jìn)真絲襯衣50件和真絲圍巾25件．（利潤＝售價﹣進(jìn)價）
種類
真絲襯衣
真絲圍巾
進(jìn)價（元/件）
a
80
售價（元/件）
300
100
（1）求真絲襯衣進(jìn)價a的值．
（2）若該電商計劃購進(jìn)真絲襯衣和真絲圍巾兩種商品共300件，據(jù)市場銷售分析，真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍．如何進(jìn)貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）按（2）中最大利潤方案進(jìn)貨與銷售，在實際銷售過程中，當(dāng)真絲圍巾銷量達(dá)到一半時，為促銷并保證銷售利潤不低于原來最大利潤的90%，襯衣售價不變，余下圍巾降價銷售，每件最多降價多少元？
23．（12分）如圖所示，△ABC的頂點A，B在⊙O上，頂點C在⊙O外，邊AC與⊙O相交于點D，∠BAC＝45°，連接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若線段OD與線段AB相交于點E，連接BD．
①求證：△ABD∽△DBE；
②若AB?BE＝6，求⊙O的半徑的長度．

24．（12分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合）．經(jīng)過點O，P折疊該紙片，得點B'和折痕OP．設(shè)BP＝t．
（1）如圖1，當(dāng)∠BOP＝30°時，求點P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB'上，得點C'和折痕PQ，若AQ＝m，試用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點C'恰好落在邊OA上時，求點P的坐標(biāo)．

25．（13分）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．
（1）①求點A，B，C的坐標(biāo)；
②求b，c的值．
（2）若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當(dāng)點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．


2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：A．該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
2．（3分）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子成立的是（　?。?br />
A．a(chǎn)＞b B．|a|＜|b| C．a(chǎn)+b＞0 D．＜0
【考點】實數(shù)與數(shù)軸；絕對值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】先由數(shù)軸可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．
【解答】解：由圖可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A錯誤；
|a|＞|b|，故B錯誤；
a+b＜0，故C錯誤；
＜0，故D正確；
故選：D．
【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸確定a，b的取值范圍．利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。?br /> 3．（3分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團建團100周年，某校團委組織以“揚愛國精神，展青春風(fēng)采”為主題的合唱活動，下表是九年級一班的得分情況：
評委1
評委2
評委3
評委4
評委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
數(shù)據(jù)9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位數(shù)是（　　）
A．9.6 B．9.7 C．9.8 D．9.9
【考點】中位數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義即可得出答案．
【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序為：9.6，9.7，9.8，9.9，10，
中位數(shù)為9.8，
故選：C．
【點評】本題考查了中位數(shù)，掌握將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）某學(xué)校初一年級學(xué)生來自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計圖，由圖中的信息，得出以下3個判斷，錯誤的有（　?。?br /> ①該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．
②若已知該校來自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為1080人．
③若從該校初一學(xué)生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學(xué)生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學(xué)生中分別隨機抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．

A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【考點】扇形統(tǒng)計圖；抽樣調(diào)查的可靠性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖分別求出各組人數(shù)所占比例，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：該校來自城鎮(zhèn)的初一學(xué)生的扇形的圓心角為：360°﹣90°﹣60°＝210°，
∴該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為90：60：210＝3：2：7，故①正確，不符合題意；
若已知該校來自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為140÷＝840（人），故②錯誤，符合題意；
120×＝30（人），
120×＝20（人），
120×＝70（人），
故③正確，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，試題以圖表為載體，要求學(xué)生能從中提取信息來解題，與實際生活息息相關(guān)，符合新課標(biāo)的理念．
5．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論：
①四邊形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC?EF＝CF?CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；作圖—基本作圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)題意分別證明各個結(jié)論來判斷即可．
【解答】解：根據(jù)題意知，EF垂直平分AC，

