(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
【解析】(1)
拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
(2)設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，
所以，
若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系.
2．【2022年全國(guó)乙卷】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．
【解析】(1)
解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
(2)
，所以，
①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過(guò)點(diǎn).
②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】
3、【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
【解析】(1)
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線
易知直線l的斜率存在，設(shè)，，
聯(lián)立可得，，
所以，，．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化簡(jiǎn)得，，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，與題意不符，舍去，
故．
(2)
不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，即?br>即，解得，
于是，直線，直線，
聯(lián)立可得，，
因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以， ，
同理可得，， ．
所以，，
點(diǎn)到直線的距離，
故的面積為．
4、【2022年新高考2卷】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】(1)
右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
(2)由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價(jià)于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,則,
設(shè),
則條件③等價(jià)于,
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上，等價(jià)于；
條件②等價(jià)于；
條件③等價(jià)于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
5、【2020年高考全國(guó)Ⅲ文21理數(shù)20】已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點(diǎn)．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求△ SKIPIF 1 < 0 的面積．
【解析】解法一：（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮 SKIPIF 1 < 0 的情形，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴有 SKIPIF 1 < 0 = 1 \* GB3 ①．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 = 2 \* GB3 ②．
又 SKIPIF 1 < 0 = 3 \* GB3 ③．
聯(lián)立 = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②、 = 3 \* GB3 ③，可得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．綜上所述，可得 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)離心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸垂線，交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形全等條件“ SKIPIF 1 < 0 ”，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，將其代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，畫(huà)出圖象，如圖，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得直線 SKIPIF 1 < 0 的直線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為： SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面積為： SKIPIF 1 < 0 ．
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，畫(huà)出圖象，如圖，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得直線 SKIPIF 1 < 0 的直線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為： SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面積為： SKIPIF 1 < 0 ．
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 面積為： SKIPIF 1 < 0 ．
6、（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求C的方程;
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求直線 SKIPIF 1 < 0 斜率的最大值.
【解析】（1）拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，準(zhǔn)線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該拋物線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在拋物線上可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
綜上，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
7、（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 上點(diǎn)的距離的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線， SKIPIF 1 < 0 是切點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值．
【解析】（1）拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 上點(diǎn)的距離的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可知，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為這兩條直線的公共點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)滿足方程 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韋達(dá)定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的面積取最大值 SKIPIF 1 < 0 .
8、（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，過(guò) SKIPIF 1 < 0 的兩條直線分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和.
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以，軌跡 SKIPIF 1 < 0 是以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線 SKIPIF 1 < 0 無(wú)公共點(diǎn)，
不妨直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
由韋達(dá)定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，顯然 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
因此，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和為 SKIPIF 1 < 0 .
題型一 圓錐曲線中的最值問(wèn)題
1-1、（2022·江蘇無(wú)錫·高三期末）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 軸正半軸上的一點(diǎn)，過(guò)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】(1)解：由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，橢圓 SKIPIF 1 < 0 標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0
綜上： SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
1-2、（2022·江蘇如皋·高三期末）設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，設(shè)直線AB，AC與直線 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)分別為P，Q，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最小值.
【解析】【分析】
（1）把點(diǎn)代入橢圓方程，然后結(jié)合離心率公式即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程 SKIPIF 1 < 0 ，與橢圓方程聯(lián)立消元寫(xiě)韋達(dá)，然后表示出直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程，進(jìn)而求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.
(1)由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
代入橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，
SKIPIF 1 < 0
把①式代入，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
題型二 圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題
2-1、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．
(1)求拋物線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P（1，1）作兩條動(dòng)直線l1，l2分別交拋物線于點(diǎn)A，B，C，D．設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m，試判斷直線m是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)y2＝4x；
(2)直線m恒過(guò)定點(diǎn)( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，理由見(jiàn)解析.
