?中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（21）專(zhuān)題?費(fèi)馬點(diǎn)模型
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一、填空題
1．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，則PA＋PB＋PC的最小值為 ．


二、解答題
2．如圖，在△ABC中，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，分別以PC和AC為一邊向右作等邊三角形△PCM和△ACD．
【探究】求證：PM＝PC，MD＝PA
【應(yīng)用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，則PA+PB+PC的最小值是　 　（用a，b表示）

3．問(wèn)題提出
（1）如圖①，在△ABC中，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C′，則CC′＝　 ??；
問(wèn)題探究
（2）如圖②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四邊形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠APD＝120°，連接BP、CP，點(diǎn)Q為△BPC內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

4．如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．
（1）求證：；
（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，分別延長(zhǎng)CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在線(xiàn)段AD上存在一點(diǎn)P，使的值最?。?dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，AP的長(zhǎng)為m，請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長(zhǎng)．

5．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接BN、AM、CM．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，正方形內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得PA＋PB＋PC的值最??？若存在，求出它的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

6．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF．
（1）如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，且EF＝2，求DF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點(diǎn)，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；
（3）如圖3，若AB＝4，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線(xiàn)，過(guò)B、兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線(xiàn)段AE上，求AE及的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng).
8．如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線(xiàn)的解析式；
(2)定義：平面上的任一點(diǎn)到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的距離，稱(chēng)為點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線(xiàn)段的長(zhǎng)．已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且在軸上方，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．
(3)在(2)中，當(dāng)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時(shí)，在為頂點(diǎn)的菱形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使得之和最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

9．點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，連接AP、BP、CP，求3AP＋4BP＋5CP的最小值
10．如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：

（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
11．如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，

（1）求最小值
（2）在（1）條件下，求最小值
（3）在（1）條件下，求最小值
（4）在（1）條件下，求最小值
12．如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝，∠BAC＝60°，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求5BP＋7AP＋CP最小值．

13．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值

14．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6，AC＝4，求最小值

15．如圖，ABCD為矩形，AB＝，AD＝4，EF為ABCD內(nèi)兩點(diǎn)，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．


參考答案：
1．/
【分析】先將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP'C'，延長(zhǎng)AB，過(guò)C′作C′E⊥AB交延長(zhǎng)線(xiàn)于E，得出，當(dāng)點(diǎn)A、P、P′、C′共線(xiàn)時(shí)，PA+PB+PC有最小值是AC'的長(zhǎng)，利用30°直角三角形性質(zhì)可求EC'=，根據(jù)勾股定理BE，AE＝，即可．
【詳解】解：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP'C'，延長(zhǎng)AB，過(guò)C′作C′E⊥AB交延長(zhǎng)線(xiàn)于E，

∴△BPC≌△BP'C'，∠PBP'＝60°，
∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，
∴△BPP'是等邊三角形，
∴PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，
∴當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)P、點(diǎn)P′、點(diǎn)C′在共線(xiàn)時(shí)，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的長(zhǎng)，
∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC=60°+∠ABC=60°+90°＝150°，
∴∠EBC'＝30°，
在中
∴EC'=，
∴BE=，
∴AE＝，
在中

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，等邊三角形判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共線(xiàn)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理，本題難度較大，涉及知識(shí)多，利用輔助線(xiàn)構(gòu)造準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．
2．【探究】證明見(jiàn)解析【應(yīng)用】
【分析】探究：由等邊三角形的性質(zhì)得出PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，得出∠PCA＝∠MCD，證明△ACP≌△DCM，得出MD＝PA；
應(yīng)用：連接BD，由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，求出∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝120°，作DF⊥BC于F，則∠CFD＝90°，在Rt△CDF中，由直角三角形的性質(zhì)得出 求出由勾股定理求出；即可得出結(jié)論．
【詳解】探究：證明：∵以PC和AC為一邊向右作等邊三角形△PCM和△ACD，
∴PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，
∴∠PCA＝∠MCD，
在△ACP和△DCM中，
∴△ACP≌△DCM（SAS），
∴MD＝PA；
應(yīng)用：解：連接BD，如圖所示：
∵△APC≌△DCM，
∴∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，
∴∠ACP+∠PCB＝∠DCM+∠PCB，
∴∠DCM+∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝60°+60°＝120°，
作DF⊥BC于F，則∠CFD＝90°，
在Rt△CDF中，∵∠DCF＝180°﹣120°＝60°，CD＝b，
∴∠CDF＝30°，
∴
∴
∴
當(dāng)B、P、M、D共線(xiàn)時(shí)，PA+PB+PC的值最小，
即PA+PB+PC的最小值為：；
故答案為．

