TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13332" 專題10-2概率統(tǒng)計（解答題） PAGEREF _Tc13332 \h 1
\l "_Tc22040" PAGEREF _Tc22040 \h 1
\l "_Tc27528" 題型一：回歸直線方程 PAGEREF _Tc27528 \h 1
\l "_Tc3062" 題型二：非線性回歸 PAGEREF _Tc3062 \h 8
\l "_Tc20189" 題型三：獨(dú)立性檢驗 PAGEREF _Tc20189 \h 18
\l "_Tc1598" 題型四：超幾何分布 PAGEREF _Tc1598 \h 25
\l "_Tc22988" 題型五：二項分布 PAGEREF _Tc22988 \h 35
\l "_Tc17477" 題型六：正態(tài)分布 PAGEREF _Tc17477 \h 45
\l "_Tc7904" 題型七：概率綜合 PAGEREF _Tc7904 \h 55
\l "_Tc9390" 題型八：概率統(tǒng)計與數(shù)列 PAGEREF _Tc9390 \h 61
\l "_Tc26451" 題型九：概率統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù) PAGEREF _Tc26451 \h 70
題型一：回歸直線方程
【典例分析】
例題1．（2022春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6℃~22℃之間，一農(nóng)學(xué)實驗室研究人員為研究溫度 SKIPIF 1 < 0 （℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù) SKIPIF 1 < 0 （顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)行實驗，得到如下散點(diǎn)圖：
(1)由折線統(tǒng)計圖看出，可用線性回歸模型擬合 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
(2)建立 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的回歸方程，并預(yù)測在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù).
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
參考公式：相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，回歸直線方程 SKIPIF 1 < 0 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)答案見解析；
(2)44.
【詳解】（1）由題意可知： SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
.又 SKIPIF 1 < 0 ，所以相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
因為相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的線性相關(guān)性較高，可以利用線性回歸模型擬合 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系.
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的回歸直線為 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .即在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù)為44.
例題2．（2022春·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進(jìn)入千家萬戶，尤其在近幾年，新能源汽車涌入市場，越來越受到人們喜愛．某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2021年的銷售量 SKIPIF 1 < 0 （單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表：
(1)請用相關(guān)系數(shù)判斷 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性相關(guān)程度（參考：若 SKIPIF 1 < 0 ，則線性相關(guān)程度一般，若 SKIPIF 1 < 0 ，則線性相關(guān)程度較高，計算 SKIPIF 1 < 0 時精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；
(2)求出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程，并預(yù)計2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為多少萬輛？
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
附：相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，回歸直線方程的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，截距 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，109.2萬輛.
【詳解】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；
（2）解：由表中數(shù)據(jù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又2022年對應(yīng)的代號為6，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由此預(yù)計2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為109.2萬輛．
【提分秘籍】
回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心 SKIPIF 1 < 0 ，是回歸直線方程最常用的一個特征；
我們將 SKIPIF 1 < 0 稱為 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線。這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的 SKIPIF 1 < 0 ，叫做 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小二乘估計,其中 SKIPIF 1 < 0 稱為回歸系數(shù)，它實際上也就是經(jīng)驗回歸直線的斜率， SKIPIF 1 < 0 為截距.
其中 SKIPIF 1 < 0
【變式演練】
1．（2022·青海西寧·湟川中學(xué)?？家荒＃┠畴娮赢a(chǎn)品生產(chǎn)商經(jīng)理從眾多平板電腦中隨機(jī)抽取6臺，檢測它們充滿電后的工作時長（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．
(1)從被抽中的6臺平板電腦中隨機(jī)抽出2臺，設(shè)抽出的2臺平板電腦充滿電后工作時長小于210分鐘的臺數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)下表是一臺平板電腦的使用次數(shù)與當(dāng)次充滿電后工作時長的相關(guān)數(shù)據(jù)．求該平板電腦工作時長 SKIPIF 1 < 0 與使用次數(shù) SKIPIF 1 < 0 之間的回歸直線方程，并估計該平板電腦使用第200次時充滿電后的工作時長．
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，估計該平板電腦使用第200次時充滿電后的工作時長為171.5分鐘
【詳解】（1）（1）由題意可知，X可能取值為0，1，2，則
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
則隨機(jī)變量X的分布列為
數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以線性回歸方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以估計該平板電腦使用第200次時充滿電后的工作時長為171.5分鐘．
2．（2022春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新一代無繩類電動工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用.在消費(fèi)者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴(kuò)大.某公司為適應(yīng)市場并增強(qiáng)市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計，如下圖：
2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對應(yīng)2017~2021年）
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù) SKIPIF 1 < 0 與年份代碼 SKIPIF 1 < 0 的相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，并由此判斷其相關(guān)性的強(qiáng)弱；
(2)試求出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程，并預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .參考公式：相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 .線性回歸方程的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，截距 SKIPIF 1 < 0 .
