新高考數(shù)學二輪復習考點歸納與演練專題10-1 概率統(tǒng)計（選填）（含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題10-1概率統(tǒng)計（選填）
目錄
1
題型一：隨機抽樣、分層抽樣 1
題型二：用樣本估計總體 3
題型三：樣本的數(shù)字特征 8
題型四：百分位數(shù) 10
題型五：線性回歸 13
題型六：獨立性檢驗 18
題型七：排列組合 25
題型八：二項式定理 29
題型九：古典概型 33
題型十：條件概率 37
題型十一：正態(tài)分布 41
題型十二：均值和方差 45
50

題型一：隨機抽樣、分層抽樣
【典例分析】
例題1．（2022秋·廣東潮州·高一饒平縣第二中學?？计谥校哪嘲嗝瑢W中選出人參加戶外活動，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將名同學按，，…，進行編號，然后從隨機數(shù)表第行的第列和第列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第個同學的編號為(注：表為隨機數(shù)表的第行與第行)（????）
??????????????
??????????????
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】按題意，從第一行第5列，兩個兩個數(shù)字取數(shù)，抽樣編號依次為43，36，47，46，24，第5個是24，
故選：A
例題2．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習）某日某火鍋店進貨了四種食品，其中毛肚、鴨腸、牛肉及萵筍分別進貨了700份、600份、500份、200份，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的毛肚份數(shù)與萵筍份數(shù)之和是（????）
A．7 B．13 C．8 D．9
【答案】D
【詳解】由題意可知采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的毛肚份數(shù)為，
抽取的萵筍份數(shù)為，
故抽取的毛肚份數(shù)與萵筍份數(shù)之和是，
故選：D
【提分秘籍】
隨機數(shù)表法是常用的一種抽樣方法，使用時做到不重復，不遺漏.
分層抽樣注意分層，每層抽樣比相同.
【變式演練】
1．（2022春·廣東珠?！じ叨楹Ｊ袑嶒炛袑W校考階段練習）要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進行檢驗，將它們編號為000，001，002，…499，利用隨機數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的數(shù)開始，按3位數(shù)依次向右讀取，到行末后接著從下一行第一個數(shù)繼續(xù).則第四袋牛奶的標號是（????）
（下面摘取了某隨機數(shù)表的第7行至第9行）

A．358 B．301 C．071 D．206
【答案】C
【詳解】由題意可知，讀取的第一個數(shù)據(jù)是583，不符合條件，第二個數(shù)據(jù)是921，不符合條件，第三個數(shù)據(jù)是206，符合條件；
即隨機選取的第一袋牛奶標號是206；
以下數(shù)據(jù)依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合題意的數(shù)據(jù)只有301，169，301三個數(shù)據(jù)，但是301屬于重復數(shù)據(jù)，繼續(xù)往后計數(shù)；
下一個數(shù)是071，符合條件，即前四袋牛奶的標號依次為206，301，169，071；
所以，第四袋牛奶的標號為071.
故選：C.
2．（2022·全國·高三專題練習）某中學的高一?二?三這三個年級學生的平均身高分別為，若按年級采用分層抽樣的方法抽取了一個600人的樣本，抽到高一?高二?高三的學生人數(shù)分別為100?200?300，則估計該高中學生的平均身高為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設該中學的總人數(shù)為，
由題意知，高一?高二?高三的學生總人數(shù)分別為：，
所以估計該高中學生的平均身高為：.
故選：A
題型二：用樣本估計總體
【典例分析】
例題1．（多選）（2022·山東東營·勝利一中?？寄M預測）某校舉行勞動技能大賽，統(tǒng)計了名學生的比賽成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知成績均在區(qū)間內(nèi)，不低于分的視為優(yōu)秀，低于分的視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值做代表值，則下列說法中正確的是（????）

A．
B．優(yōu)秀學生人數(shù)比不及格學生人數(shù)少人
C．該次比賽成績的平均分約為
D．這次比賽成績的分位數(shù)為
【答案】BCD
【詳解】對于A項，由題意，所以，故A錯誤；
對于B項，優(yōu)秀學生人數(shù)為，不及格學生人數(shù)，優(yōu)秀學生人數(shù)比不及格學生人數(shù)少15人，故B正確；
對于C項，平均分，故C正確；
對于D項，設百分位數(shù)為，則有，所以，故D正確.
故選:BCD
例題2．（多選）（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）教育部辦公廳“關于進一步加強中小學生體質健康管頻率理工作的通知”中指出，各地要加強對學生體質健康0.06重要性的宣傳，中小學校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團隊活動，家校協(xié)同聯(lián)動等多種形式加強教育引導，讓家長和中小學生007科學認識體質健康的影響因素．了解運動在增強體質、促進健康、預防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學生體育與健康素養(yǎng)，增強體質健康管理的意識和能力，某學校共有2000名男生，為了了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查了100名男生的體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（????）

A．樣本的眾數(shù)為 B．樣本的80%分位數(shù)為72
C．樣本的平均值為66 D．該校男生中低于60公斤的學生大約為300人
【答案】ABD
【詳解】對于，樣本的眾數(shù)為，故正確;
對于，由頻率分布直方圖可知樣本的80%分位數(shù)為，故正確，
對于，由直方圖估計樣本平均值為：
，故錯誤，
對于，2000名男生中體重低于的人數(shù)大約為，故正確，
故選：．
【提分秘籍】
頻率分布直方圖中的考點常常涉及到:
①平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)估計值；
②各個小矩形面積之和等于1
【變式演練】

