新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專題6-3 數(shù)列求和（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題6-3數(shù)列求和
目錄
1
題型一：倒序相加法 1
（1）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值； 3
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am 4
題型二：分組求和法 6
(2)3332. 7
(2)6 9
題型三：裂項(xiàng)相消法 11
(3)證明見(jiàn)解析 14
題型四：錯(cuò)位相減法 21
(2)證明見(jiàn)解析 22
題型五：奇偶項(xiàng)分類討論 28
題型六：插入新數(shù)列求和 37
(2)142 39
44

題型一：倒序相加法
【典例分析】

例題1．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）；
時(shí)，，
，
相加得，
所以，又，
所以對(duì)一切正整數(shù)，有；
例題2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)對(duì)任意都有
求和的值；
數(shù)列滿足：，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明；
【答案】解：（1），；（2）是等差數(shù)列.
【詳解】解：（1）∵，且f（x）是奇函數(shù)
∴
∴，故
因?yàn)?，所以?br /> 令，得，即．
（2）令
又
兩式相加．
所以，
故，
又．故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
【提分秘籍】
倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式演練】
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù)y＝f(x)的圖像上的兩點(diǎn)，且線段P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是.
（1）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值；
（2）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）Sm＝
【詳解】（1）證明：∵P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
∴＝，∴x1＋x2＝1.
∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù)y＝f(x)的圖像上的兩點(diǎn)，
∴y1＝，y2＝，
∴y1＋y2＝＋
＝
＝
＝＝＝，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為＝.
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值.
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am
＝
令
由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1)
∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).
又f（1）＝＝，
∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋＝.
2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.
【答案】；
【詳解】當(dāng)
當(dāng)
時(shí)滿足上式，故；
∵=1∴????
∵ ?????①
∴ ??②
∴①②，得
3．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．
（1）計(jì)算的值．
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）2；（2）；（3）．
【詳解】（1）.
（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，
又，兩式相加得
，
所以.
又不符合，
所以.
題型二：分組求和法
【典例分析】
例題1．（2022·新疆和靜高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，.求，的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列中，，，
①求證：是等比數(shù)列；
②求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），；（2）①證明間解析；②
【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，?br /> 則，解得，則；
又?jǐn)?shù)列滿足，
所以，
累加得：
故，
綜上：，；
（2）①在數(shù)列中，，，
所以，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
②由①得，所以，則
所以

.
例題2．（2022·上海市甘泉外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高一期末）在等差數(shù)列中，，前12項(xiàng)的和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列為以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列前8項(xiàng)的和.
【答案】(1)；
(2)3332.
【詳解】（1）解：設(shè)公差為，因?yàn)?，?2項(xiàng)的和，
所以，解得，
所以.
（2）解：由題意得，所以，
所以數(shù)列前8項(xiàng)的和為
=.
例題3．（2022·山西運(yùn)城·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，①
∴．②
①-②得，即
又，，∴，∴，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴．
（2）由（1）得，，
∴

．
【提分秘籍】
1如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.
2如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，在求和時(shí)可以使用分組求和法.
【變式演練】

1．（2022·上海虹口·一模）在等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求正整數(shù)的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，，成等比數(shù)列及，
得，即，解得．
當(dāng)時(shí)，，，構(gòu)成等比數(shù)列，符合條件；
當(dāng)時(shí)，，，不能構(gòu)成等比數(shù)列，不符合條件．
因此，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）知，故，所以

易知在正整數(shù)集上嚴(yán)格遞增，且，．
故滿足的正整數(shù)的最小值為6．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列滿足：；
(1)判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說(shuō)明理由；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)是，證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）將兩邊同除
得：，
是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

是“指數(shù)型數(shù)列”
（2）因?yàn)?，則

.
3．（2022·福建泉州·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且．
(1)求的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)?br /> 所以，，
因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即，
所以，，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為.
所以
（2）解：由（1）知，其公差為，
所以，
所以，
題型三：裂項(xiàng)相消法
【典例分析】
例題1．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).

【詳解】（1）設(shè)的公差為，首項(xiàng)為，
得.
解得，
故；
（2）由，

.