附：
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系
(2) SKIPIF 1 < 0 ，預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人
【詳解】（1）由條形統(tǒng)計圖，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因為相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
由題意知，2023年對應(yīng)的年份代碼 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
故預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人.
題型二：非線性回歸
【典例分析】
例題1．（2022·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？既＃榱藰?gòu)筑“綠色長城”，我國開展廣泛的全民義務(wù)植樹活動，有力推動了生態(tài)狀況的改善.森林植被狀況的改善，不僅美化了家園，減輕了水土流失和風(fēng)沙對農(nóng)田的危害，而且還有效提高了森林生態(tài)系統(tǒng)的儲碳能力.某地區(qū)統(tǒng)計了2011年到2020年十年中每年人工植樹成活數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，3，…，10）（單位：千棵），用年份代碼 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，3，…，10）表示2011年，2012年，2013年，…，2020年，得到下面的散點(diǎn)圖：
對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析發(fā)現(xiàn)，有兩個不同的回歸模型可以選擇，模型一： SKIPIF 1 < 0 ，模型二； SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷所給哪個模型更適宜作為每年人工植樹成活數(shù) SKIPIF 1 < 0 與年份代碼 SKIPIF 1 < 0 相關(guān)關(guān)系的回歸分析模型（給出判斷即可，不必說明理由）；
(2)根據(jù)（1）中選定的模型，求出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的回歸方程；
(3)利用（2）中所求回歸方程，預(yù)測從哪一年開始每年人工植樹成活棵數(shù)能夠超過5萬棵？
附：對于一組數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其回歸直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，3，…，10）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)模型二
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 年
（1）
根據(jù)散點(diǎn)圖可知，呈指數(shù)式增長，故應(yīng)選模型二 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是自然對數(shù)的底數(shù)；
（2）
由已知 SKIPIF 1 < 0 得，兩邊同時取對數(shù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，預(yù)測從 SKIPIF 1 < 0 年開始人工植樹成活棵樹能超過 SKIPIF 1 < 0 萬棵.
例題2．（2022·安徽·安徽省含山中學(xué)校聯(lián)考三模）2020年新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央的號召下，應(yīng)對疫情，我國采取特殊的就業(yè)政策、經(jīng)濟(jì)政策很好地穩(wěn)住了經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展大局．在全世界范圍內(nèi)，我國疫情控制效果最好，經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇最快．某汽車銷售公司2021年經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該公司在第1月份至6月份的銷售收入 SKIPIF 1 < 0 （單位：百萬元）關(guān)于月份 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)據(jù)如表：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖所示．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均為常數(shù)）哪一個適宜作為該公司銷售收入 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于月份 SKIPIF 1 < 0 的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的回歸方程，并預(yù)測該公司8月份的銷售收入．（結(jié)果近似到小數(shù)點(diǎn)后第二位）
參考數(shù)據(jù)：
其中設(shè) SKIPIF 1 < 0
參考公式和數(shù)據(jù)：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，其回歸直線 SKIPIF 1 < 0 的解率和截距的最小二乘法估計公式分別為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示更合適
(2) SKIPIF 1 < 0 ，95.58百萬元
（1）
解： SKIPIF 1 < 0 ，散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布不是一條直線，相鄰兩點(diǎn)在y軸上差距是增大的趨勢，故用 SKIPIF 1 < 0 表示更合適；
（2）
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，則回歸方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
預(yù)測該公司8月份的銷售收入 SKIPIF 1 < 0 百萬元．
【提分秘籍】
非線性回歸最重要的方法就是通過換元，將非線性問題，轉(zhuǎn)化為線性問題求解；
換元后注意代入數(shù)據(jù)不要出錯。
【變式演練】
1．（2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中?？茧A段練習(xí)）多年來，清華大學(xué)電子工程系黃翔東教授團(tuán)隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術(shù)，實現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團(tuán)隊為需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額 SKIPIF 1 < 0 （單位：億元）的影響，結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額 SKIPIF 1 < 0 ，的數(shù)據(jù)（ SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ，12），該團(tuán)隊建立了兩個函數(shù)模型：① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖，令 SKIPIF 1 < 0 ，計算得如下數(shù)據(jù)：
(1)設(shè) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的相關(guān)系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的相關(guān)系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額 SKIPIF 1 < 0 需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量 SKIPIF 1 < 0 是多少億元？
附：①相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，回歸直線 SKIPIF 1 < 0 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)模型 SKIPIF 1 < 0 的擬合程度更好
(2)（i） SKIPIF 1 < 0 （ii）預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是 SKIPIF 1 < 0 億元
【詳解】（1）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型 SKIPIF 1 < 0 的擬合程度更好
（2）（i）先建立 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程.