在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四邊形AECF是菱形，
故①結(jié)論正確；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②結(jié)論正確；
∵S四邊形AECF＝CF?CD＝AC?OE×2＝AC?EF，
故③結(jié)論不正確；
若AF平分∠BAC，則∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④結(jié)論正確；
故選：B．
【點評】本題主要考查長方形的綜合題，熟練掌握長方形的性質(zhì)，基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與y＝2x+m相交于點P（3，n），則關(guān)于x，y的方程組的解為（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二元一次方程組的解．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】先將點P代入y＝﹣x+4，求出n，即可確定方程組的解．
【解答】解：將點P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴關(guān)于x，y的方程組的解為，
故選：C．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，求出兩直線的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）已知a為整數(shù)，且÷為正整數(shù)，求所有符合條件的a的值的和（　?。?br /> A．0 B．12 C．10 D．8
【考點】分式的混合運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】首先對于分式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)a為整數(shù)、分式值為正整數(shù)可求出a的值，最后將a的所有值相加即可．
【解答】解：÷
＝
＝
＝
＝，
∵a為整數(shù)，且分式的值為正整數(shù)，
∴a﹣3＝1，3，
a＝4，6，
∴所有符合條件的a的值的和：4+6＝10．
故選：C．
【點評】本題考查了分式的混合運算，正確分解因式是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，F(xiàn)G∥AD交AE于點G．若cosB＝，則FG的長是（　?。?br />
A．3 B． C． D．
【考點】菱形的性質(zhì)；解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】方法一：過點A作AH⊥BE于點H，過點F作FQ⊥AD于點Q，根據(jù)cosB＝＝，可得BH＝1，所以AH＝，然后證明AH是BE的垂直平分線，可得AE＝AB＝4，設(shè)GA＝GF＝x，根據(jù)S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，進(jìn)而可以解決問題．方法二：作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點M由已知可得BH＝EH＝1，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4設(shè)GF＝x，則AG＝x，GE＝4﹣x，由三角形MGF相似于三角形MEC即可得結(jié)論．
【解答】解：方法一，如圖，過點A作AH⊥BE于點H，過點F作FQ⊥AD于點Q，

∵菱形ABCD的邊長為4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝＝，
∴BH＝1，
∴AH＝＝＝，
∵E是BC的中點，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分線，
∴AE＝AB＝4，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF＝∠FAG，
∵FG∥AD，
∴∠DAF＝∠AFG，
∴∠FAG＝∠AFG，
∴GA＝GF，
設(shè)GA＝GF＝x，
∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，
∴DF＝AG＝x，
cosD＝cosB＝＝，
∴DQ＝x，
∴FQ＝＝＝x，
∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，
∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，
解得x＝，
則FG的長是．
或者：∵AE＝CD＝4，F(xiàn)G∥AD，
∴四邊形AGFD的等腰梯形，
∴GA＝FD＝GF，
則x+x+x＝4，
解得x＝，
則FG的長是．
方法二：如圖，作AH垂直BC于H，延長AE和DC交于點M，

∵菱形ABCD的邊長為4，
∴AB＝AD＝BC＝4，
∵cosB＝＝，
∴BH＝1，
∵E是BC的中點，
∴BE＝CE＝2，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AH是BE的垂直平分線，
∴AE＝AB＝4，
所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，
設(shè)GF＝x，
則AG＝x，GE＝4﹣x，
由GF∥BC，
∴△MGF∽△MEC，
∴＝，
解得x＝．
故選：B．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．
9．（3分）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB＝8，OC＝3，則EC的長為（　?。?br />
A． B．8 C． D．
【考點】垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC，根據(jù)三角形的中位線求出BE，再根據(jù)勾股定理求出EC即可．
【解答】解：連接BE，

∵AE為⊙O直徑，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD過O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故選：D．
【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線等知識點，能根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC是解此題的關(guān)鍵．
10．（3分）下列命題中，真命題的個數(shù)是（　?。?br /> ①同位角相等；
②經(jīng)過一點有且只有一條直線與這條直線平行；
③若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有實數(shù)解，則b的值可以是﹣1；
④當(dāng)k＜1時，一次函數(shù)y＝kx+k﹣1（k≠0）的圖象一定交于y軸的負(fù)半軸．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】命題與定理；根的判別式；兩條直線相交或平行問題；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；平行公理及推論．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)平行公理可對②進(jìn)行判斷；利用根的判別式的意義可得到方程有實數(shù)根時b2≥4，則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可對④進(jìn)行判斷．
【解答】解：兩直線平行，同位角相等，所以①不符合題意；
經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，所以②不符合題意；
若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有實數(shù)解，所以b2≥4，則b的值不可以是﹣1，所以③不符合題意；
當(dāng)k＜1時，k﹣1＜0，則一次函數(shù)y＝kx+k﹣1（k≠0）的圖象一定交于y軸的負(fù)半軸，所以④符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了命題：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
11．（3分）定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥
【考點】根的判別式；實數(shù)的運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】先根據(jù)新定義得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理為一般式，接著根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因為方程有兩個實數(shù)解，
所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．
故選：C．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．把有新定義運算的方程化為一元二次方程的一般式是解決問題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F是CD上一點，OE⊥OF交BC于點E，連接AE，BF交于點P，連接OP．則下列結(jié)論：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，則tan∠CAE＝；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理對每個選項的結(jié)論進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：①∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的結(jié)論正確；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴點A，B，P，O四點共圓，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的結(jié)論正確；
③過點O作OH⊥OP，交AP于點H，如圖，

∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的結(jié)論正確；
④∵BE：CE＝2：3，
∴設(shè)BE＝2x，則CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
過點E作EG⊥AC于點G，如圖，

∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝＝．
∴④的結(jié)論不正確；
⑤∵四邊形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴．
∴．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴．
即四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．
∴⑤的結(jié)論正確．
綜上，①②③⑤的結(jié)論正確．
故選：B．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，充分利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）
13．（3分）如圖，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O為AC上一點，OA＝2，以O(shè)為圓心，以
OA為半徑的圓與CB相切于點E，與AB相交于點F，連接OE、OF，則圖中陰影部分的面積是　﹣π?。?br />
【考點】切線的性質(zhì)；扇形面積的計算；含30度角的直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)扇形面積公式以及三角形面積公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠COF＝120°，
∵OA＝2，
∴扇形OGF的面積為：＝
∵OA為半徑的圓與CB相切于點E，
∴∠OEC＝90°，
∴OC＝2OE＝4，
∴AC＝OC+OA＝6，
∴AB＝AC＝3，
∴由勾股定理可知：BC＝3
∴△ABC的面積為：×3×3＝
∵△OAF的面積為：×2×＝，
∴陰影部分面積為：﹣﹣π＝﹣π
故答案為：﹣π

【點評】本題考查扇形面積公式，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，綜合程度較高．
14．（3分）若直線L1經(jīng)過點（0，4），L2經(jīng)過點（3，2），且L1與L2關(guān)于x軸對稱，則L1與L2的交點坐標(biāo)為?。?，0）?。?br /> 【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換；兩條直線相交或平行問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)得出兩個點關(guān)于x軸對稱的對稱點，再根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，求出一次函數(shù)與x軸的交點即可．
【解答】解：∵直線L1經(jīng)過點（0，4），L2經(jīng)過點（3，2），且L1與L2關(guān)于x軸對稱，
∴兩直線相交于x軸上，
∵直線L1經(jīng)過點（0，4），L2經(jīng)過點（3，2），且l1與l2關(guān)于x軸對稱，
∴直線L1經(jīng)過點（3，﹣2），L2經(jīng)過點（0，﹣4），
把（0，4）和（3，﹣2）代入直線L1經(jīng)過的解析式y(tǒng)＝kx+b，
則，
解得：，
故直線L1經(jīng)過的解析式為：y＝﹣2x+4，
可得L1與L2的交點坐標(biāo)L1與L2與x軸的交點，解得：x＝2，
即L1與L2的交點坐標(biāo)為（2，0）．
故答案為（2，0）．
【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確得出l1與l2的交點坐標(biāo)為l1與l2與x軸的交點是解題關(guān)鍵．
15．（3分）三個數(shù)3，1﹣a，1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍為 　﹣3＜a＜﹣2?。?br /> 【考點】三角形三邊關(guān)系；數(shù)軸；解一元一次不等式組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】由三個數(shù)的大小關(guān)系初步確定a的取值范圍a＜﹣2；再由三角形三邊關(guān)系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，從而求出a的取值范圍．
【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，
∴3＜1﹣a＜1﹣2a，
∴a＜﹣2，
∵這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，
∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜﹣2，
故答案為﹣3＜a＜﹣2．
【點評】本題考查數(shù)軸上點的特點，這是第一個隱含的a的范圍，再由三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)一步確定a的取值范圍，從而順利求解．
16．（3分）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的兩個實數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是 　2?。?br /> 【考點】勾股定理；根與系數(shù)的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】設(shè)直角三角形兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜邊長．
【解答】解：設(shè)直角三角形兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，
∵直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的兩個實數(shù)根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴斜邊c＝＝＝＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，涉及勾股定理、完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到a+b＝6，ab＝4．
17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點D為邊AB上一點．將△BCD沿直線CD翻折，點B落在點E處，連接AE．如果AE∥CD，那么BE＝　?。?br />
【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】過D作DG⊥BC于G，依據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到CD垂直平分BE，再根據(jù)AE∥CD，得出CD＝BD＝2.5，進(jìn)而得到BG＝1.5，再根據(jù)BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的長，即可得出BE的長．
【解答】解：如圖所示，過D作DG⊥BC于G，
由折疊可得，CD垂直平分BE，
∴當(dāng)CD∥AE時，∠AEB＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∴AD＝BD，
∴D是AB的中點，
∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，
∵DG⊥BC，
∴BG＝1.5，
∴Rt△BDG中，DG＝2，
∵BC×DG＝CD×BF，
∴BF＝＝，
∴BE＝2BF＝，
故答案為：．