【解析】由題意得該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 SKIPIF 1 < 0 －(－ SKIPIF 1 < 0 )＝p＝2，
所以該拋物線的方程為y2＝4x．
(2)①當(dāng)直線l1， l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線l1： SKIPIF 1 < 0 ，直線l2：y－1＝k2（x－1），
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，顯然 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝ SKIPIF 1 < 0 ，x1x2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
則以AB為直徑的圓的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝0，
同理，以CD為直徑的圓的方程為： SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝0，
∴以兩圓公共弦所在的直線m的方程為： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )．
②當(dāng)直線l1，l2的斜率中有一個(gè)不存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)l1的斜率不存在，l2的斜率為k2，
則以AB為直徑的圓的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
以CD為直徑的圓的方程為： SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝0，
所以兩圓公共弦所在的直線m的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí)直線m恒過(guò)定點(diǎn)（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
綜上得：直線m恒過(guò)定點(diǎn)（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
2-2、（2022·廣東汕尾·高三期末）已知點(diǎn)M為直線 SKIPIF 1 < 0 ：x=-2上的動(dòng)點(diǎn)，N（2，0），過(guò)M作直線 SKIPIF 1 < 0 的垂線l，l交線段MN的垂直平分線于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為C．
(1)求曲線C的方程；
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，試問(wèn)直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用定義法求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達(dá)定理，化簡(jiǎn) SKIPIF 1 < 0 ，代入韋達(dá)定理即得解.
(1)
解：由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，
即點(diǎn)P到定點(diǎn)N的距離等于它到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離，
故點(diǎn)P的軌跡是以N為焦點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
所以直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
題型三 圓錐曲線中的定值問(wèn)題
3-1、（2022·山東青島·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，證明： SKIPIF 1 < 0 的面積為定值.
【解析】(1)
由橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ① ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ②，
① ②聯(lián)立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
② 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
證明：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，可知 SKIPIF 1 < 0
故可得此時(shí)有 SKIPIF 1 < 0 ，該點(diǎn)在橢圓上，則 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
則此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ;
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時(shí)，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
則聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
且需滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 ，
由原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心知， ，
故 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，代入到 SKIPIF 1 < 0 中，
化簡(jiǎn)得： ，即 ，
又原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，故 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 距離的3倍，
所以 ，
而
=
= ，
因此
=，
綜合上述可知： SKIPIF 1 < 0 的面積為定值.
3-2、（2022·山東泰安·高三期末）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 分別是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦點(diǎn)，射線 SKIPIF 1 < 0 分別交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，已知 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為8，且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 為定值.
【解析】(1)
根據(jù)橢圓的定義可得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
將 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
橢圓C的方程為： SKIPIF 1 < 0
(2)
由題知， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 .
題型四 圓錐曲線中的角度問(wèn)題
4-1、（2022·廣東東莞·高三期末）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為右焦點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸的交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為橢圓上異于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的任意一點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以及 SKIPIF 1 < 0 關(guān)系，聯(lián)立可求解出 SKIPIF 1 < 0 ，從而得橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，表示出直線 SKIPIF 1 < 0 的方程，從而得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，代入化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以可證明 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
由題知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)橛医裹c(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是銳角，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
4-2、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，試判斷在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上是否存在三個(gè)不同點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)不相等)，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出直線 SKIPIF 1 < 0 的方程，若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，方程為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）由離心率及過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，及 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的關(guān)系可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求出參數(shù)的值，求出直線的方程．
【詳解】解：（1）由題意知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
則橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由題意，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不為0，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在橢圓上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 傾斜角互補(bǔ)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在滿足條件的三個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
題型五 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題
5-1、（2022·山東淄博·高三期末）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，F(xiàn)到漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)若直線l過(guò)F，且與C交于P，Q兩點(diǎn)（異于C的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線與直線AP，AQ的交點(diǎn)分別為M，N．是否存在實(shí)數(shù)t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)F到漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，可求得b，再根據(jù)漸近線方程可求得a,，即得雙曲線方程；
（2）假設(shè)存在，設(shè)直線的方程，并和雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量的坐標(biāo)，利用其數(shù)量積為零，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入，看能否解出參數(shù)t的值，即可得答案.
(1)
雙曲線 SKIPIF 1 < 0 一條漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
焦點(diǎn) ，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 ，
由F到漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 可知： SKIPIF 1 < 0 ，
由漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 知： ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線方程為： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
設(shè)直線l的方程為 ，
聯(lián)立 ，整理得： ，
設(shè) ，而 ,
則 ，
所以 ， ，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得，則 ,
故由 SKIPIF 1 < 0 方程： ,令得 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 方程： ,令得，
所以，
即 ，
則 ，
即 ，解得 ，
故存在實(shí)數(shù)，使得.