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
（ii）下一年銷售額 SKIPIF 1 < 0 需達(dá)到80億元，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是 SKIPIF 1 < 0 億元
2．（2022春·福建三明·高三三明一中?？计谥校┙陙恚绹矫鏋E用國家力量，不擇手段打壓中國高科技企業(yè)，隨著貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，中國某科技公司為了不讓外國“卡脖子”，決定在企業(yè)預(yù)算中減少宣傳廣告預(yù)算，增加對技術(shù)研究和人才培養(yǎng)的投入，下表是的連續(xù)7年研發(fā)投入x和公司年利潤y的觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)繪制的散點(diǎn)圖決定用回歸模型： SKIPIF 1 < 0 來進(jìn)行擬合.
表I
表II（注：表中 SKIPIF 1 < 0 ）
(1)請借助表II中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型的方程；（精確到0.01）
(2)試求研發(fā)投入為20億元時年利潤的殘差.
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ，附：回歸方程中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，殘差 SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由表II數(shù)據(jù)可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以回歸方程為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 時的殘差： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某生物研究所為研究某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù) SKIPIF 1 < 0 和溫度 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系，經(jīng)過一段時間觀察，收集到如下數(shù)據(jù)：
以該種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù) SKIPIF 1 < 0 和溫度 SKIPIF 1 < 0 為變量，作出如圖所示的散點(diǎn)圖，現(xiàn)分別用模型① SKIPIF 1 < 0 與模型② SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行分析．
(1)請利用模型② SKIPIF 1 < 0 建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式（系數(shù)保留兩位小數(shù)）；
(2)已知模型①的回歸直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，模型②的樣本相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，請根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；
(3)該種昆蟲的防治以噴灑殺蟲劑為主，其防治成本 SKIPIF 1 < 0 與溫度 SKIPIF 1 < 0 和產(chǎn)卵數(shù) SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ，用（2）中得出的擬合效果最好的模型計算，當(dāng)溫度 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 取整數(shù)）為何值時，昆蟲的防治成本的預(yù)估值最小？
附：對于一組數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、…、 SKIPIF 1 < 0 ，其回歸直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率和截距的最小二乘估計分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，樣本相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)模型②的擬合效果更好
(3) SKIPIF 1 < 0
（1）
解：已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，模型②的回歸方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：已知模型①的回歸直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，模型①的樣本相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
所以，模型②的擬合效果更好.
（3）
解：該種昆蟲的防治成本：
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，防治成本的預(yù)估值最?。?br>題型三：獨(dú)立性檢驗
【典例分析】
例題1．（2022春·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）近年來中年人的亞健康問題日趨嚴(yán)重，引起了政府部門和社會各界的高度關(guān)切.一研究機(jī)構(gòu)為了解亞健康與鍛煉時間的關(guān)系，對某地區(qū)的中年人隨機(jī)調(diào)查了 SKIPIF 1 < 0 人，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)從這些中年人中任選 SKIPIF 1 < 0 人，記 SKIPIF 1 < 0 “該中年人亞健康”， SKIPIF 1 < 0 “該中年人平均每天鍛煉時間不足半小時”，分別求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)完成下面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為亞健康與鍛煉時間有關(guān)聯(lián)？
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)列聯(lián)表見解析；可以認(rèn)為亞健康與鍛煉時間有關(guān)聯(lián)
【詳解】（1）由題意知：中年人亞健康且平均每天鍛煉時間不足半小時的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 人，則 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 中年人無亞健康且平均每天鍛煉時間超過半小時（含半小時）的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 人，平均每天鍛煉時間超過半小時（含半小時）的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 人，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由已知數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：
零假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ：亞健康與鍛煉時間無關(guān)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 依據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 獨(dú)立性檢驗，我們推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，即可以認(rèn)為亞健康與鍛煉時間有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯誤的概率不超過 SKIPIF 1 < 0 .