例題2．（2022·福建·高三階段練習(xí)）從①；②；③三個(gè)選項(xiàng)中，任選一個(gè)填入下列空白處，并求解.已知數(shù)列，滿足，且，，______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】選①，選②，選③
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以，所以?
選①：，
所以，
選②：，
所以，
選③：，所以，
，
兩式相減，可得
例題3．（2022·山東·日照市教育科學(xué)研究中心高三期中）已知等差數(shù)列，分別從下表第一、二、三行中各取一個(gè)數(shù)，依次作為，，，且，，中任何兩個(gè)數(shù)都不在同一列．公比大于1的等比數(shù)列的前三項(xiàng)恰為數(shù)列前5項(xiàng)中的三個(gè)項(xiàng)．

第一列
第二列
第三列
第一行
8
0
2
第二行
7
4
3
第三行
9
12
4
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）由題意可知，滿足，，，
則公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
的前5項(xiàng)為0，3，6，9，12，所以數(shù)列的前三項(xiàng)為3，6，12，
所以公比，．
（2），
，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例題4．（2022·天津·南開(kāi)中學(xué)高三階段練習(xí)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列滿足，且.
(1)求的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和的最大值、最小值.
(3)求證：對(duì)于任意正整數(shù)，.
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析
(2)最大值為，最小值為
(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，解得或（舍去），
．
又，則，
由，可得，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得
，
設(shè)的前項(xiàng)和為，
則
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨著的增大而減小，可得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨著的增大而增大，可得，
的最大值為，最小值為．
（3）證明：因?yàn)閿?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，．
所以，
所以

，
所以．
【提分秘籍】
常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
類型一：等差型
①
特別注意
②
如：（尤其要注意不能丟前邊的）
類型二：無(wú)理型
①
如：
類型三：指數(shù)型
①
如：
類型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型
如：①
②
本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個(gè)分式.
【變式演練】
1．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1），
所以，所以，
所以，即，
所以，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以，所以數(shù)列是常數(shù)列，
所以，所以，
所以．
（2）證明：因?yàn)椋?br /> 所以

2．（2022·福建省永泰縣第二中學(xué)高三期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且和滿足：.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，都成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：∵，①
當(dāng)時(shí)，解得，
∴，②
①－②得，
∴，化簡(jiǎn).
∵，∴.
∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
∴.
（2）解：由（1）可得.
∴.
所以.
∴數(shù)列是遞增數(shù)列，則，
∴，解得，∴整數(shù)的最大值是.
3．（2022·陜西·高三期中（文））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）令，則，又，得.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br /> 兩式相減得，
即.
又因?yàn)椋裕?br /> 則是公差為的等差數(shù)列，
故.
（2）證明：由（1）可得，
所以

因?yàn)椋裕?br /> 因此.
4．（2022·河北唐山·高三階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)棰伲寓冢?br /> 所以得，，即，
所以．
因?yàn)?，所以，即?br /> 當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），
則是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
故，故
（2）由（1）可得．
因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
則，
故
.
題型四：錯(cuò)位相減法
【典例分析】

例題1．（2022·遼寧·本溪高中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)．
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，時(shí)，，得
所以當(dāng)時(shí)，，
兩式作差得，
所以，
又，所以，
即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．
（2）證明：由（1）可知，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
（3）由（2）可知，即，
根據(jù)題意得，
則，
所以，
兩式相減得，
即，
所以．
例題2．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））己知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，________________．請(qǐng)?jiān)冖?；②，，成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），所以，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
若選①：由，得，即，
所以，解得．所以，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
若選②：由，，成等比數(shù)列，得，
則，所以，所以．
若選③：因?yàn)椋?，所以?br /> 所以．
（2），則，
則，，
兩式相減得：，
故．
例題3．（2022·福建·莆田第六中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和為.
【答案】(1).
(2).
【詳解】（1）由題意知數(shù)列滿足且，
是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
則
兩式相減得

，
所以.
【提分秘籍】
錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．
溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.
2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒(méi)有參與相減的項(xiàng)的保留.
【變式演練】
1．（2022·山東·利津縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，所以，
所以，
，
（常數(shù)），，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列；
（2），

????
兩式相減得

，
所以.
2．（2022·廣東·廣州思源學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列滿足，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差設(shè)為，
由，，成等比數(shù)列，則，
即，
即，解得，
所以.
（2）由題意，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
，
兩式相減得
即，
化簡(jiǎn)得.
3．（2022·湖南省桃源縣第一中學(xué)高三期中）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為3且公比大于0的等比數(shù)列，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，；
(2).
【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則．
則由可得，，解得或（舍去），
所以，則，.
由可得，由可得，，
又，所以.
所以，，所以，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以.
所以，，
，
兩式作差得，，
所以，.
題型五：奇偶項(xiàng)分類討論
【典例分析】

例題1．（2022·福建·廈門一中高二階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)
（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)也符合，所以．
（2）
由（1）知，，所以，當(dāng)即為偶數(shù)時(shí)，
，即；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以．
例題2．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)請(qǐng)?jiān)诩现腥稳∫粋€(gè)元素作為的值，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)①若第（1）問(wèn)取，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
②若第（1）問(wèn)取，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果同時(shí)選擇的兩個(gè)取值分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
(2)① ；②.
(1)
當(dāng)取時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，
，??????????
顯然滿足上式，所以．
當(dāng)取時(shí)，可得，則，
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，
所以．
(2)
①由（1）知，當(dāng)取時(shí)，，于是得，
所以．
②由（1）知，當(dāng)取時(shí)，，
若為偶數(shù)，則；
若為奇數(shù)，則，
所以．
例題3．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(1)
證明：對(duì)任意的，，
則且，
故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比也為，
故.
(2)
解法一:

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

解法二:
,
所以①
上式兩邊乘以可得:
???②
①-②得:
，

【提分秘籍】
類型一：
通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式；例如：
角度1：求的前項(xiàng)和
角度2：求的前項(xiàng)和
類型二：
通項(xiàng)含有的類型；例如：
【變式演練】
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)公比為，由題意得
解得

（2）
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
．
2．（2022·湖南師大附中高二期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列滿足求最小的實(shí)數(shù)m，使得對(duì)一切正整數(shù)k均成立．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）由已知得，，
所以．
因?yàn)椋?br /> 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（2）證明：（2）由（1），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
故

，
由
所以m的最小值為．
3．（2022·山東·青島二中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
(1)
解：由于，當(dāng)時(shí)，可得，所，所以，
由，當(dāng)時(shí)，可得，
兩式作差得，即，
因?yàn)椋仙鲜剑?br /> 故是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故．
(2)
解：.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．
又由，滿足上面的表達(dá)式.
綜上可得，.
4．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
(1)
證明：因?yàn)?，?br /> 所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；
(2)
由（1）可得，即，
則
.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
則

.
題型六：插入新數(shù)列求和
【典例分析】
例題1．（2022·湖北武漢·高二期末）已知是遞增的等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.若存在，求出這樣的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
(1)
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
是遞增的等比數(shù)列且，；
則，解得：（舍）或；
.
(2)
由題意知：，即；
假設(shè)存在項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，
即；
成等差數(shù)列，，代入上式得：，
，化簡(jiǎn)得：，，不合題意；
綜上所述：不存在項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
（1）證明：因?yàn)闀r(shí)，，則，即，，·因?yàn)椋t×××××××××①，所以×××××××××②，則①②得，即，·所以為等差數(shù)列.
（2）解：由（1）可得的首項(xiàng)為，公差為，所以，所以，所以，則，記的前n項(xiàng)和為，則×××××××××①，所以×××××××××②，則①②得，·所以，·所以.·
例題3．（2022·江蘇·常熟中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，
(1)求的通項(xiàng)公式：
(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求的值.
【答案】(1)
(2)142
【詳解】（1）解：∵的前n項(xiàng)和為，
當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
則
=，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，滿足.
故；
（2）因?yàn)榕c之間插入個(gè)1，
所以在中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為
，
當(dāng)k＝6時(shí)，，當(dāng)k＝7時(shí)，，
所以，，且．
因此
.
例題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
（1）解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，對(duì)任意的，.
（2）解；在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，，其項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，，因此，
【變式演練】
1．（2022·福建泉州·高三階段練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求的值.
【答案】(1)
(2)2101
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，
因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，
所以，即，
因?yàn)?br /> 所以或（舍）
所以，
所以通項(xiàng)公式
（2）由（1）得，
因?yàn)榕c（）之間插入，
所以在數(shù)列中有10項(xiàng)來(lái)自，10項(xiàng)來(lái)自，
所以
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項(xiàng)（其中是公差不為的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得：，
，則，
為等比數(shù)列，等比數(shù)列的公比為；
當(dāng)時(shí)，，，解得：，

（2）假設(shè)存在滿足題意的項(xiàng)，
由（1）得：，又，；
成等比數(shù)列，，即，
成等差數(shù)列，，，
，
整理可得：，又，，
即，解得：，則，與已知中是公差不為的等差數(shù)列相矛盾，
假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在滿足題意的項(xiàng).
3．（2022·福建福州·高三期中）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，
則且
則或（舍）
則，
即通項(xiàng)公式
（2）因?yàn)榕c（，2，…）之間插入，
所以在數(shù)列中有10項(xiàng)來(lái)自，10項(xiàng)來(lái)自，
所以
4．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，設(shè).
(1)求的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)將插入中，插入中，插入中，，依此規(guī)律得到新數(shù)列，求該數(shù)列前20項(xiàng)的和.
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析
(2)
（1）
設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，故，所?
因?yàn)椋詳?shù)列是公比為4的等比數(shù)列.
（2）
由題意，該數(shù)列前20項(xiàng)的和包含的前5項(xiàng)，的前15項(xiàng)，
設(shè)該數(shù)列前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為，
所以.