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、最短距離等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3．（1）2；（2）；（3）存在，
【分析】（1）如圖①，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
（2）如圖②，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BFE，連接PF，EC．易證PA＋PB＋PC＝PC＋PF＋EF，因?yàn)镻C＋PF＋EF≥EC，推出當(dāng)P，F(xiàn)在直線(xiàn)EC上時(shí)，PA＋PB＋PC的值最小，求出EC的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
（3）如圖③?1中，將△PBQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBG，則PQ＝EG，△BQG是等邊三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出EC的值最小時(shí)，QP＋QB＋QC的值最小，如圖③?2中，延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于J，作△ADJ的外接圓⊙O，將線(xiàn)段BO，BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BO′，BE，連接EO′，OB，OP．易證△BEO′≌△BPO（SAS），推出EO′＝OP＝，推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)′為圓心，為半徑的圓，推出當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段CO′上時(shí)，EC的值最小，最小值＝CO′?EO′．
【詳解】（1）如圖①，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△BCC′是等邊三角形，
∴CC′＝BC＝2，
故答案為2．
（2）如圖②，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BFE，連接PF，EC．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PBF是等邊三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，
∵PC+PF+EF≥EC，
∴當(dāng)P，F(xiàn)在直線(xiàn)EC上時(shí)，PA+PB+PC的值最小，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)以及翻折的性質(zhì)可得BC＝BE＝BA＝3，
∵，
∴,
∵EB⊥BC，
∴EC＝BC＝3，
∴PA+PB+PC的最小值為3．
（3）如圖③﹣1中，將△PBQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBG，則PQ＝EG，△BQG是等邊三角形，

∴BQ＝QG，PQ＝EG，
∴PQ+BQ+CQ＝EG+GQ+QC≥EC，
∴EC的值最小時(shí)，QP+QB+QC的值最小，
如圖③﹣2中，延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于J，作△ADJ的外接圓⊙O，將線(xiàn)段BO，BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BO′，BE，連接EO′，OB，OP．

∵，
∴△BEO′≌△BPO（SAS），
∴EO′＝OP，
∵∠APD+∠AJD＝180°，
∴A，P，D，J四點(diǎn)共圓，
∴OP＝，
∴EO′＝，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)′為圓心，為半徑的圓，
∴當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段CO′上時(shí)，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，
連接OO′，延長(zhǎng)OO′到R，使得O′R＝OO′，連接BR，則∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，O′T⊥CH于T，OM⊥BC于M．
在Rt△OBM中，BM＝5，OM＝，
∴OB＝＝，
∴BR＝OB＝14，
由△BHR∽△OMB，
∴＝，
∴RH＝5，
∵HR∥O′T∥OM，OO′＝RO′，
∴TM＝TH，
∴O′T＝＝，
∴BT＝＝3，
∴CO′＝＝，
∴CO′﹣EO′＝﹣＝．
∴QP+QB+QC的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
4．（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）
【分析】（1）先證△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）連接AF，由（1）得，，，推出，然后根據(jù)現(xiàn)有條件說(shuō)明
在中，，點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，F(xiàn)為圓心，則，在中，推出，即可得出答案；
（3）在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，將三角形ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBD，證明點(diǎn)P位于線(xiàn)段CE上，同理得到點(diǎn)P位于線(xiàn)段BF上，證明∠BPC=120°，進(jìn)而得到，設(shè)PD為，
得出，，得出，解出a，根據(jù)即可得出答案．
【詳解】解：（1）證明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F(xiàn)為DE中點(diǎn)（同時(shí)），，
∴，即為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）連接AF，由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F為DE中點(diǎn)，
∴，
在四邊形ADCE中，有，，
∴點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，
∵F為DE中點(diǎn)，
∴F為圓心，則，
在中，
∵，
∴F為CG中點(diǎn)，即，
∴，
即；