例題2．（2022春·江蘇徐州·高三期末）某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，在該批棉花中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本，測量每個樣本棉花的纖維長度（單位：mm，纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，將其按組距為2分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中纖維長度不小于28mm的棉花為優(yōu)質(zhì)棉.
(1)求頻率分布直方圖中 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)已知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩個試驗區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：
將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩個試驗區(qū)有關(guān)系；
注：①獨(dú)立性檢驗的臨界值表：
② SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)列聯(lián)表見解析，沒有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與A，B兩個試驗區(qū)有關(guān)系；
【詳解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
（2）抽取的優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為 SKIPIF 1 < 0
則非優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為90，
則2×2列聯(lián)表如下：
SKIPIF 1 < 0
則沒有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與A，B兩個試驗區(qū)有關(guān)系.
【變式演練】
1．（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）某企業(yè)為響應(yīng)國家在《“十四五”工業(yè)綠色發(fā)展規(guī)劃》中提出的“推動綠色發(fā)展，促進(jìn)人與自然和諧共生”的號召，推進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)高端化轉(zhuǎn)型，決定開始投入生產(chǎn)某新能源配件.該企業(yè)初步用甲?乙兩種工藝進(jìn)行試產(chǎn)，為了解兩種工藝生產(chǎn)新能源配件的質(zhì)量情況，從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取了 SKIPIF 1 < 0 件進(jìn)行質(zhì)量檢測，得到下圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定質(zhì)量等級包含合格和優(yōu)等兩個等級，綜合得分在 SKIPIF 1 < 0 的是合格品，得分在 SKIPIF 1 < 0 的是優(yōu)等品.
(1)從這100件甲工藝所生產(chǎn)的新能源配件中按質(zhì)量等級分層抽樣抽取5件，再從這5件中隨機(jī)抽取2件做進(jìn)一步研究，求恰有1件質(zhì)量等級為優(yōu)等品的概率；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖完成下面的 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表，并判斷是否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認(rèn)為新能源配件的質(zhì)量等級與生產(chǎn)工藝有關(guān)？該企業(yè)計劃大規(guī)模生產(chǎn)這種新能源配件，若你是該企業(yè)的決策者，你會如何安排生產(chǎn)，為什么？
附： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)列聯(lián)表答案見解析，有 SKIPIF 1 < 0 的把握認(rèn)為配件的質(zhì)量和生產(chǎn)工藝有關(guān)，選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件，理由見解析
【詳解】（1）由甲工藝頻率分布直方圖可知，合格品?優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率分別為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以按分層抽樣抽取的5個配件中，有合格品2個?優(yōu)等品3個，
所以從5個中隨機(jī)抽取2個，恰有1個質(zhì)量等級為優(yōu)等品的概率為：
SKIPIF 1 < 0 .
（2）甲生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有 SKIPIF 1 < 0 件，優(yōu)等品有 SKIPIF 1 < 0 件，
乙生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有 SKIPIF 1 < 0 件，優(yōu)等品有 SKIPIF 1 < 0 件，
所以 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表為：
所以 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 的把握認(rèn)為配件的質(zhì)量和生產(chǎn)工藝有關(guān).
應(yīng)該選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件，因為甲的優(yōu)等品率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙的優(yōu)等品率僅為 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·四川廣安·廣安二中?？寄M預(yù)測）第24屆冬季奧運(yùn)會將于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運(yùn)會共設(shè)7個大項，15個分項，109個小項.為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運(yùn)會項目的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為 SKIPIF 1 < 0 ，統(tǒng)計得到以下2×2列聯(lián)表，經(jīng)過計算可得 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值，并判斷有多大的把握認(rèn)為該校學(xué)生對冬季奧運(yùn)會項目的了解情況與性別有關(guān)；
(2)為弄清學(xué)生不了解冬季奧運(yùn)會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不了解冬季奧運(yùn)會項目的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從這6人中抽取2人進(jìn)行面對面交流，“至少抽到一名男生”的概率；
附表：
附： SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，有99%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對冬季奧運(yùn)會項目的了解情況與性別有關(guān).
(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）解：由題知：2×2列聯(lián)表完善如下：
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，有99%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對冬季奧運(yùn)會項目的了解情況與性別有關(guān).