1．（多選）（2022·廣東韶關·統(tǒng)考一模）某電視傳媒機構為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了200名觀眾進行調(diào)查，其中女性占40%.根據(jù)調(diào)查結果分別繪制出男?女觀眾兩周時間收看該類體育節(jié)目時長的頻率分布直方圖，則（????）

A．
B．女觀眾收看節(jié)目時長的中位數(shù)為6.5小時
C．女觀眾收看節(jié)目的平均時長小于男觀眾的平均時長
D．收看節(jié)目不少于9小時觀眾中的女觀眾人數(shù)是男觀眾人數(shù)的
【答案】BC
【詳解】對于A，由，解得，故A錯誤；
對于B，由頻率分布直方圖可知，女觀眾收看時長在的頻率為，在的頻率為，所以女觀眾收看時長的中位數(shù)落在中，不妨設為，
則，解得，則女觀眾收看時長的中位數(shù)為，故B正確；
對于C，男性觀眾收看節(jié)目的平均時長為小時，女性觀眾收看節(jié)目的平均時長為小時，故C正確；
對于D，由頻率直方圖可知，男性觀眾收看到達9小時人數(shù)為人，女性觀眾收看達到9小時人數(shù)為人，故D錯誤.
故選：BC.
2．（多選）（2022·江蘇南京·南京外國語學校校聯(lián)考模擬預測）某校為了解學生體能素質，隨機抽取了100名學生進行體能測試，并將這100名學生成績整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結論中正確的是（????）

A．a(chǎn)=0.012
B．這100名學生中成績在[50，70）內(nèi)的人數(shù)為52
C．這100名學生成績的中位數(shù)為65
D．這100名學生的平均成績?yōu)?8.2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值做代表）
【答案】ABD
【詳解】對于A，，
，所以A正確．
對于B，所以B正確；
對于C，，
中位數(shù)在，設中位數(shù)為，則，
所以C錯誤．
對于D，平均數(shù)，所以D正確．
故選：ABD.
題型三：樣本的數(shù)字特征
【典例分析】
例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市第一中學校?？家荒＃┮阎粋€容量為的樣本數(shù)據(jù)的平均值為90，方差為10，若去掉其中5個為90的樣本數(shù)據(jù)，剩余樣本數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，則下列結論正確的是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】由題意可知，個樣本數(shù)據(jù)之和為，
去掉5個相同的樣本數(shù)據(jù)90后，個樣本數(shù)據(jù)之和為，
所以，排除選項C；
因為樣本數(shù)據(jù)中有5個相同的數(shù)據(jù)90，且，
不妨設去掉的5個相同的樣本數(shù)據(jù)90都排在最后，
則，
所以，即．
故選：A
例題2．（2022春·四川成都·高三統(tǒng)考期末）若數(shù)據(jù)9，，6，，5的平均數(shù)為7，方差為2，則數(shù)據(jù)11，9，，17，的平均數(shù)和方差分別為（????）
A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8
【答案】C
【詳解】數(shù)據(jù)9，m，6，n，5的平均數(shù)為，
方差為，
化簡得，解得或，
或，
則數(shù)據(jù)11，9，，17，為或，
兩組數(shù)據(jù)有相同的平均數(shù)和方差，
平均數(shù)為，
方差為，
故選：C

【變式演練】

1．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考模擬預測）某地區(qū)連續(xù)六天的最低氣溫(單位:℃)為: 9, 8, 7, 6, 5, 7, 則該六天最低氣溫的平均數(shù)和方差分別為
A．7和 B．8和 C．7和1 D．8和
【答案】A
【詳解】平均數(shù),
方差.
故選A.
2．（2022·上海·高三專題練習）若數(shù)的標準差為，則數(shù)的標準差為________.
【答案】6
【詳解】數(shù)，，，，的標準差為2，
則數(shù)，，，，的方差為4，
數(shù)，，，，的方差為，標準差為6.
故答案為： 6．
3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是　 .
【答案】
【詳解】∵總體的中位數(shù)為，∴a+b=21，
故總體的平均數(shù)為10，要使該總體的方差最小，
只需最小，
又,
當且僅當a=b=10.5時，等號成立.
題型四：百分位數(shù)
【典例分析】
例題1．（2022春·浙江紹興·高三紹興一中?？计谥校?，3，4，5，6，7，8，9中隨機取兩個數(shù)，這兩個數(shù)一個比大，一個比小的概率為，已知為上述數(shù)據(jù)中的分位數(shù)，則的取值可能為（????）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【詳解】從2，3，4，5，6，7，8，9中隨機取兩個數(shù)有種，一個數(shù)比大，一個數(shù)比小的不同結果有，
于是得，整理得：，解得或，
當時，數(shù)據(jù)中的分位數(shù)是第3個數(shù)，則，解得，所有選項都不滿足；
當時，數(shù)據(jù)中的分位數(shù)是第6個數(shù)，則，解得，選項A，B，D不滿足，C滿足.
故選：C
例題2．（2022春·河南開封·高三統(tǒng)考開學考試）已知甲?乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：.若甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則等于______.
【答案】8
【詳解】因為，甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，
乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第四個和第五個數(shù)的平均數(shù)，
根據(jù)題意可得，解得．
故答案為：8.
【提分秘籍】