【點評】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
18．（3分）如圖，直線y＝﹣2x+5與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B兩點，與x軸相交于點C．S△BOC＝，若將直線y＝﹣2x+5沿y軸向下平移n個單位，所得直線與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）有且只有一個交點，則n的值為　1?。?br />
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】過點B作BE⊥x軸于點E，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及S△BOC＝即可得出BE的長度，進(jìn)而可找出點B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù)k的值，根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的直線的解析式，然后令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，由題意Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，解方程即可求得n＝1．
【解答】解：過點B作BE⊥x軸于點E，如圖所示．
令直線y＝﹣2x+5中y＝0，則0＝﹣2x+5，解得：x＝，
即OC＝．
∵S△BOC＝，
∴OC?BE＝×?BE＝，
解得：BE＝1．
∴點B的縱坐標(biāo)為1，
當(dāng)y＝1時，有1＝﹣2x+5，
解得：x＝2，
∴點B的坐標(biāo)為（2，1），
∴k＝2×1＝2，
即雙曲線解析式為y＝．
將直線y＝﹣2x+5向下平移n個單位得到的直線的解析式為y＝﹣2x+5﹣n，
令﹣2x+5﹣n＝，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，
∵有且只有一個交點，
∴Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，
解得n＝1或n＝9（舍去），
∴n的值為1，
故答案為：1．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積公式找出點B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
19．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，2），且與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④當(dāng)x＝m（1＜m＜2）時，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正確的有 ?、冖堍荨。ㄌ顚懻_的序號）

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、與x軸、y軸的交點坐標(biāo)以及過特殊點時系數(shù)a、b、c滿足的關(guān)系等知識進(jìn)行綜合判斷即可．
【解答】解：拋物線開口向下，a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，a、b異號，因此b＞0，與y軸的交點在正半軸，c＞0，
所以abc＜0，故①錯誤；
對稱軸在0～1之間，于是有0＜﹣＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正確；
當(dāng)x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，故③錯誤；
當(dāng)x＝m（1＜m＜2）時，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正確；
當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有：②④⑤，
故答案為：②④⑤．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)等知識，掌握拋物線的所處的位置與系數(shù)a、b、c滿足的關(guān)系是正確判斷的前提．
三、解答題（本大題共6小題，共63分）
20．（8分）首屆全民閱讀大會于2022年4月23日在北京開幕，大會主題是“閱讀新時代?奮進(jìn)新征程”．某?！熬C合與實踐”小組為了解全校3600名學(xué)生的讀書情況，隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報告（不完整）：
××中學(xué)學(xué)生讀書情況調(diào)查報告
調(diào)查主題
××中學(xué)學(xué)生讀書情況
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對象
××中學(xué)學(xué)生
數(shù)據(jù)的收集、整理與描述
第一項
您平均每周閱讀課外書的時間大約是（只能單選，每項含最小值，不含最大值）
A.8小時及以上；
B.6～8小時；
C.4～6小時；
D.0～4小時．