（2）解：由題知， SKIPIF 1 < 0 ，抽樣比為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，不了解學(xué)生中，男生應(yīng)抽取 SKIPIF 1 < 0 人，分別記為 SKIPIF 1 < 0 ；女生應(yīng)抽取 SKIPIF 1 < 0 人，分別記為 SKIPIF 1 < 0 ；
所以，這6人中抽取2人進(jìn)行面對面交流，可能的情況有： SKIPIF 1 < 0 ，共15種，
其中，至少抽到一名男生的情況有 SKIPIF 1 < 0 共9種情況，
所以，“至少抽到一名男生”的概率為 SKIPIF 1 < 0
題型四：超幾何分布
【典例分析】
例題1．（2022春·河北衡水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）隨著人們生活水平的提高，國家倡導(dǎo)綠色安全消費(fèi)，菜籃子工程從數(shù)量保障型轉(zhuǎn)向質(zhì)量效益型.為了測試甲、乙兩種不同有機(jī)肥料的使用效果，某科研單位用西紅柿做了對比實驗，分別在兩片實驗區(qū)各摘取100個，對其質(zhì)量的某項指標(biāo)值進(jìn)行檢測，質(zhì)量指數(shù)值達(dá)到35及以上的為“質(zhì)量優(yōu)等”，由測量結(jié)果繪成如下頻率分布直方圖.其中質(zhì)量指數(shù)值分組區(qū)間是： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān)；
(2)在摘取的用乙種有機(jī)肥料的西紅柿中，從“質(zhì)量優(yōu)等”中隨機(jī)選取2個，記區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 中含有的個數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握認(rèn)為，“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān)
(2)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
（1）
解：由題意可得 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表為：
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以有99.9%的把握認(rèn)為“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān).
（2）
由頻率分布直方圖可得“質(zhì)量優(yōu)等”有30個，區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 中含有10個，
隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有0，1，2，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列如下：
SKIPIF 1 < 0 .
例題2．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考開學(xué)考試）為了研究高三年級學(xué)生的性別與體重是否超過55kg的關(guān)聯(lián)性，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某中學(xué)所有高三年級的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表．
參考公式和數(shù)據(jù)：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)依據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)？
(2)按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方式在該中學(xué)高三年級體重超過55kg的學(xué)生中抽取9人，再從這9人中任意選取3人，記選中的女生數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與期望．
【答案】(1)認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001
(2)分布列見解析；期望為1
（1）
假設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ：該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重?zé)o關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，即認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．
（2）
依題意，抽取的9人中，男生有 SKIPIF 1 < 0 人，女生有 SKIPIF 1 < 0 人，
從中任意選取3人，X的取值可能為0，1，2，3，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
則X的分布列為
故 SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有 SKIPIF 1 < 0 件，其中有 SKIPIF 1 < 0 件次品，從 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 件(不放回)，用 SKIPIF 1 < 0 表示抽取的 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
如果隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從超幾何分布．
【變式演練】
1．（2022春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）文化月活動中，某班級在宣傳欄貼出標(biāo)語“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，假設(shè)一段時間后，隨機(jī)有 SKIPIF 1 < 0 個字脫落．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，用隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 表示脫落的字中“學(xué)”的個數(shù)，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列及期望；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機(jī)貼回，求標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率．
【答案】(1)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
(2)0.6
【詳解】（1）方法一：
隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
隨機(jī)變量X的分布列如下表：
隨機(jī)變量X的期望為 SKIPIF 1 < 0
法二：
隨機(jī)變量X服從超幾何分布 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)脫落一個“學(xué)”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，脫落一個“好”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，脫落一個“數(shù)”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
事件 SKIPIF 1 < 0 為脫落兩個字 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以某同學(xué)撿起后隨機(jī)貼回，標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為
SKIPIF 1 < 0 ，
法二：
掉下的兩個字不同的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022春·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班 SKIPIF 1 < 0 名女同學(xué)， SKIPIF 1 < 0 名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為 SKIPIF 1 < 0 的樣本進(jìn)行分析．
(1)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）
(2)如果隨機(jī)抽取的 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：
（i）若規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 分以上（包括 SKIPIF 1 < 0 分）為優(yōu)秀，從這 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)中抽取 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)，記 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）
（ii）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于數(shù)學(xué)成績 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程（系數(shù)精確到 SKIPIF 1 < 0 ）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?SKIPIF 1 < 0 分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?br>附：線性回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)（i）分布列見解析，期望為 SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）
依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 名，
18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 名，
故不同的樣本的個數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
（?。?SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，
SKIPIF 1 < 0 的取值為0，1，2，3．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅱ）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 線性回歸方程為 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ．
可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分．
3．（2022春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知某校高三進(jìn)行第一次摸底考試，從全校選考地理的高三學(xué)生中，隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生的地理成績制成如圖所示的頻率分布直方圖，滿分為 100 分，其中 80 分及以上為優(yōu)秀，其他為一般．已知成績優(yōu)秀的學(xué)生中男生有 10 名，成績一般的學(xué)生中男生有 40 名，得到如下的 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表．
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成上面 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，分析“考試成績優(yōu)秀”與 “性別” 是否有關(guān)?