（3）如圖1，在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，將三角形ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBD，得到△BPD為等邊三角形，所以PD=BP，
∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，點(diǎn)P位于線(xiàn)段CE上；

如圖2，將三角形ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FCG，得到△PCG為等邊三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，
∴當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，點(diǎn)P位于線(xiàn)段BF上；

綜上所述：如圖3，以AB、AC為邊向外做等邊三角形ABE和等邊三角形ACF，連接CE、BF，則交點(diǎn)P為求作的點(diǎn)，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EPB=EAB=60°，
∴∠BPC=120°，

如圖4，同理可得，，
??
∴，
設(shè)PD為，
∴，
又，
∴，


又
∴．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．
5．（1）見(jiàn)解析；（2）存在，
【分析】（1）由四邊形ABCD為正方形，△ABE為等邊三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°，再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可證明；
（2）將△BPC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于M，可以推出當(dāng)AP，PE，EF在一條直線(xiàn)上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即可．
【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BN=BM，
如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，△ABE為等邊三角形，
∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN＝∠ABE，
∴∠MBA＝∠NBE；
在△AMB與△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（2）將△BPC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于M，
∴，，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF
∴為等邊三角形，
即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線(xiàn)上，
即如下圖：可得最小PA+PB+PC＝AF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=BF，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°
∴∠BAF=∠AFB＝15°，
∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30°
∴，
∴，
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
6．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．
【分析】（1）方法1：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)可得EF＝BE＝AB＝2，根據(jù)∠ABC=60°可得△BEF是等邊三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CF＝EF＝2，∠DCG=60°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CG、DG的長(zhǎng)，即可得出FG的長(zhǎng)，利用勾股定理即可得答案；方法2：同方法1可得BF的長(zhǎng)，利用勾股定理可得AF的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可得答案；
（2）方法1：如圖2，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接AC，F(xiàn)H，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠AEG＝∠HDG，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得EG＝DG，利用ASA可證明△AEG≌△DHG，可得AG＝HG，AE＝DH，利用SAS可證明△AFC≌△AHD，可得AH＝AF，同理可得△ABF≌△ACH，進(jìn)而可得∠FAH＝60°，即可證明△AFH是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)可得結(jié)論；方法2：同方法1可證明△AEG≌△HDG，可得AG＝HG，AE＝DH，根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系可得BE＝CH，根據(jù)BE＝BF，∠ABC＝60°可得△BEF是等邊三角形，可得∠BEF＝60°，EF＝BE，進(jìn)而可證明△AEF≌△FCH，可得AF＝HF，可得結(jié)論；
（3）如圖a，在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)．連接AP，BP，得到△ABP．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EBD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得當(dāng)E、D、P、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，為PA+PB+PC最小，如圖3，連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD．先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△APC≌△DGC，可得CP＝CG，∠PCG＝60°，進(jìn)而可得△PCG是等邊三角形，得出PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BP＝CP，同理可得DG＝CG，可得BP＝PG＝GD，在Rt△BOC中，利用∠OBC的余弦可求出OB的長(zhǎng)，即可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．
【詳解】（1）方法1：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
∴EF＝BE＝AB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=4，AB//CD，
∴BF＝EF＝BC=2，∠DCG=∠ABC=60°，
∴CF＝EF＝2，∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝2，DG＝＝2，
∴FG＝CF+CG＝4，
在Rt△DFG中，DF＝＝2．

方法2：∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
在Rt△ABF中，EF＝BE＝AB，
∴AB＝4，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AD＝AB＝4，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF=AB=2，
∴AF＝=2，∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，
∴DF＝＝2．
（2）方法1：如圖2，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接AC，F(xiàn)H，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠HDG，
∵G為DE的中點(diǎn)，
∴EG＝DG，
在△AEG和△DHG中，，
∴△AEG≌△DHG，
∴AG＝HG，AE＝DH，
∵AB＝BC＝CD，BE＝BF，
∴FC＝DH，BF＝CH，
在△AFC和△AHD中，，
∴△AFC≌△AHD，
∴AH＝AF，
同理：△ABF≌△ACH，
∴∠BAF＝∠CAH，
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∴△AFH是等邊三角形，
∵AG＝HG，
∴AG⊥FG．