1．（2022·四川自貢·一模（理））等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列為的前n項(xiàng)和，比較與的大小.
【答案】(1)
(2).
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q,
由得=,
所以.由條件可知q＞0,故q=.
由得 ,所以.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）－（1＋2＋＋n）=－.
故.
.
.
故.
2．（2022·四川省遂寧市第二中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列，滿足，且．
(1)若數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q，，求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1) 或.
(2)
【詳解】（1）數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q，且，，或，
由，或，
由，所以，又，
即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
故或.
（2）依題意得等差數(shù)列公差，則，
由，所以，
從而
，
.
3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，若數(shù)列的前m項(xiàng)和，求m的值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，
(2)
【詳解】（1）由，變形得.
因?yàn)椋?
因?yàn)?，所以，又?br /> 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可得，
所以.
則，解得.
4．（2022·陜西渭南·一模（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式的解集為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
關(guān)于的不等式的解集為.
和4是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理有，
解得，所以，.
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可得，，
則.
數(shù)列的前項(xiàng)和

.
5．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，；，
(2)，.
【詳解】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公比為.由，是，的等差中項(xiàng)可得，
兩式相除得，又，得.
將代入，得，故，.
設(shè)的前項(xiàng)和為，則，
得，.又
則，結(jié)合，得，.
綜上：通項(xiàng)公式為，，通項(xiàng)公式為，.
（2）由（1）可得，，.
則，.
注意到，
則
，.
故，.
6．（2022·浙江·三門縣觀瀾中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足：，的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，
故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，
又當(dāng)，且時(shí)，，
所以當(dāng)，
當(dāng)，且時(shí)，，
所以，
所以對(duì)于任意的，，
綜上所述，對(duì)于任意的，.
7．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
(1)求，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；
(2).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，①，
②，
由②①得，
，
，
∴是一個(gè)以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
（2），,
①
②　
由①②，得
，
.
8．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（理））給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③是與的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答．
已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，______．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，
有，化簡(jiǎn)得．則，，
所以的通項(xiàng)公式為．
選②，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，
有，化簡(jiǎn)得，即，
解得，則，
所以的通項(xiàng)公式為．
選③，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由是與的等差中項(xiàng)，得，
即，則有，
化簡(jiǎn)得，即，
解得，則，
所以的通項(xiàng)公式為．
（2）由是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，由（1）知，即有，
則，
于是得，
兩式相減得：，
因此，又，不等式，
等價(jià)于，于是得，恒成立，
令，則，則時(shí)，，即數(shù)列遞增，
當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列遞減，當(dāng)時(shí)，，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
9．（2022·江蘇·鹽城市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，故，，
即；
（2）由已知，得n為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
，
則

．
10．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），
∵，，，，
∴，
∴，，∴，；
（2）由（1）知，，
∴，
∴

.
11．（2022·河南河南·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題設(shè)可得解得
所以.
（2）由（1）知，所以
可得，
所以①
②
②減①可得:

12．（2022·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
（1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴
（2）∵∴數(shù)列的前項(xiàng)和
13．（2022·山東聊城·三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前15項(xiàng)的和.
【答案】(1)；
(2).
（1）
由得，
當(dāng)n=1時(shí)，，解得.
當(dāng)n≥2時(shí)，，從而，即，
因此數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)和公比都等于2，所以.
（2）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為

.
14．（2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；.
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)?，?dāng)n=1時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，
又因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，
數(shù)列為等差數(shù)列，，d=1,
所以；
所以，
又因?yàn)?
所以數(shù)列為等比數(shù)列，
所以，解得，
所以.
（2）由題意可知：，
所以,故，
設(shè)的前項(xiàng)和中，奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為
所以
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
所以
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以，故故，即
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)一切偶數(shù)成立，所以
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)一切奇數(shù)成立，所以此時(shí)
故對(duì)一切恒成立，則
15．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；
(2).
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所?
因?yàn)?，所以?br /> 又，則有，
所以，
所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
所以，
所以，
又，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
則的奇數(shù)項(xiàng)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以，為公差的等差數(shù)列.
所以當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，

；
當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，為偶數(shù)，
.
時(shí)，，滿足.
所以，當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，有.
綜上，.
16．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，其中.
(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由可得，
兩式相減可得，故數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始是以首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列.
又由已知，令，得，即，得，故；
又也滿足上式，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
由，得：，
以上個(gè)式子相乘，可得，，
又滿足上式，所以的通項(xiàng)公式
（2）若在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，
則，即為，
整理得，所以，

，
兩式相減得：，
所
17．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知數(shù)列中，滿足對(duì)任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)若是等差數(shù)列，求k的值；
(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．
【答案】(1)
(2)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.
（1）若是等差數(shù)列，則對(duì)任意，，即，所以，故.
（2）因?yàn)榍业?，又是等比?shù)列，則即，得.當(dāng)時(shí)，，，故是以2為首項(xiàng)，公比為1的等比數(shù)列，此時(shí)的前n項(xiàng)和；當(dāng)時(shí)，，即，所以，且所以以為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，又，所以，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

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