5-2、（2021·江蘇南京市高三三模）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)度的最小值；
（2）設(shè)以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)y0＝±2 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，|AP|取得最小值2 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)直線AB的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)以AB為直徑的圓上任一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
所以Q的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以Q的軌跡方程化為 SKIPIF 1 < 0
令y＝0，得 SKIPIF 1 < 0
所以上式方程的兩根分別為x3，x4，，則 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．
所以存在t＝2，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
1、(2022·南京9月學(xué)情【零?！?(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右頂點(diǎn)分別為A，B．F是橢圓的右焦點(diǎn)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．
(1)求橢圓C的方程；
(2)不過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，AM，AN的斜率分別為k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，證明直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】圓錐曲線中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系：定點(diǎn)問(wèn)題
【解析】
(1)由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)．
因?yàn)镋Q \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，
所以EQ \B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))…………………………………………………………………2分
解得eq \B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))從而b2＝a2－c2＝3．
所以橢圓C的方程eq \f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．…………………………………………………………4分
(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因?yàn)橹本€l不過(guò)點(diǎn)A，因此－2k＋m≠0．
由eq \B\lc\{(\a\al(\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1，,y＝k＋m，))得(eq 3＋4k\s\up6(2))x\s\up6(2)＋8kmx＋4m\s\up6(2)－12＝0．
則eq x\s\d(1)＋x\s\d(2)＝\f(－8km,3＋4k\s\up6(2))，x1x2＝EQ \F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))．…………………………………………………………6分
所以k1＋k2＝EQ \F(y\S\DO(1),x\S\DO(1)＋2)＋EQ \F(y\S\DO(2),x\S\DO(2)＋2)＝EQ \F(2kx\S\DO(1)x\S\DO(2)＋(2k＋m)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4m,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4)
＝EQ \F(2k·\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋(2k＋m)·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4m,\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋2·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4)
＝EQ \F(12(m－2k),4\b\bc\((\l(m\S(2)－4km＋4k\S(2))))＝EQ \F(3,m－2k)．
由k(k1＋k2)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．……………………………………………10分
故l的方程為y＝kx＋5k，恒過(guò)定點(diǎn)(－5，0)．……………………………………………12分
2、（2022·山東棗莊·高三期末）如圖， SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且異于 SKIPIF 1 < 0 軸的直線與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的另一交點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 為定值；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】