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
②計算．
③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項與第項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
【變式演練】
1．（2022春·山東聊城·高三山東聊城一中?？计谀?021年2月20日，在黨史學習教育動員大會上，習近平總書記強調(diào)這次學習教育“總的來說就是要做到學史明理?學史增信?學史崇德?學史力行，教育引導全黨同志學黨史?悟思想?辦實事?開新局”.某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：
黨史學習時間（小時）
7
8
9
10
11
黨員人數(shù)
6
10
9
8
7
則該單位黨員一周學習黨史時間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（????）
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
【答案】A
【詳解】由統(tǒng)計數(shù)表可知，學習7小時的有6人，學習8小時的有10人，學習9小時的有9人，學習10小時的有8人，學習11小時的有7人，共有40人.
學習8小時的人數(shù)最多，故學習黨史時間的眾數(shù)是8；
由，故第40百分位數(shù)為數(shù)據(jù)從小到大排序第16項與第17項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
即，故學習黨史時間的第40百分位數(shù)是8.5；
故選：A
2．（2022·上?！じ呷y(tǒng)考學業(yè)考試）某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，數(shù)據(jù)從小到大排序如下（單位：）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是173，則的值為________.
【答案】172
【詳解】百分位數(shù)的意義就在于，我們可以了解的某一個樣本在整個樣本集合中所處的位置，本題第90百分位數(shù)是173，所以，
故答案為:172
3．（2022春·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學校聯(lián)考階段練習）在我市今年高三年級期中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學單科前10名的學生成績依次是：

這10名同學數(shù)學成績的分位數(shù)是___________.
【答案】146
【詳解】對10名同學的成績從小到大進行排列：
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根據(jù)，故取第6項和第7項的數(shù)據(jù)分別為：145,147；
10名同學數(shù)學成績的分位數(shù)為：.
故答案為：146
題型五：線性回歸
【典例分析】
例題1．（2022秋·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知一組樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點圖分析與之間的線性相關關系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為（????）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
【答案】B
【詳解】把代入，得，
所以在樣本點處的殘差.
故選：B.
例題2．（2022秋·江蘇鹽城·高二鹽城市田家炳中學?？计谥校┮阎撤N商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下對應數(shù)據(jù)：

2
4
5
6
8

30
40
50
60
70
根據(jù)上表可得回歸方程，計算得，則當投入10萬元廣告費時，銷售額的預報值為
A．75萬元 B．85萬元
C．99萬元 D．105萬元
【答案】B
詳解：由題意得，
∴樣本中心為．
∵回歸直線過樣本中心，
∴，解得，
∴回歸直線方程為．
當時，，
故當投入10萬元廣告費時，銷售額的預報值為85萬元．
故選B．
例題3．（2022秋·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知變量與的一組數(shù)據(jù)如表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)得到關于的回歸方程為．

2
3
4
5
6

20
30
50
60
70
若，則_______．
【答案】9
【詳解】令，則，
故由表中數(shù)據(jù)可得取，故，
而，
故，
故時，，即，
解得，（負值舍去）,
故答案為：9
【提分秘籍】
回歸直線方程一定經(jīng)過樣本中心.
【變式演練】
1．（2022·全國·高三專題練習）某公交公司推出掃碼支付乘車優(yōu)惠活動，活動為期兩周，活動的前五天數(shù)據(jù)如下表：
第天
1
2
3
4
5
使用人數(shù)()
15
173
457
842
1333
由表中數(shù)據(jù)可得y關于x的回歸方程為，則據(jù)此回歸模型相應于點（2，173）的殘差為（????）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【詳解】令，則，

1
4
9
16
25
使用人數(shù)()
15
173
457
842
1333
，，
所以，
所以，
當時，，
所以殘差為.
故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習）已知變量，的關系可以用模型擬合，設，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：

4
6
8
10

2
3
5
6
由上表可得線性回歸方程，則______．
【答案】##
【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：.
由，得，則.
∴，
由，得，
∴，即.
故答案為：.
3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市郫都區(qū)第一中學校聯(lián)考階段練習）2022年3月成都市連續(xù)5天的日平均氣溫如下表所示：
日期
8
9
10
11
12
平均氣溫(℃)
20.5
21.5
21.5
22
22.5
由表中數(shù)據(jù)得這5天的日平均氣溫關于日期的線性回歸方程為，據(jù)此預測3月15日成都市的平均氣溫為_______℃．
【答案】23.85
【詳解】由題意得：
，，
故，
則3月15日成都市的平均氣溫為（℃），
故答案為：23.85
4．（2022·高二課時練習）某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）的相關性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應數(shù)據(jù)如下表所示：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
m
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關于x的經(jīng)驗回歸方程為.據(jù)此計算出在樣本點處的殘差為，則的值為______，表中m的值為______.
【答案】???? 0.35##???? 4.5##
【詳解】由在樣本點處的殘差為-0.15，可得當時；，即，解得.又，，回歸直線過點，所以，解得.
故答案為：0.35,4.5
題型六：獨立性檢驗
【典例分析】
例題1．（2022秋·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）為了了解居家學習期間性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機抽取了40名學生進行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的列聯(lián)表：
性別
鍛煉情況
合計
不經(jīng)常
經(jīng)常
女生/人
14
7
21
男生/人
8
11
19
合計/人
22
18
40
注：獨立性檢驗中，．
常用的小概率值和相應的臨界值如下表：