(2)從考試成績在 SKIPIF 1 < 0 中，利用分層隨機(jī)抽樣抽取7名學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)方法經(jīng)驗介紹，從抽取的學(xué)生中，再確定3名學(xué)生做學(xué)習(xí)經(jīng)驗的介紹，則抽取的3名學(xué)生中，考試成績在 SKIPIF 1 < 0 的學(xué)生數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式： SKIPIF 1 < 0 ，（其中 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，“考試成績優(yōu)秀”與 “性別”無關(guān)
(2)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
（1）
根據(jù)頻率分布直方圖可得考試成績優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
其中女生的人數(shù)為18，考試成績一般的人數(shù)為72，其中女生的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表為
零假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ：考試成績優(yōu)秀與性別無關(guān)．
SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，
即認(rèn)為“考試成績優(yōu)秀”與“性別”無關(guān)．
（2）
根據(jù)頻率分布直方圖可得考試成績在 SKIPIF 1 < 0 的學(xué)生人數(shù)分別為20，8，
利用分層隨機(jī)抽樣抽取7名學(xué)生中的成績在 SKIPIF 1 < 0 的人數(shù)分別為5，2，
則 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為0，1，2，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
題型五：二項分布
【典例分析】
例題1．（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）2022年，某省啟動高考綜合改革，改革后，不再分文理科，改為采用是“ SKIPIF 1 < 0 ”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)，生物，政治，地理四科中選擇兩科作為高考科目，某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進(jìn)行模擬選課，其中 SKIPIF 1 < 0 組合：物理、化學(xué)、生物， SKIPIF 1 < 0 組合：歷史、政治、地理， SKIPIF 1 < 0 組合：物理、化學(xué)、地理.根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇 SKIPIF 1 < 0 組合的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，選擇 SKIPIF 1 < 0 組合的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，選擇 SKIPIF 1 < 0 組合的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，甲、乙、丙三位同學(xué)每人選課是相互獨(dú)立的.
(1)求這三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇相同組合的概率.
(2)記 SKIPIF 1 < 0 表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）解：用 SKIPIF 1 < 0 表示第i位同學(xué)選擇A組合，用 SKIPIF 1 < 0 表示第i位同學(xué)選擇B組合，用 SKIPIF 1 < 0 表示第i位同學(xué)選擇C組合， SKIPIF 1 < 0 ．
由題意可知， SKIPIF 1 < 0 互相獨(dú)立，
且 SKIPIF 1 < 0 ．
故三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇組合 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇組合 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇組合 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0
所以這三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇相同組合的概率為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）選擇含地理的組合的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為0，1，2，3，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
例題2．（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)校考期中）伴隨經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動日益豐富，公共服務(wù)體系日趨完善.據(jù)相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國民體質(zhì)測定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.健身之于個人是一種自然而然的習(xí)慣，之于國家與民族，則是全民健康的基礎(chǔ)柱石之一，某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對去年的參與了該連鎖機(jī)構(gòu)健身的會員進(jìn)行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員年齡等級分布圖，圖2為一個月內(nèi)會員到健身連鎖機(jī)構(gòu)頻數(shù)分布扇形圖
若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一月內(nèi)來健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有 SKIPIF 1 < 0 是“年輕人”.
(1)現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會員中隨機(jī)抽取一個容量為100人的樣本，根據(jù)上圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下方 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為是否為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；
臨界值表：
SKIPIF 1 < 0
(2)將（1）中的頻率作為概率，連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取會員進(jìn)行回訪，抽取3人回訪.
①若選到的3人中2人為“年輕人”，1人為“非年輕人”,再從這3人中隨機(jī)選取的1人，了解到該會員是“健身達(dá)人”，求該人為非年輕人的概率；
②設(shè)3人中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望值.