(1)因?yàn)锳為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點(diǎn)，故 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故直線AM的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直線AN的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線AM的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
將AM的方程 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)直線AN的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
3、（2022·江蘇蘇州·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 ，記動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為曲線 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點(diǎn)（不含短軸端點(diǎn)），點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 為定值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，直接根據(jù)條件列方程，注意挖去兩點(diǎn)，即可得到答案；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，進(jìn)行計(jì)算可得 SKIPIF 1 < 0 為定值；
(1)
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0
直線 SKIPIF 1 < 0 方程為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程為： SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 方程中令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 為定值．
4、（2020屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是其右焦點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 為銳角，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 為橢圓的左焦點(diǎn),連接 SKIPIF 1 < 0 ,由橢圓的對(duì)稱性可知, SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為銳角,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
5、(2022·武漢部分學(xué)校9月起點(diǎn)質(zhì)量檢測(cè))(12分)已知橢圓E：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的離心率為eq \f(\r(,2),2)，點(diǎn)A(0，－1)是橢圓E短軸的一個(gè)四等分點(diǎn)．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為k1的動(dòng)直線與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)B(0，2)，直線BM，BN分別交⊙C：eq x\s\up6(2)＋(y－1)\s\up6(2)＝1于異于點(diǎn)B的點(diǎn)P，Q，設(shè)直線PQ的斜率為k2，求實(shí)數(shù)λ，使得k2＝λk1恒成立．
【解析】
(1)由題意，eq \f(b－(－1),(－1)－(－b))＝3，解得b＝2，
設(shè)橢圓半焦距為c，則eq \f(c,a)＝\f(\r(,2),2)，即eq 1－\f(b\s\up6(2),a\s\up6(2))＝\f(1,2)，解得eq a\s\up6(2)＝8．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x\s\up6(2),8)＋\f(y\s\up6(2),4)＝1． …………4分
(2)設(shè)eq M(x\s\d(1)，y\s\d(1))，N(x\s\d(2)，y\s\d(2))，P(x\s\d(P)，y\s\d(P))，Q(x\s\d(Q)，y\s\d(Q))，直線MN方程為eq y＝k\s\d(1)x－1．
方法一：
直線BM方程為eq y＝\f(y\s\d(1)－2,x\s\d(1))x＋2，與eq x\s\up6(2)＋(y－1)\s\up6(2)＝1聯(lián)立．
得eq (x\s\d(1)\s\up6(2)＋(y\s\d(1)－2)\s\up6(2))x\s\up6(2)＋2x\s\d(1)(y\s\d(1)－2)x＝0．
由xP≠0，解得eq x\s\d(P)＝\f(－2x\s\d(1)(y\s\d(1)－2),x\s\d(1)\s\up6(2)＋(y\s\d(1)－2)\s\up6(2))．
又EQ \F(x\S\DO(1)\s\up3(2),8)＋EQ \F(y\S\DO(1)\s\up3(2),4)＝1，即x12＝8－2y12，代入上式，得eq x\s\d(P)＝\f(－2x\s\d(1)(y\s\d(1)－2),2(4－y\s\d(1)\s\up6(2))＋(y\s\d(1)－2)\s\up6(2))＝\f(2x\s\d(1),y\s\d(1)＋6)．
eq y\s\d(P)＝\f(y\s\d(1)－2,x\s\d(1))x\s\d(p)＋2＝4－\f(16,y\s\d(1)＋6)．
即點(diǎn)eq P(\f(2x\s\d(1),y\s\d(1)＋6)，4－\f(16,y\s\d(1)＋6))，同理，點(diǎn)eq Q(\f(2x\s\d(2),y\s\d(2)＋6)，eq 4－\f(16,y\s\d(2)＋6))．