方法2：延長(zhǎng)AG交CD于H，連接FH，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，
∵點(diǎn)G是DE中點(diǎn)，
∴EG＝DG，
在△AEG和△DHG中，，
∴△AEG≌△HDG，
∴AG＝HG，AE＝DH，
∴BE＝CH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴∠BEF＝60°，EF＝BE，
∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，
∴△AEF≌△FCH，
∴AF＝HF，
∵AG＝HG，
∴FG⊥AG，
（3）如圖a，在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)．連接AP，BP，得到△ABP．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EBD，
∴PA=DE，BD=BP，
∵旋轉(zhuǎn)60°，
∴△DBP為一個(gè)等邊三角形，
∴PB＝PD，
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC
∴當(dāng)E、D、P、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，為PA+PB+PC最?。?br />
如圖3，連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD．當(dāng)B、P、G、D四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．
∵將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DGC，
∴△APC≌△DGC，
∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△PCG是等邊三角形，
∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，
∴BP＝CP，
同理，DG＝CG，
∴BP＝PG＝GD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，
∴BO＝BC?cos∠OBC＝4×＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴BP＝BD＝．

即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合，主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．
7．(1)??(2) ；或???（3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為
【分析】（1）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長(zhǎng)；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過(guò)解直角三角形即可求得OD的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)E作EG⊥x軸于G，根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長(zhǎng)；過(guò)O作AE的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過(guò)相似三角形所得比例線(xiàn)段即可求得OK的長(zhǎng)；在Rt△OMK中，通過(guò)解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長(zhǎng)可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長(zhǎng)；
（3）由于點(diǎn)P到△ABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是△ABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長(zhǎng)；求AP的長(zhǎng)時(shí)，可作△OBE的外接圓（設(shè)此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點(diǎn)即為m取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)⊙Q與x軸的另一交點(diǎn)（O點(diǎn)除外）為H，易求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長(zhǎng)，相對(duì)于⊙Q來(lái)說(shuō)，AE、AH都是⊙Q的割線(xiàn)，根據(jù)割線(xiàn)定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長(zhǎng)．
【詳解】（1）過(guò)E作EG⊥OD于G
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，OD＝2；
∵E為BD中點(diǎn)，
∴=
∴EG=1，GD＝
∴OG＝
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，1)
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，
∴.
可得.
∴拋物線(xiàn)的解析式為.
（2）∵拋物線(xiàn)與軸相交于、，在的左側(cè)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
過(guò)E作EG⊥x軸于G
∴,
∴在△AGE中，,
.
過(guò)點(diǎn)作⊥于，
可得△∽△．
∴．
∴．
∴
∴.
∵△是等邊三角形,
∴．
∴．
∴,或

????（3）如圖；

以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；
易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；
連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′為等邊三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，

根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四點(diǎn)共圓；
易求得Q（，1），則H（，0）；
∴AH=；
由割線(xiàn)定理得：AP?AE=OA?AH，
即：AP=OA?AH÷AE=×÷=
故： 可以取到的最小值為．
當(dāng)取得最小值時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合類(lèi)試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定和性質(zhì)，能力要求極高，難度很大．
8．(1)；(2)或；(3)的和最小值為．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法列方程組求出a、b的值即可；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出對(duì)稱(chēng)軸解析式，分兩種情況：當(dāng)以AB為邊時(shí)，EF//AB，由對(duì)稱(chēng)軸可得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)EF=AB=4即可得出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出EM的長(zhǎng)，把F點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，根據(jù)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義即可得出答案；當(dāng)以AB為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得F點(diǎn)坐標(biāo)，把F點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，根據(jù)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義即可得出答案；（3）由當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，連接，作于，根據(jù)AB=AF=BF可證明△ABF是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知均為等邊三角形，進(jìn)而可得當(dāng)共線(xiàn)時(shí)的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的長(zhǎng)即可得答案.
【詳解】(1)∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
∴
解得
∴解析式.
(2)當(dāng)時(shí)，由，得，
對(duì)稱(chēng)軸所在直線(xiàn)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵拋物線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)．
∴
①若為菱形的邊，如圖1，則，且的橫坐標(biāo)為3
∴的橫坐標(biāo)為7或-1，
∵，
∴
∴或，
當(dāng)，
∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=×(-1)2-(-1)×3+=6，
∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為.