【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，不能認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；②分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望： SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）根據(jù)年輕人標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合圖1可得年輕人占比為80%，則年輕人人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則非年輕人為20人，根據(jù)圖2表格得健身達(dá)人所占比60%，所以其人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)其中年輕人占比 SKIPIF 1 < 0 ，所以健身達(dá)人中年輕人人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則非年輕人為10人；
健身愛好者人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，再通過總共年輕人合計為80人，則健身愛好者中年輕人人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，3根據(jù)非年輕人總共為20人，則健身愛好者中非年輕人人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，具體表格填寫如下.
列聯(lián)表為
零假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，是否為“健身達(dá)人”與年齡無關(guān).
SKIPIF 1 < 0
所以，依據(jù) SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，不能認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)；
（2）①設(shè)事件 SKIPIF 1 < 0 為：該人為年輕人，事件 SKIPIF 1 < 0 為：該人為健身達(dá)人，故此人為“非年輕人”的概率為則 SKIPIF 1 < 0
②由（1）知，既是年輕人又是健身達(dá)人的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故X的分布列：
SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望值
SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
一般地，在 SKIPIF 1 < 0 重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，用 SKIPIF 1 < 0 表示事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的次數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
如果隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從二項分布，記作 SKIPIF 1 < 0 ．
【變式演練】
1．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）隨著人臉識別技術(shù)的發(fā)展，“刷臉支付”成為了一種便捷的支付方式，但是這種支付方式也帶來了一些安全性問題．為了調(diào)查不同年齡層的人對“刷臉支付”所持的態(tài)度，研究人員隨機(jī)抽取了300人，并將所得結(jié)果統(tǒng)計如下表所示．
(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性；
(2)以（1）中的頻率估計概率，若在該地區(qū)所有年齡在50周歲以上（含50周歲）的人中隨機(jī)抽取4人，記X為4人中持支持態(tài)度的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；
(3)已知某地區(qū)“萬嘉”連鎖超市在安裝了“刷臉支付”儀器后，使用“刷臉支付”的人數(shù)y與第x天之間的關(guān)系統(tǒng)計如下表所示，且數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)的特征，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求y與x的回歸直線方程 SKIPIF 1 < 0 ．
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
參考公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)表格見解析，有
(2)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）完成列聯(lián)表如下：
故本次實驗中 SKIPIF 1 < 0 的觀測值 SKIPIF 1 < 0 ，
故有99.9％的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性；
（2）依題意， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
故X的分布列為：
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）依題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故y關(guān)于x的線性回歸方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022春·湖南湘潭·高三湘潭一中?？计谥校?SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月 SKIPIF 1 < 0 日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣“立秋”，該日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，據(jù)此，學(xué)校社會實踐小組隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū) SKIPIF 1 < 0 位奶茶愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.
(1)估計奶茶愛好者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
(2)估計奶茶愛好者年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(3)以頻率替代概率進(jìn)行計算，若從該地區(qū)所有奶茶愛好者中任選 SKIPIF 1 < 0 人，求 SKIPIF 1 < 0 人中年齡在 SKIPIF 1 < 0 歲以下的人數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 歲
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由頻率分布直方圖估計奶茶愛好者的平均年齡為：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （歲）.
（2）由頻率分布直方圖得：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的頻率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由頻率估計概率可知：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由頻率分布直方圖得：從該地區(qū)所有奶茶愛好者中任選 SKIPIF 1 < 0 人，年齡在 SKIPIF 1 < 0 歲以下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
則 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
則數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022春·甘肅蘭州·高三蘭州西北中學(xué)校考期中）為豐富學(xué)生的校園生活，提升學(xué)生的實踐能力和綜合素質(zhì)能力，培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，某校計劃借課后托管服務(wù)平臺開設(shè)書法興趣班．為了解學(xué)生對這個興趣班的喜歡情況，該校隨機(jī)抽取了本校100名學(xué)生，調(diào)查他們對這個興趣班的喜歡情況，得到數(shù)據(jù)如下：
以調(diào)查得到的男、女學(xué)生喜歡書法興趣班的頻率代替概率．
(1)從該校隨機(jī)抽取1名男學(xué)生和1名女學(xué)生，求這2名學(xué)生中恰有1人喜歡書法興趣班的概率；
(2)從該校隨機(jī)抽取4名女學(xué)生，記X為喜歡書法興趣班的女生人數(shù)，求X的分布列與期望．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)分布列見解析，期望為3.