eq k\s\d(2)＝\f(y\s\d(P)－y\s\d(Q),x\s\d(P)－x\s\d(Q))＝EQ \F(4－\F(16,y\S\DO(1)＋16)－\b\bc\((\l(4－\F(16,y\S\DO(2)＋16))),\F(2x\S\DO(1),y\S\DO(1)＋6)－\F(2x\S\DO(2),y\S\DO(2)＋6))＝eq \f(8(y\s\d(1)－y\s\d(2)),x\s\d(1)y\s\d(2)－x\s\d(2)y\s\d(1)＋6x\s\d(1)－6x\s\d(2))．
將eq y\s\d(1)＝k\s\d(1)x\s\d(1)－1，y\s\d(2)＝k\s\d(1)x\s\d(2)－1代入上式，
得k2＝EQ \F(8k\S\DO(1)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)－x\S\DO(2))),x\S\DO(1)\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(2)－1))－x\S\DO(2)\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(1)－1))＋6\b\bc\((\l(x\S\DO(1)－x\S\DO(2))))eq ＝\f(8k\s\d(1)(x\s\d(1)－x\s\d(2)),5(x\s\d(1)－x\s\d(2)))．
即k2＝EQ \F(8,5)k1，∴λ＝EQ \F(8,5)． …………12分
方法二：
eq y＝k\s\d(1)x－1與eq \f(x\s\up6(2),8)＋\f(y\s\up6(2),4)＝1聯(lián)立得：eq (2k\s\d(1)\s\up6(2)＋1)x\s\up6(2)－4k\s\d(1)x－6＝0，則eq \B\lc\{(\a\al(x\s\d(1)＋x\s\d(2)＝\f(4k\s\d(1),2k\s\d(1)),x\s\d(1)x\s\d(2)＝\f(－6,2k\s\up6(2)＋1)))．
eq k\s\d(BM)＋k\s\d(BN)＝\f(y\s\d(1)－2,x\s\d(1))＋\f(y\s\d(2)－2,x\s\d(2))＝\f(k\s\d(1)x\s\d(1)－3,x\s\d(2))＝\f(k\s\d(1)x\s\d(1)－3,x\s\d(2))＝2k\s\d(1)－\f(3(x\s\d(1)＋x\s\d(2)),x\s\d(1)x\s\d(2))＝4k\s\d(1)．
kBMkBN＝EQ \F(y\S\DO(1)－2,x\S\DO(1))?EQ \F(y\S\DO(2)－2,x\S\DO(2))＝EQ \F(\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(1)－3))\b\bc\((\l(k\S\DO(1)x\S\DO(2)－3)),x\S\DO(1)x\S\DO(2))＝EQ \F(k\S\DO(1)\s\up3(2)x\S\DO(1)x\S\DO(2)－3k\S\DO(1)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋9,x\S\DO(1)x\S\DO(2))
＝EQ \F(－6k\S\DO(1)\s\up3(2)－12k\S\DO(1)\s\up3(2)＋9\b\bc\((\l(2k\S\DO(1)\s\up3(2)＋1)),－6)＝－EQ \F(3,2)．
設(shè)直線PQ方程為eq y＝k\s\d(2)x＋t，與eq x\s\up6(2)＋(y－1)\s\up6(2)＝1聯(lián)立得：eq (k\s\d(2)\s\up6(2)＋1)x\s\up6(2)＋2k\s\d(2)(t－1)x＋r(t－2)＝0．
則EQ \B\lc\{(\a\al(x\S\DO(P)＋x\S\DO(Q)＝\F(－2k\S\DO(2)(t－1),k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1),x\S\DO(P)x\S\DO(Q)＝\F(t(t－2),k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1)))．
eq k\s\d(BP)＋k\s\d(BQ)＝\f(y\s\d(P)－2,x\s\d(P))＋\f(y\s\d(Q)－2,x\s\d(Q))＝\f(k\s\d(2)x\s\d(P)＋t－2,x\s\d(P))＋\f(k\s\d(2)x\s\d(Q)＋t－2,x\s\d(Q))＝2k\s\d(2)＋\f((t－2)(x\s\d(P)＋x\s\d(Q)),x\s\d(P)x\s\d(Q))
eq ＝2k\s\d(2)－\f(2k\s\d(2)(t－2)(t－1),t(t－2))＝\f(2k\s\d(2),t)．
kBPkBQ＝EQ \F(y\S\DO(P)－2,x\S\DO(P))?EQ \F(y\S\DO(Q)－2,x\S\DO(Q))＝EQ \F(\b\bc\((\l(k\S\DO(2)x\S\DO(P)＋t－2))\b\bc\((\l(k\S\DO(2)x\S\DO(Q) ＋t－2)),x\S\DO(P)x\S\DO(Q))＝EQ \F(k\S\DO(2)\s\up3(2)x\S\DO(P)x\S\DO(Q)＋k\S\DO(2)(t－2)\b\bc\((\l(x\S\DO(P)＋x\S\DO(Q)))＋(t－2)\s\up3(2),x\S\DO(P)x\S\DO(Q))
＝EQ \F(k\S\DO(2)\s\up3(2)t(t－2)－2k\S\DO(2)\s\up3(2)(t－2)(t－1)＋\b\bc\((\l(k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1))(t－2)\s\up3(2),t(t－2))＝EQ \F(k\S\DO(2)\s\up3(2)t－2k\S\DO(2)\s\up3(2)(t－1)＋\b\bc\((\l(k\S\DO(2)\s\up3(2)＋1))(t－2),t)＝EQ \F(t－2,t)．
由EQ \B\lc\{(\a\al(k\S\DO(BM)＋k\S\DO(BN)＝k\S\DO(BP)＋k\S\DO(BQ),k\S\DO(BM)k\S\DO(BN)＝k\S\DO(BP)k\S\DO(BQ)))，即EQ \B\lc\{(\a\al(4k\S\DO(1)＝\F(2k\S\DO(2),t),－\F(3,2)＝\F(t－2,t)))，解得EQ \B\lc\{(\a\al(t＝\F(4,5),k\S\DO(2)＝\F(8,5)k\S\DO(1)))．
∴λ＝EQ \F(8,5)． …………12分

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