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個結論：
①依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響；
②依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響；
③根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個推斷犯錯誤的概率不超過0.05；
④根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響．
其中，正確結論的序號是（????）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【詳解】由表可知，女生有21人，其中經(jīng)常鍛煉的有7人，頻率為，
男生有19人，其中經(jīng)常鍛煉的有11人，頻率為，
因為，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，故①正確，②錯誤；
，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響，故④正確，③錯誤.
故選：B.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）某市舉行了首屆閱讀大會，為調(diào)查市民對閱讀大會的滿意度，相關部門隨機抽取男女市民各50名，每位市民對大會給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意
不滿意
男市民

女市民

當時，若沒有的把握認為男?女市民對大會的評價有差異，則的最小值為___________.
附：，其中

【答案】
【詳解】由題意得并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值為.
故答案為：.
【提分秘籍】
①能正確計算
②能讀對表中對應數(shù)據(jù)，并能正確回答出結論
【變式演練】
1．（2022秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)研究表明健康的飲食和科學的運動能夠有效減少低密度脂蛋白濃度．為了調(diào)查某地青年人的低密度脂蛋白濃度是否與肥胖有關，隨機調(diào)查該地100名青年大，得到2×2列聯(lián)表如下：

肥胖
不肥胖
總計
低密度脂蛋白不高于3.1mmol/L
10
65
75
低密度脂蛋白高于3.1mmol/L
10
15
25
總計
20
80
100
由此得出的正確結論是（????）
A．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關”
B．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關”
C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關”
D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無關”
【答案】A
【詳解】由題表知

所以，在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關”
故選：A
2．（2022秋·重慶九龍坡·高二四川外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）在一次聯(lián)考后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計成績后，得到如下2×2列聯(lián)表：

優(yōu)秀
非優(yōu)秀
合計
甲班人數(shù)

50

乙班人數(shù)
20

合計
30

110
附：，其中.

根據(jù)獨立性檢驗，可以認為數(shù)學考試成績與班級有關系的把握為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】

優(yōu)秀
非優(yōu)秀
合計
甲班人數(shù)

50

乙班人數(shù)
20

合計
30

110
由題表中的數(shù)據(jù)可得: ,
因為,
所以可以認為數(shù)學考試成績與班級有失系的把握為.
故選：D
3．（2022·全國·高三專題練習）針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為中學生追星與性別有關，則男生至少有__________人.
參考數(shù)據(jù)及公式如下：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
，.
【答案】30
【詳解】設男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：

喜歡追星
不喜歡追星
總計
男生

女生

總計

若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是否喜歡追星和性別有關，
則，
由，解得，
由題知應為6的整數(shù)倍，
若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是否喜歡追星和性別有關，
則男生至少有30人，
故答案為：30.
4．（2022·全國·高三專題練習）針對時下的“韓劇熱”，某校團委對“學生性別和喜歡韓劇是否有關”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的.若有的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，求男生至少有______人.

【答案】
【詳解】設男生人數(shù)為，由題意可得列聯(lián)表如下：

喜歡韓劇
不喜歡韓劇
總計
男生

女生

總計

若有的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，
則，
即，
解得.
因為各部分人數(shù)均為整數(shù)，所以若有的把握認為是否喜歡韓劇和性別有關，則男生至少有人.
故答案為：.
題型七：排列組合
【典例分析】
例題1．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）為貫徹落實《中共中央國務院關于全面深化新時代教師隊伍建設改革的意見》精神，加強義務教育教師隊伍管理，推動義務教育優(yōu)質均衡發(fā)展，安徽省全面實施中小學教師“縣管校聘”管理改革，支持建設城鄉(xiāng)學校共同體.2022年暑期某市教體局計劃安排市區(qū)學校的6名骨干教師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校工作一年，每所學校至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（????）
A．2640 B．1440 C．2160 D．1560
【答案】D
【詳解】6人分組有2種情況：2211，3111，
所以不同安排方案的總數(shù)為.
故選：D.
例題2．（2022·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）設集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合的個數(shù)為（????）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
【答案】A
【詳解】將100個小球排成一列，在101個空位（包括兩段的空位）中插入第一個擋板，再在產(chǎn)生的102個空位中插入第二個擋板，將小球分成三段，分別記每段中的小球個數(shù)為a、b、c，共有種結果，
因為，所以a、b、c中含有兩個0,1,2，…，50各有3種結果，
所以a、b、c三個數(shù)各不相等的結果共有個
因為三個元素的每種取值有6種不同順序，
所以，由集合元素的無序性可知符合條件的集合A的個數(shù)為個.
故選：A
例題3．（2022·河南·統(tǒng)考模擬預測）將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.