②若為對(duì)角線(xiàn)，如圖2，
∵是菱形，，
∴EM=FM==
∴，
當(dāng)x=3時(shí)，y=×32-3×3+=-2，
∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為=-2，

綜上所述：點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為或-2.
(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小，如圖3，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，連接，作于，
∵AB=4，AF=BF=4，
∴△ABF是等邊三角形，
∵將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，
∴≌，且均為等邊三角形，
∴，
∵，
∴當(dāng)共線(xiàn)時(shí)的和最短，即最短值為的長(zhǎng)．
∵，
∴且，
∴，
∴，
在中，，
∴的和最小值為．

【點(diǎn)睛】本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義是解題關(guān)鍵.
9．最小值為．
【分析】根據(jù)題意，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，當(dāng)B、P、P’’、A’’共線(xiàn)時(shí)，取值最小，由旋轉(zhuǎn)及位似的性質(zhì)可得：，，在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得，再由勾股定理即可得．
【詳解】解：如圖所示，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，如圖所示：當(dāng)B、P、P’’、A’’共線(xiàn)時(shí)，取值最小，

，
由旋轉(zhuǎn)及位似的性質(zhì)可得：在中，
，
，
在中，
，
，，
在中，
∴根據(jù)勾股定理可得：
，
∴在中，
，
∴最小值為．
【點(diǎn)睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)、位似的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)及勾股定理解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線(xiàn)圖形是解題關(guān)鍵．
10．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）
【分析】（1）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，可以推出為等邊三角形，得到，則，即可得到A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為，然后證明，由此利用勾股定理求解即可；
（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，從而得到，則當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，最小值為，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，則，故當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，最小值為，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（4）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接，先證明，則可以得到，故當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，然后證明，即可利用勾股定理求解；
（5）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，然后證明，由此求解即可；
（6）由可由（5）得：的最小值為26；
（7）由可由（4）得的最小值為；
（8）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線(xiàn)時(shí)的值最?。谥校?，，過(guò)點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，然后求出，的長(zhǎng)，由此即可求解．
【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為
同理可證為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值為；

（2）如圖3-4，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴
∴，，
∴，
∴的最小值為；

（3）如圖3-6，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，，，
∴，
過(guò)點(diǎn)C作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴
∴，
∴
∴，
∴的最小值為；

（4）如圖3-8，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，
∴，，，是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，
∵，
∴，
∴的最小值為；

（5）如圖3-10，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，
同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，

∵，在中，，
，
最小為；
（6）∵
∴由（5）得：的最小值為26；
（7）∵
∴由（4）得的最小值為；

（8）如圖3-12，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，
同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線(xiàn)時(shí)的值最?。?br /> 在中，，，
過(guò)點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線(xiàn)，找到P點(diǎn)在什么位置時(shí)，線(xiàn)段的和最?。?br /> 11．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B′，取PP′中點(diǎn)D，連接AD，可得∠P′AB′=∠PAB，AB′=AB=4，當(dāng)點(diǎn)C、P、P′、B′共線(xiàn)是，CP+PP′+P′C最短，即最短，根據(jù)∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，可求∠ACB′=∠AB′C=在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理CD=即可；
（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B′，延長(zhǎng)AP′到AP″=2AP′，延長(zhǎng)AB′到AB″=2AB′，根據(jù)點(diǎn)P′，B′是AP″，AB″的中點(diǎn)，可得P″B″=2 P′B′，當(dāng)點(diǎn)C，P，P″，B″共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段最小值=CB″，過(guò)C作射線(xiàn)B″A的垂直線(xiàn)CE⊥B″A于E，先求出∠ECA=90°-∠EAC=30°，利用30°直角三角形性質(zhì)可得AE=，根據(jù)勾股定理EC，在Rt△CEB″中即可；
（3）把△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B′，以AP、AP為鄰邊作正方形APTP′，連接AT，′延長(zhǎng)AP′到AM=2AT，過(guò)M作MN∥P′B′，交AB′延長(zhǎng)線(xiàn)與N，可得AM=2AT=2，根據(jù)MN∥P′B′，可證△AP′B′∽△AMN，得出，可得， ，當(dāng)點(diǎn)C，P，M，N共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段最小值最小值=CN，過(guò)C作射線(xiàn)NA的垂直線(xiàn)CF⊥NA于F，先求出∠CAN=120°，再求∠FCA=90°-∠FAC=30°，利用30°直角三角形性質(zhì)可求AF=，利用勾股定理可求FC，在Rt△CFN中即可；
（4）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AP′B′，延長(zhǎng)CP交AP′與M，使PM=，根據(jù)勾股定理在Rt△APM中，AM=，過(guò)M作MN∥P′B′，交AB′于M，根據(jù)MN∥P′B′，可證△AP′B′∽△AMN，可得，可求，，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得CP+PM+MN≥CN，當(dāng)點(diǎn)C、P、M、N四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短=CF，過(guò)C作CG⊥NA于G，可求∠GAC=180°-∠BAF=60°，∠GCA=90°-∠GAC=30°利用30°直角三角形性質(zhì)AG=，利用勾股定理可求CG=，NG=NA+AG=，CN=即可 ．
【詳解】解：（1）將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B′，取PP′中點(diǎn)D，連接AD
∴∠P′AB′=∠PAB，AB′=AB=4，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、P′、B′共線(xiàn)是，CP+PP′+P′C最短，即最短，
∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，
∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°，
∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，
∴∠ACB′=∠AB′C=，
∵點(diǎn)D為PP′中點(diǎn)，AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴AD⊥PP′，即AD⊥CB′，
∴AD=，
在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理CD=，
∴最小值為CB′=2×；