第二項
您閱讀的課外書的主要來源是（可多選）
E．自行購買；
F．從圖書館借閱；
G．免費數(shù)字閱讀；
H．向他人借閱．

調(diào)查結(jié)論
……
請根據(jù)以上調(diào)查報告，解答下列問題：
（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)及這些學(xué)生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)；
（2）估計該校3600名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)；
（3）該小組要根據(jù)以上調(diào)查報告在全班進(jìn)行交流，假如你是小組成員，請結(jié)合以上兩項調(diào)查數(shù)據(jù)分別寫出一條你獲取的信息．
【考點】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）由條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖可得平均每周閱讀課外書的時間大約是0～4小時的人數(shù)為33人，占抽樣學(xué)生人數(shù)的11%，即可求解，由條形統(tǒng)計圖可知從圖書館借閱的人數(shù)占總數(shù)人的62%，即可求解；
（2）由扇形統(tǒng)計圖可知平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)占比為32%，即可求解；
（3）由第一項可知閱讀時間為“4～6小時”的人數(shù)最多，“0～4小時”的人數(shù)最少，由第二項可知閱讀的課外書的主要來源中“從圖書館借閱”的人數(shù)最多，“向他人借閱”的人數(shù)最少等等．
【解答】解：（1）∵平均每周閱讀課外書的時間大約是0～4小時的人數(shù)為33人，占抽樣學(xué)生人數(shù)的11%，
∴參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：33÷11%＝300（人），
∵從圖書館借閱的人數(shù)占總數(shù)人的62%，
∴選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)為：300×62%＝186（人），
答：參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為300人，選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)為186人；
（2）∵平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)占比為32%，
∴3600×32%＝1152（人），
答：該校3600名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)約為1152人；
（3）答案不唯一，如：
由第一項可知：
閱讀時間為“4～6小時”的人數(shù)最多，“0～4小時”的人數(shù)最少，
由第二項可知：
閱讀的課外書的主要來源中“從圖書館借閱”的人數(shù)最多，“向他人借閱”的人數(shù)最少．
【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握利用統(tǒng)計圖提取所需信息．
21．（8分）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點B轉(zhuǎn)動，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時，底部B到EF的距離BD為9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此時云梯AB的長．
（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸到險情處？請說明理由．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，即可解答；
（2）根據(jù)題意可得DE＝BC＝2m，從而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，進(jìn)行比較即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此時云梯AB的長為15m；
（2）在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處，
理由：由題意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在該消防車不移動位置的前提下，云梯能伸到險情處．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）南充市被譽為中國綢都，本地某電商銷售真絲襯衣和真絲圍巾兩種產(chǎn)品，它們的進(jìn)價和售價如下表．用15000元可購進(jìn)真絲襯衣50件和真絲圍巾25件．（利潤＝售價﹣進(jìn)價）
種類
真絲襯衣
真絲圍巾
進(jìn)價（元/件）
a
80
售價（元/件）
300
100
（1）求真絲襯衣進(jìn)價a的值．
（2）若該電商計劃購進(jìn)真絲襯衣和真絲圍巾兩種商品共300件，據(jù)市場銷售分析，真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍．如何進(jìn)貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）按（2）中最大利潤方案進(jìn)貨與銷售，在實際銷售過程中，當(dāng)真絲圍巾銷量達(dá)到一半時，為促銷并保證銷售利潤不低于原來最大利潤的90%，襯衣售價不變，余下圍巾降價銷售，每件最多降價多少元？
【考點】一元一次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）設(shè)購進(jìn)真絲襯衣x件，則購進(jìn)真絲圍巾（300﹣x）件，根據(jù)真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，設(shè)兩種商品全部售出后獲得的總利潤為w元，利用總利潤＝每件的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；
（3）設(shè)每件真絲圍巾降價y元，利用總利潤＝每件的銷售利潤×銷售數(shù)量，結(jié)合要保證銷售利潤不低于原來最大利潤的90%，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）依題意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值為260．
（2）設(shè)購進(jìn)真絲襯衣x件，則購進(jìn)真絲圍巾（300﹣x）件，
依題意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
設(shè)兩種商品全部售出后獲得的總利潤為w元，則w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝100時，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此時300﹣x＝300﹣100＝200．
答：當(dāng)購進(jìn)真絲襯衣100件，真絲圍巾200件時，才能使本次銷售獲得的利潤最大，最大利潤是8000元．
（3）設(shè)每件真絲圍巾降價y元，
依題意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真絲圍巾最多降價8元．
【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23．（12分）如圖所示，△ABC的頂點A，B在⊙O上，頂點C在⊙O外，邊AC與⊙O相交于點D，∠BAC＝45°，連接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若線段OD與線段AB相交于點E，連接BD．
①求證：△ABD∽△DBE；
②若AB?BE＝6，求⊙O的半徑的長度．

