中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練（23）專題?隱圓模型－－－四點(diǎn)共圓學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．如圖，圓上有、、、四點(diǎn)，其中，若弧、弧的長度分別為、，則弧的長度為（  ）A． B． C． D． 二、填空題2．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O為AC的中點(diǎn)，過O作OE⊥OF，OE、OF分別交射線AB、BC于E、F，則EF的最小值為  ．3．如圖，在中，，AB＝AC＝5，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段長為      4．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°得到，EF交BC于點(diǎn)N，連接AN，若，則           ．5．如圖，已知在扇形中，，半徑．P為弧上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，點(diǎn)M，N分別在半徑上，連接．點(diǎn)D是的外心，則點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為        ． 三、解答題6．如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點(diǎn)，直線與直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．7．我們知道：有一內(nèi)角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地我們定義：有一內(nèi)角為45°的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（4，0），B（－4，0），D是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADC=90°(A、D、C按順時(shí)針方向排列)， BC與經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的⊙M交于點(diǎn)E，DE平分∠ADC，連結(jié)AE，BD．顯然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．（1）求證：ΔABC是半直角三角形；（2）求證：∠DEC=∠DEA；（3）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8），求AE的長；（4）BC交y軸于點(diǎn)N，問的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由.8．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，過點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）延長交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，若的邊長為1，直接寫出的最大值．
參考答案：1．C【分析】先求出圓的周長，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓周角定理可得弧所對圓心角的度數(shù)，最后根據(jù)弧長的定義即可得．【詳解】弧、弧的長度分別為、圓的周長為（圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)）弧所對圓心角的度數(shù)為則弧的長度為故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、弧長的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓的相關(guān)定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．5【分析】首先過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N，易得四邊形OMBN是矩形，OM∥BC，ON∥AB，又由AB=6，BC=8，O為AC的中點(diǎn)，可求得OM與ON的長，然后由勾股定理求得MN的長，又由垂線段最短，可得當(dāng)OE與OM重合，即EF與MN重合時(shí)，EF最短，求得答案．【詳解】過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N，∵∠ABC＝90°，∴四邊形OMBN是矩形，∴OM∥BC，ON∥AB，∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，∴OM：BC=OA：AC，ON：AB=OC：AC，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OM＝BC＝×8＝4，ON＝AB＝×6＝3，∴MN＝＝5，由垂線段最短，可得當(dāng)OE與OM重合，即EF與MN重合時(shí)，EF最短，∴EF的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及垂線段最短的知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．【分析】連接DF，EF，過點(diǎn)F作，，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點(diǎn)A、D、F、E四點(diǎn)共圓，，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長度，從而求解．【詳解】解：如圖，連接DF，EF，過點(diǎn)F作，．∵在中，，點(diǎn)G是DE中點(diǎn)，∴．∵AG=FG，∴A、D、F、E四點(diǎn)共圓，G點(diǎn)為圓心，DE為直徑，∴．∵在中，，∴．又∵點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，∴，．∴四邊形AMFN是正方形，∴．∵，，∴．∴在和中，∴，∴，∴，∴在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)，較難．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．102.5°【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，得到點(diǎn)A、N、F、C共圓，再利用，根據(jù)平角的性質(zhì)即可得到答案；【詳解】解：如圖，AF與CB相交于點(diǎn)O，連接CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：AC=AF，，，，∴點(diǎn)A、N、F、C共圓，∴，又∵點(diǎn)A、N、F、C共圓，∴，∴（平角的性質(zhì)），故答案為：102.5°【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平角的性質(zhì)、點(diǎn)共圓的判定，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；5．．【分析】根據(jù)點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，其路徑也是一段弧，由題意可得，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對的圓心角是，連接，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)在和中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，可證得點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由垂徑定理，，，可求得，再根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)重合，得到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對的圓心角是，根據(jù)弧長公式可求解．【詳解】解：點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，其路徑也是一段弧，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對的圓心角是，如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，在和中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，又，，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由垂徑定理得，，在中，，，則，，∵是的外接圓的圓心，即：點(diǎn)和點(diǎn)重合，如圖2，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心為半徑，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對的圓心角是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑所對的圓心角是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，弧長公式，三角形的外心的性質(zhì)，理解題意熟悉公式是解題的關(guān)鍵．6．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂直及同弧所對圓周角相等性質(zhì)，可得，可證與全等，得到，進(jìn)一步即可證點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對稱；（2）作出相應(yīng)輔助線如解析圖，可得與全等，利用全等三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵同弧所對圓周角相等，∴，∴，在與中，∴，∴，又，∴點(diǎn)和關(guān)于直線成軸對稱；（2）如圖，延長交于點(diǎn)，連接，，，，∵，，∴、、、四點(diǎn)共圓，、、、四點(diǎn)共圓，∴，，在與中，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，又，∴，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形全等、成軸對稱、平行線性質(zhì)等，作出相應(yīng)輔助線及對各知識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）不變，為 .【分析】（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所對的圓周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根據(jù)定義得：△ABC是半直角三角形；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：AD=BD，由等角對等邊得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四點(diǎn)共圓，則∠DBA+∠DEA=180°，可得結(jié)論；（3）設(shè)⊙M的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程為：（8-r）2+42=r2，可得⊙M 的半徑為5，由同弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；（4）過點(diǎn)C作CH⊥DO于H，過點(diǎn)C作CQ⊥BA于Q,通過證明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN為等腰直角三角形即可.【詳解】解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，∴∠ABE=∠ADE=45?∴ΔABC是半直角三角形（2））∵OM⊥AB，OA=OB，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠DEB=∠DAB，∴∠DBA=∠DEB，∵D、B、A、E四點(diǎn)共圓，∴∠DBA+∠DEA=180°，∵∠DEB+∠DEC=180°，∴∠DEA=∠DEC；（3））①如圖，連接AM，ME，設(shè)⊙M的半徑為r，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,8）∴OM=8-r由得解得r=5  ∴⊙M 的半徑為5∵∠ABE=45°∴∠EMA=2∠ABE=90°，∴EA2=MA2+ME2=52+52=50∴（4）不變，為 過點(diǎn)C作CH⊥DO于H，過點(diǎn)C作CQ⊥BA于Q，           ∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，∴∠ODA=∠CDA，在△HDC和△ADO中， ∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），∴HC=OD，DH=OA， 又∵BO=AO，∴HO=DH+DO=OB+CH，而CH=OQ，HO=CQ，∴CQ=OB+OQ=BQ，∴∠CBQ=45°，又∵CH∥BA，∴∠HCN=45°，∴△HCN為等腰直角三角形，∴∴=【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、圓的有關(guān)性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)列方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．8．（1）見解析；（2）見解析；（3）1【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，從而可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，易得GC=CE證明即可解決；（3）連接，則由等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得AF⊥BC，從而有點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)在以為直徑的圓上，則當(dāng)EF是圓的直徑時(shí)最長，從而可求得此時(shí)EF的值．【詳解】（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，是等邊三角形為等邊三角形，，且，（2）如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，，，，，，且，點(diǎn)是中點(diǎn)（3）如圖，連接，是等邊三角形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)在以為直徑的圓上，最大為直徑，即最大值為1【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵． 

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