【答案】691200
【詳解】除了四大名著和《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》這7本書以外，從其余5本書中選取3本和四大名著一起豎放，四大名著要求放在一起，則豎放的7本書有種方法，還剩5本書橫放，有種方法，
故不同的擺放方法種數(shù)為.
故答案為：691200
例題4．（2022·山東濟南·山東省實驗中學?？寄M預測）安排高二年級一?二兩個班一天的數(shù)?語?外?物?體，一班的化學及二班的政治各六節(jié)課．要求體育課兩個班一起上，但不能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的化學和二班的政治要安排在同一節(jié)；其他語?數(shù)?外?物四科由同一任課教師分班上課，則不同的排課表方法共有__________種．
【答案】5400
【詳解】先安排體育課（不能在第一節(jié)）有種，化學和政治在同一節(jié)有種，
剩下4門主課，不能同時上一種課，先安排一班有種，
不妨設第1，2，3，4節(jié)的順序，
二班第一節(jié)，一班有3種選項第2，3，4節(jié)，
對應一班選出的某節(jié)課，比如第2節(jié)，
在一班上第2節(jié)時，有第1，3節(jié)，第1，4節(jié)，第3，4節(jié)3種，
故不同的排課表方法共有種,
故答案為：5400
【提分秘籍】

排列、組合問題的求解方法與技巧
(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；
(8)“小集團”排列問題先整體后局部；(9)構造模型；(10)正難則反，等價條件．
【變式演練】
1．（2022·全國·模擬預測）將6盆不同的花卉擺放成一排，其中A?B兩盆花卉均擺放在C花卉的同一側，則不同的擺放種數(shù)為（????）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【詳解】分類討論的方法解決如圖中的6個位置，
① 當C在位置1時，不同的擺法有種；
② 當C在位置2時，不同的擺法有種；
③ 當C在位置3時，不同的擺法有種；
由對稱性知C在4?5?6位置時擺放的種數(shù)和C在3?2?1時相同，
故擺放種數(shù)有.
故選：B.

2．（2022·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個基層社區(qū)開展防詐騙宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（????）
A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【詳解】第一種分配方式為每個社區(qū)各兩人，則CE一組，DF一組，或CF一組，DE一組，由2種分組方式，再三組人，三個社區(qū)進行排列，則分配方式共有種；
第二種分配方式為一個社區(qū)1人，一個社區(qū)2人，一個社區(qū)3人，
當AB兩人一組去一個社區(qū)，則剩下的4人，1人為一組，3人為一組，則必有C或D為一組，有種分配方法，再三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法；
當AB加上另一人三人去一個社區(qū)，若選擇的是C或D，則有種選擇，再將剩余3人分為兩組，有種分配方法，將將三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法；
若選擇的不是C或D，即從E或F中選擇1人和AB一起，有種分配方法，再將CD和剩余的1人共3人分為兩組，有2種分配方法，將三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法，
綜上共有12+12+36+24=84種不同的分配方式
故選：B
3．（2022·四川成都·成都七中?？既＃┯屑?、乙、丙三項任務，甲、乙各需1人承擔，丙需2人承擔且至少1人是男生，現(xiàn)有2男2女共4名學生承擔這三項任務，不同的安排方法種數(shù)是______．（用具體數(shù)字作答）
【答案】10
【詳解】①丙選擇一名男生和一名女生：.
②丙選擇兩名男子：.
所以不同的安排方法種數(shù)是：10種.
故答案為：10.
題型八：二項式定理
【典例分析】
例題1．（2022·青海西寧·湟川中學?？家荒＃┑恼归_式中的常數(shù)項是（????）
A． B． C． D．20
【答案】B
【詳解】展開式的通項為，令，得，令，得，故展開式的常數(shù)項是.
故選：B．
例題2．（2022·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預測）展開式中，項的系數(shù)為（　?。?br /> A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】B
【詳解】，表示5個相乘，
展開式中出現(xiàn)有兩種情況，第一種是中選出3個和2個1，
第二種是中選出4個和1個，
所以展開式中含有項有和，
所以項的系數(shù)為,
故答案為：B
例題3．（2022·山東濱州·山東省北鎮(zhèn)中學?？寄M預測）已知，則的值為___________.
【答案】
【詳解】令，
由的展開式的通項為，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案為：
例題4．（2022·陜西寶雞·寶雞中學?？寄M預測）的展開式中的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）
【答案】
【詳解】
展開式通項為：；展開式通項為：；
則當，時，的系數(shù)為；當，時，的系數(shù)為；當，時，的系數(shù)為；當，時，的系數(shù)為；
的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：.
【提分秘籍】
二項式定理中，三項展開式中具體某項，兩個式子相乘展開式中具體某項是考試的重點，通項公式是重要解題工具.
【變式演練】
1．（2022·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）的展開式中，一次項的系數(shù)與常數(shù)項之和為（????）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】D
【詳解】因為的通項公式為，
所以的展開式中，一次項的系數(shù)為，
常數(shù)項為，
所以一次項的系數(shù)與常數(shù)項之和為，
故選：D
2．（2022·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）已知，則（????）
A．280 B．35 C． D．
【答案】A
【詳解】，
令，則
，
展開式的通項為：，
令，可得，所以.
故選：A.
3．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）已知的展開式中常數(shù)項為121，則實數(shù)___________.
【答案】
【詳解】由題意可知，二項式的展開通項
當時，此時的常數(shù)項為；
當時，此時的常數(shù)項為
所以，展開式中的常數(shù)項為，解得.
故答案為：
4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知的展開式中的系數(shù)是20，則實數(shù)__________.
【答案】2
【詳解】解：因為
則展開式中的系數(shù)是，求得.
故答案為：2.
5．（2022·河南安陽·模擬預測）已知的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為1，則展開式中的系數(shù)為___________．
【答案】240
【詳解】因的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則，其所有項的系數(shù)和為，
而，解得，則有展開式的通項為，
由得，于是得展開式中項為，
所以展開式中的系數(shù)為240.
故答案為：240
題型九：古典概型
【典例分析】
例題1．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級中學?？寄M預測）某校為落實“雙減”政策；在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四名同學擬參加籃球?足球?乒乓球?羽毛球四項活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】四個同學，四個不同的項目，所有可能的方案數(shù)為：
恰有兩人參加同一活動的方案根據(jù)分布計數(shù)原理：
第一步，從四名同學中選兩人安排一個項目；
第二部，剩下的兩名同學各安排一個項目
則
所以恰有兩人參加同一活動的概率為：
故選：C
例題2．（2022·全國·模擬預測）2022年2月4日，北京冬季奧林匹克運動會開幕式于當晩20點整在國家體育場隆重舉行.在開幕式入場環(huán)節(jié)，91個國家（地區(qū)）按順序入場.入場順序除奧林匹克發(fā)祥地希臘（首先入場）、東道主中國（最后入場）、下屆2026年冬季奧運會主辦國意大利（倒數(shù)第二位入場）外，其余代表團根據(jù)簡體中文的筆劃順序入場，詮釋了中文之美．現(xiàn)若以抽簽的方式?jīng)Q定入場順序（希臘、中國、意大利按照傳統(tǒng)出場順序，不參與抽簽），已知前83位出場的國家（地區(qū)）均已確定，僅剩烏茲別克斯坦、北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國末抽簽，求烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的概率（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意得，烏茲別克斯坦、北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國所有可能的出場順序有種，
其中烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的順序有種 ,
故烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場的概率為，
故選：B
例題3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預測）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為___________.（用分數(shù)作答）
【答案】
【詳解】每種湯圓都至少取到1個的包括2個芝麻餡，1個花生餡，1個豆沙餡；1個芝麻餡，2個花生餡，1個豆沙餡
以及1個芝麻餡，1個花生餡，2個豆沙餡，故每種湯圓都至少取到1個的概率為.
故答案為：.
例題4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）第24屆冬奧會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國郵政陸續(xù)發(fā)行了多款紀念郵票，其圖案包括“冬夢”“飛躍”“冰墩墩”"雪容融”等，小明現(xiàn)有“冬夢”"飛躍”“冰墩墩”"雪容融”郵票各2張，他打算從這8張郵票中任選3張贈送給同學小紅，則在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為___________.
【答案】
【詳解】3張郵票中有1張“冰墩墩”郵票和2張“雪容融”郵票的情況有種，有2張“冰墩墩”郵票和1張“雪容融”郵票的情況有種，
有1張“冰墩墩”郵票和1張“雪容融”郵票和1張其他郵票的情況有種，
3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為.
故答案為：.
【提分秘籍】