【考點】圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）由∠BAC＝45°，得∠BOD＝90°，又OD∥BC，可得OB⊥BC，即得直線BC是⊙O的切線；
（2）①由∠BOD＝90°，OB＝OD，可得∠BDE＝45°＝∠BAD，即知△ABD∽△DBE；
②由△ABD∽△DBE，得BD2＝AB?BE，又AB?BE＝6，可得BD＝，從而OB＝BD?sin∠BDO＝，即⊙O的半徑的長度是．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，
∴OB⊥BC，
又OB是⊙O的半徑，
∴直線BC是⊙O的切線；
（2）①證明：由（1）知∠BOD＝90°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠BDE＝45°＝∠BAD，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△ABD∽△DBE；
②解：由①知：△ABD∽△DBE，
∴＝，
∴BD2＝AB?BE，
∵AB?BE＝6，
∴BD2＝6，
∴BD＝，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴OB＝BD?sin∠BDO＝×＝，
∴⊙O的半徑的長度是．
【點評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，圓的切線等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理及圓的相關(guān)性質(zhì)．
24．（12分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合）．經(jīng)過點O，P折疊該紙片，得點B'和折痕OP．設(shè)BP＝t．
（1）如圖1，當(dāng)∠BOP＝30°時，求點P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB'上，得點C'和折痕PQ，若AQ＝m，試用含有t的式子表示m；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點C'恰好落在邊OA上時，求點P的坐標(biāo)．

【考點】四邊形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）根據(jù)題意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，然后利用勾股定理，即可求得答案；
（2）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案；
（3）首先過點P作PE⊥OA于E，由勾股定理得出（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，即可求得t的值．
【解答】解：（1）∵四邊形OACB是矩形，
∴∠OBP＝90°，
在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，
∴OP＝2BP＝2t．
根據(jù)勾股定理，OB2+BP2＝OP2＝OB2，
即62+t2＝（2t）2，
解得t＝2（t＝﹣2舍去）．
∴點P的坐標(biāo)為（2，6）；
（2）∵△OB'P，△QC'P分別是由△OBP，△QCP折疊得到的，
∴△OB'P≌△OBP，△QC'P≌△QCP，
∴∠OPB'＝∠OPB，∠QPC'＝∠QPC．
又∵∠OPB'+∠OPB+∠QPC'+∠QPC＝180°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°．
∵∠OPB+∠BOP＝90°，
∴∠BOP＝∠CPQ．
又∵∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴＝．
由題意得BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，
則PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．
∴＝．
∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；
（3）∵∠BPO＝∠OPC'＝∠POC'，
∴OC'＝PC'＝PC＝11﹣t，
過點P作PE⊥OA于點E，則四邊形BPEO是矩形，
∴OE＝BP＝t，PE＝BO＝6，
∴EC'＝11﹣2t．
在Rt△PEC'中，由勾股定理得PE2+EC'2＝PC'2，
∴（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，
解得t1＝，t2＝，
點P的坐標(biāo)為或．

【點評】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
25．（13分）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．
（1）①求點A，B，C的坐標(biāo)；
②求b，c的值．
（2）若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當(dāng)點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．

【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點A，B，C的坐標(biāo)；
②利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)兩角相等證明△MCP∽△PBA，列比例式可得n與m的關(guān)系式，配方后可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①四邊形OABC是邊長為3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴＝，即＝，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），
∵﹣＜0，
∴當(dāng)m＝時，n的值最大，最大值是．
【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/3/23 16:25:57；用戶：實事求是；郵箱：18347280726；學(xué)號：37790395

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