（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B′，延長(zhǎng)AP′到AP″=2AP′，延長(zhǎng)AB′到AB″=2AB′，
∵點(diǎn)P′，B′是AP″，AB″的中點(diǎn)，
∴P″B″=2 P′B′，
∴當(dāng)點(diǎn)C，P，P″，B″共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段最小值=CB″，
過(guò)C作射線(xiàn)B″A的垂直線(xiàn)CE⊥B″A于E，
∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，
∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°，
∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，
∴∠CAB″=120°，AB″=2AB′=2AC=8，
∴∠EAC=180°-∠CAB″=60°，
∴∠ECA=90°-∠EAC=30°，
∴AE=，
∴EC，
在Rt△CEB″中
，
∴最小值為，

（3）把△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B′，以AP、AP為鄰邊作正方形APTP′，連接AT，′延長(zhǎng)AP′到AM=2AT，過(guò)M作MN∥P′B′，交AB′延長(zhǎng)線(xiàn)與N，
則AM=2AT=2，
∵M(jìn)N∥P′B′，
∴∠AP′B′=∠AMN，∠AB′P′=∠ANM，
∴△AP′B′∽△AMN，
∴，
∴， ，
∴當(dāng)點(diǎn)C，P，M，N共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段最小值最小值=CN，
過(guò)C作射線(xiàn)NA的垂直線(xiàn)CF⊥NA于F，
∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，
∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°，
∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，
∴∠CAN=120°，
∴∠FAC=180°-∠CAB″=60°，
∴∠FCA=90°-∠FAC=30°，
∴AF=，
∴FC，
在Rt△CFN中
，
∴最小值為，

（4）解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AP′B′，延長(zhǎng)CP交AP′與M，使PM=，
在Rt△APM中，AM=，
過(guò)M作MN∥P′B′，交AB′于M，
∵M(jìn)N∥P′B′，
∴∠AP′B′=∠AMN，∠AB′P′=∠ANM，
∴△AP′B′∽△AMN，
∴，