一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.
其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù)．
【變式演練】
1．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考三模）屈原是中國歷史上第一位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和代表作者，其主要作品有《離騷》、《九歌》、《九章》、《天問》等.某校于2022年6月第一周舉辦“國學經(jīng)典誦讀”活動，計劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】該校周一至周四誦讀屈原的四部作品方法總數(shù)為
周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的方法總數(shù)為
則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為
故選：C
2．（2022·陜西西安·長安一中?？寄M預測）李生素數(shù)猜想是數(shù)學家希爾伯特在1900年提出的23個問題中的第8個：存在無窮多個素數(shù)p，使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù).2013年華人數(shù)學家張益唐發(fā)表的論文《素數(shù)間的有界距離》第一次證明了存在無窮多組間距小于定值的素數(shù)對，那么在不超過16的素數(shù)中任意取出不同的兩個，則不能組成孿生素數(shù)的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】不超過16的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，任取兩個素數(shù)組成不同素數(shù)對有：
，，
共有15對，它們等可能，其中是孿生素數(shù)，因此不能組成孿生素數(shù)的個數(shù)是12，
所以不能組成孿生素數(shù)的概率為.
故選：C
3．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預測）小明給朋友發(fā)拼手氣紅包，1毛錢分成三份（不定額數(shù)，每份是1分的正整數(shù)倍），若這三個紅包被甲、乙、丙三位同學搶到，則甲同學搶到5分錢的概率為________．
【答案】
【詳解】將1毛錢按10個1分排成一列，有9個空，
任選2個空插入隔板可將1毛錢分成三份的種數(shù)有種，
甲搶到5分錢，則乙丙搶到余下兩份有共4種，
所以1毛錢分成三份，甲搶到5分錢的概率為，
故答案為：
4．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）上海某高校哲學專業(yè)的4名研究生到指定的4所高級中學宣講習近平新時代中國特色社會主義思想．若他們每人都隨機地從4所學校選擇一所，則4人中至少有2人選擇到同一所學校的概率是______________．（結果用最簡分數(shù)表示）
【答案】
【詳解】4個人分配到4個學校的情況總數(shù)為種，4個人恰好分配到4個學校的情況為種，所以4人中至少有2人選擇到同一所學校的情況有種，所以4人中至少有2人選擇到同一所學校的概率是.
故答案為：.
題型十：條件概率
【典例分析】

例題1．（2022·湖南長沙·長沙縣第一中學?？寄M預測）“雙減”政策落實下倡導學生參加戶外活動，增強體育鍛煉，甲、乙、丙三位同學在觀看北京冬奧會后，計劃從冰球、短道速滑、花樣滑冰三個項目中各自任意選一項進行學習，每人選擇各項運動的概率均為，且每人選擇相互獨立，則至少有兩人選擇花樣滑冰的前提下甲同學選擇花樣滑冰的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】記事件為“至少有兩人選擇花樣滑冰”，事件為“甲同學選擇花樣滑冰則”，
，，
所以，．
故選：D.
例題2．（2022·北京東城·統(tǒng)考三模）若某地區(qū)60歲及以上人群的新冠疫苗全程（兩針）接種率為60%，加強免疫接種（第三針）的接種率為36%，則在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機抽取一人，此人完成了加強免疫接種的概率為（????）
A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216
【答案】A
【詳解】解：設事件為抽取的一人完成新冠疫苗全程接種，事件為抽取的一人完成加強免疫接種，
所以，，
所以在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機抽取一人，此人完成了加強免疫接種的概率為.
故選：A
例題3．（2022·天津南開·南開中學校考模擬預測）一獵人帶著一把獵槍到山里去打獵，獵槍每次可以裝3發(fā)子彈，當他遇見一只野兔時，開第一槍命中野兔的概率為0.8，若第一槍沒有命中，獵人開第二槍，命中野兔的概率為0.4，若第二槍也沒有命中，獵人開第三槍，命中野兔的概率為0.2，若3發(fā)子彈都沒打中，野兔就逃跑了，則已知野兔被擊中的條件下，是獵人開第二槍命中的概率為__________.
【答案】
【詳解】記事件“獵人第一次擊中野兔”，“獵人第二次擊中野兔”，“獵人第三次擊中野兔”，“野兔被擊中”，
則，
，
，
故答案為：．
例題4．（2022·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學校校考一模）李華應聘一家上市公司，規(guī)則是從備選的10道題中抽取4道題測試，答對3道題及以上就可以進入面試.李華可以答對這10道題目中的6道題.若李華第一道題就答對了，則李華進入面試的概率為_________.
【答案】.
【詳解】設事件為“李華進入面試”，事件為“李華答對第一道題”，則，，所以.
故答案為：.
【提分秘籍】

一般地，設，為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．

【變式演練】
1．（2022·江西·校聯(lián)考二模）有甲乙丙丁4名人學生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務，志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個比賽項目的志愿服務，假設每個項目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個項目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】用事件A表示“甲被安排到了冰壺”，B表示“乙被安排到了冰壺”，
在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺就是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，
相當于以A為樣本空間，考查事件B發(fā)生，在新的樣本空間中事件B發(fā)生就是積事件AB，包含的樣本點數(shù)，
事件A發(fā)生的樣本點數(shù)，
所以在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率為.
故選：A
2．（2022·江蘇南京·南京市第五高級中學?？寄M預測）有四位同學參加校園文化活動，活動共有四個項目，每人限報其中一項.已知甲同學報的項目其他同學不報，則4位同學所報選項各不相同的概率等于（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】記事件“4名同學所報選項各不相同”，
事件“已知甲同學報的項目其他同學不報”，
，，.
故選：C.
3．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預測）某武裝部在預備役民兵的集訓中，開設了移動射擊科目，移動射擊科目規(guī)則如下：每人每次移動射擊訓練只有3發(fā)子彈，每次連續(xù)向快速移動的目標射擊，每射擊一次消耗一發(fā)子彈，若目標被擊中，則停止射擊，若目標未被擊中，則繼續(xù)射擊，3發(fā)子彈都沒打中，移動目標消失.通過統(tǒng)計分析該武裝部的預備役民兵李好以往的訓練成績發(fā)現(xiàn)，李好第一槍命中目標的概率為0.8，若第一槍沒有命中，第二槍命中目標的概率為0.4，若第二槍也沒有命中，第三槍命中目標的概率為0.2.則目標被擊中的條件下，李好第二槍命中目標的概率是__________.
【答案】
【詳解】記事件：“李好第一槍擊中目標”，事件：“李好第二槍擊中目標”，事件：“李好第三槍擊中目標”，事件：“目標被擊中”，則，，.
故答案為：
題型十一：正態(tài)分布
【典例分析】
例題1．（2022·江蘇·江蘇省木瀆高級中學校聯(lián)考模擬預測）2012年國家開始實施法定節(jié)假日高速公路免費通行政策，某收費站統(tǒng)計了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量，若，則當時下列說法正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因，且，則有，即，
不等式為：，則，，
所以，，A，B，D均不正確，C正確.
故選：C
例題2．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）山東煙臺蘋果因“果形端正?色澤艷麗?果肉?脆?香氣濃郁”享譽國內(nèi)外據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在]內(nèi)的概率為（????）
附：若，則
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意得：，
故
，
故煙臺蘋果直徑在]內(nèi)的概率為，
故選：C
例題3．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預測）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則___________.（附：若，則，，）
【答案】0.00135
【詳解】又，則，
隨機變量服從正態(tài)分布，且，
即，所以，即，，即，
所以，所以.
故答案為：0.00135.
例題4．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）某省2021年開始將全面實施新高考方案．在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共5個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%和2%，并按給定的公式進行轉換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉換賦分．假設該省此次高一學生化學學科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則．請解決下列問題：若以此次高一學生化學學科原始分等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為__________分（結果保留1位小數(shù)）
附：若，．
【答案】59.9
【詳解】因為，由可得，又，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知，由題意可知劃線分大約為59.9.
故答案為：59.9
【提分秘籍】
假設，可以證明：對給定的是一個只與有關的定值.
特別地，，
，
.
上述結果可用右圖表示.
【變式演練】
1．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考模擬預測）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)（????）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，即，
所以.
故選：C
2．（2022·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預測）已知兩個隨機變量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，則（????）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1
【答案】A
【詳解】由題設，即，
又，故.
故選：A
3．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過程，檢驗員每天從生產(chǎn)線上隨機抽取包食品，并測量其質量（單位：g）.根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗，這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下每包食品質量服從正態(tài)分布.假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示每天抽取的k包食品中其質量在之外的包數(shù)，若的數(shù)學期望，則k的最小值為________.
附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則.
【答案】19
【詳解】依題意，所以在之外的概率，則，則，因為，所以，解得，因為，所以的最小值為.
故答案為：19.
4．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）若隨機變量的數(shù)學期望和方差分別為，，則對于任意，不等式成立．某次考試滿分150分，共有1200名學生參加考試，全體學生的成績～N（90，62），則分數(shù)不低于110分的學生不超過______人．
【答案】54
【詳解】由題意可知，取，則，
所以分數(shù)不低于110分的學生不超過人．
故答案為：54.
題型十二：均值和方差
【典例分析】
例題1．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)與方差的和為（????）
A．6 B．15 C．19 D．22
【答案】C
【詳解】由題，
則，，
所以.
故選：C.
例題2．（2022·廣西桂林·校聯(lián)考模擬預測）設．隨機變量的分布列是