∴，，
∴CP+PM+MN≥CN，
當(dāng)點(diǎn)C、P、M、N四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短=CF，
過(guò)C作CG⊥NA于G，
∵∠BAC=30°，∠CAN=90°，
∴∠CAN=∠BAC+∠BAN=30°+90°=120°，
∴∠GAC=180°-∠BAF=60°，∠GCA=90°-∠GAC=30°，
∴AG=，CG=，NG=NA+AG=，
∴CN=，
∴最小值=CN=．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，30°直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，30°直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短是解題關(guān)鍵
12．．
【分析】先將△APC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C′，延長(zhǎng)AP′到E，AE=，根據(jù)勾股定理求出PE=，過(guò)E作FE∥P′C′，交AC′延長(zhǎng)線(xiàn)于F，可證△AP′C′∽△AEF，可得，求出，，根據(jù) BP+PE+EF≥BF，當(dāng)點(diǎn)B、P、E、F四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短=BF，過(guò)B作BH⊥FA于H，可求∠BAF=120°，可得∠HBA=30°，AH=，BH=，F(xiàn)H=FA+AH=，BF=即可．
【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C′，延長(zhǎng)AP'到E，使AE=，連結(jié)PE，過(guò)P作PG⊥AE于G，
∵∠PAG=60°，∠AGP=90°，
∴∠APG=90°-∠PAG=30°，
∴AG=，PG=，
∴GE=AE-AG=，
∴PE=，
過(guò)E作FE∥P′C′，交AC′于F，
∵FE∥P′C′，
∴∠AP′C′=∠AEF，∠AC′P′=∠AFE，
∴△AP′C′∽△AEF，
∴，
∴，，
∴BP+PE+EF≥BF，
當(dāng)點(diǎn)B、P、E、F四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短=BF，
過(guò)B作BH⊥FA于H，
∵∠BAC=60°，∠CAF=60°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+60°=120°，
∴∠HAB=180°-∠BAF=60°，
∴∠HBA=90°-∠HAB=30°，
∴AH=，
∴BH=，F(xiàn)H=FA+AH=，
BF=，
∴最小值=．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，四點(diǎn)共線(xiàn)，本題難度大，具有較強(qiáng)的作圖，和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，利用輔助線(xiàn)畫(huà)出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．
13．
【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線(xiàn)上時(shí)，=最短，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥A于E，
∴AE=，
∴E=A-AE=，
∴P=，
當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線(xiàn)上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=

【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線(xiàn)段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線(xiàn)的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．
14．．
【分析】將△APC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C′，延長(zhǎng)AP′到E，使PE=，作PG⊥AE于G，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角∠GAP=60°，∠PGA=90°可求∠GPA=90°-∠GAP=90°-60°=30°，利用30°直角三角形可得AG=AP，根據(jù)勾股定理PG=，EG=AE-AG=，根據(jù)勾股定理可求PE，過(guò)E作FE∥P′B′，交AB′延長(zhǎng)線(xiàn)于F，根據(jù)FE∥P′B′，可證△AP′B′∽△AEF，根據(jù)性質(zhì)可得，可得，，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得CP+PE+EF≥CF，當(dāng)點(diǎn)C、P、E、F四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短=CF，可得∠CAF=∠BAC+∠BAF=30°+60°=90°，根據(jù)勾股定理CF=即可．
【詳解】解：將△APB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′B′，延長(zhǎng)AP′的延長(zhǎng)線(xiàn)到E，使PE=，連結(jié)PE，作PG⊥AE于G，
∵∠GAP=60°，∠PGA=90°
∴∠GPA=90°-∠GAP=90°-60°=30°，
∴AG=AP，PG=
∴EG=AE-AG=，
在Rt△GPE中，PE=，
過(guò)E作FE∥P′B′，交AB′延長(zhǎng)線(xiàn)于F，
∵FE∥P′B′，
∴∠AP′B′=∠AEF，∠AB′P′=∠AFE，
∴△AP′B′∽△AEF，
∴，
∴，，
∴根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得CP+PE+EF≥CF，
當(dāng)點(diǎn)C、P、E、F四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短=CF，
過(guò)B作BG⊥FA于G，
∵∠BAC=30°，∠BAF=60°，
∴∠CAF=∠BAC+∠BAF=30°+60°=90°，
在Rt△CAF中，CF=，
最小=．
．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，勾股定理，30°直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共線(xiàn)，本題難度大，具有較強(qiáng)的作圖，和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，利用輔助線(xiàn)畫(huà)出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．
15．
【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，連接，，作交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，作交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，根據(jù)題意得到和都是等邊三角形，然后得出AF＋DF＋FE＋CE＋BE，最后根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，連接，，作交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，作交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，

∴，，
∴，，，，
又∵旋轉(zhuǎn)角等于60°，
∴，，
∴和都是等邊三角形，
∴，，
∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE，
∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值為的長(zhǎng)度．
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，，
∴．
∴．
∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題考查了費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的旋轉(zhuǎn)變化，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，解題的關(guān)鍵是將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，構(gòu)造出全等三角形．

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