0

1

則當在內(nèi)增大時，（????）
A．不變 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大
【答案】D
【詳解】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．
故選：D．
例題3．（2022·全國·清華附中朝陽學校?？寄M預測）隨機變量的分布列如下表所示，則方差的取值范圍是_________.

0
1
2

【答案】
【詳解】由題意可知，，則，，
故隨機變量的數(shù)學期望，
從而，
因為，
所以由二次函數(shù)性質可知，，
故方差的取值范圍是.
例題4．（2022·重慶九龍坡·重慶市育才中學?？寄M預測）某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標的概率是，擊中目標后射擊停止，射擊次數(shù)為隨機變量，則方差______．
【答案】
【詳解】由題意知：，2，3，
，，，
∴的分布列為：

1
2
3

∴，，
∴.
故答案為：.
【提分秘籍】
離散型隨機變量的分布列

…

…

…

…

均值；方差：

【變式演練】
1．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預測）設隨機變量，滿足：，，若，則（????）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【詳解】由于隨機變量滿足：，，
，
解得：，即
，
又隨機變量，滿足：，
，
故選：C.
2．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預測）隨機變量的分布列如表所示，若，則（????）

0
1

A． B． C．5 D．7
【答案】C
【詳解】
由隨機變量X的分布列得：
，解得，
，

故選：C．
3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考三模）設隨機變量，滿足．若，則_____．
【答案】##1.5
【詳解】由，故，則，
所以，則，而，
則.
故答案為：
4．（2022·湖南長沙·長郡中學模擬預測）已知隨機變量，若最大，則______．
【答案】24
【詳解】由題意知：，要使最大，有，
化簡得，解得，故，又，
故.
故答案為：24.

1．（2022·上海寶山·統(tǒng)考一模）某高中共有學生1200人，其中高一、高二、高三的學生人數(shù)比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學生中抽取一個容量為60的樣本，則高三年級應該抽?。????）人.
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】A
【詳解】設高一學生數(shù)為，則高二學生數(shù)為，高三學生數(shù)為.
所以，該高中共有學生數(shù)為，解得.
用分層抽樣的方法從該校所有學生中抽取一個容量為60的樣本，抽樣比為，
所以，高三年級應該抽取人.
故選：A.
2．（2022·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考三模）下列說法正確的序號是（????）
①在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加0.8個單位；
②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理；
③已知，是兩個分類變量，若它們的隨機變量的觀測值越大，則“與有關系”的把握程度越??；
④在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，，…，不全相等）的散點圖中，若所有樣本都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為.
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】B
【詳解】對于①，在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時, 預報變量平均增加 0.8個單位，故①正確；
對于②，用離差的平方和，即:作為總離差, 并使之達到最?。贿@樣回歸直線就是所有直線中取最小值的那一條。由于平方又叫二乘方, 所以這種使 “離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理；故②正確；
對于③，對分類變量與 , 對它們的隨機變量的觀測值來說，越小，則“與有關系”的把握程度越小，故③錯誤；
對于④，相關系數(shù)反映的是兩變量之間線性相關程度的強弱，與回歸直線斜率無關，題中樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為, 故④錯誤.
故選：B.
3．（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結論為（????）
A．變量與不獨立
B．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
C．變量與獨立
D．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
【答案】C
【詳解】按照獨立性檢驗的知識及比對的參數(shù)值，當，我們可以下結論變量與獨立.故排除選項A,B;
依據(jù)的獨立性檢驗，6.147

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