【詳解】（1）從男生中抽取1名學(xué)生，喜歡書法興趣班的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，從女生中抽取1名學(xué)生，喜歡書法興趣班的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
恰有一人喜歡書法興趣班分為男生喜歡女生不喜歡和男生不喜歡女生喜歡兩類，
所以所求概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）從女生中抽取1名學(xué)生，喜歡書法興趣班的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意 SKIPIF 1 < 0 的值分別為0，1，2，3，4， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 ．
題型六：正態(tài)分布
【典例分析】
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康，經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了 SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計 SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民的年平均收入 SKIPIF 1 < 0 （單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；
(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 近似為年平均收入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 近似為樣本方差 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)計算得 SKIPIF 1 < 0 ，利用該正態(tài)分布，求：
①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有 SKIPIF 1 < 0 的農(nóng)民的年收入不低于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？
②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了 SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，這 SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民中的年收入不少于 SKIPIF 1 < 0 千元的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
附參考數(shù)據(jù)：① SKIPIF 1 < 0 ，②若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 千元；② SKIPIF 1 < 0
（1）
解：由頻率分布直方圖可知， SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民的年平均收入為
SKIPIF 1 < 0 （千元）.
（2）
解：由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 時，滿足題意，即最低年收入大約為 SKIPIF 1 < 0 千元；
②由 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
每個農(nóng)民的年收入不少于 SKIPIF 1 < 0 千元的事件的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某收費(fèi)APP（手機(jī)應(yīng)用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設(shè)計?方便的操作方式和實用的強(qiáng)大功能深得用戶喜愛.為回饋市場并擴(kuò)大用戶量，該APP在2022年以競價形式做出優(yōu)惠活動，活動規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過官網(wǎng)提交自己的報價（報價低于原價），但在報價時間截止之前無法得知其他人的報價和當(dāng)月參與活動的總?cè)藬?shù)；②當(dāng)月競價時間截止后的第二天，系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額，按出價從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價即為該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價，出價不低于優(yōu)惠價的人將獲得數(shù)額為原價減去優(yōu)惠價的優(yōu)惠券，并可在當(dāng)月下載該APP時使用.小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動，為了預(yù)測最低成交價，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計了今年2到6月參與活動的人數(shù)，如下表所示：
(1)若可用線性回歸模型擬合參與活動的人數(shù) SKIPIF 1 < 0 （單位：萬人）與時間t（單位：月）之間的關(guān)系，請用最小二乘法求 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ，并預(yù)測今年7月參與活動的人數(shù)；
(2)某自媒體對200位擬參加今年7月份活動的人進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：
①求這200人的報價X（單位：元）的平均值 SKIPIF 1 < 0 和方差 SKIPIF 1 < 0 （同一區(qū)間的報價用該價格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
②假設(shè)所有參與活動的人的報價X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 可分別由①中所求的樣本平均數(shù) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 估計，若2022年7月計劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173，請你合理預(yù)測該 SKIPIF 1 < 0 在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價，并說明理由.
參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，預(yù)計今年7月參與活動的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 萬人；
(2)① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 元.
（1）
解：由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以回歸直線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，可得 SKIPIF 1 < 0 （萬人），
故預(yù)計今年7月參與活動的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 萬人；
（2）
解：①依題意可得這200人的報價 SKIPIF 1 < 0 （單位：元）的平均值 SKIPIF 1 < 0 ，
方差 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
②由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，依題意發(fā)放的優(yōu)惠名額為 SKIPIF 1 < 0 張，預(yù)測參加的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 人，
所以能夠得到優(yōu)惠名額的概率 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)下載優(yōu)惠價為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以預(yù)測該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價為 SKIPIF 1 < 0 元.
【提分秘籍】
正態(tài)變量的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，但在一次試驗中， SKIPIF 1 < 0 的值幾乎總是落在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.
在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 的隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 只取 SKIPIF 1 < 0 中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為 SKIPIF 1 < 0 原則.
【變式演練】
1．（2022春·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某市宣傳部門開展了線上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識競賽，現(xiàn)從全市的參與者中隨機(jī)抽取了1000名幸運(yùn)者的成績進(jìn)行分析，把他們的得分（滿分100分）分成以下7組： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，統(tǒng)計得各組的頻率之比為1∶6：8：10：9：4：2．同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替．
(1)求這1000名幸運(yùn)者成績的第75百分位數(shù)和平均值 SKIPIF 1 < 0 （結(jié)果保留整數(shù)）﹔
(2)若此次知識競賽得分 SKIPIF 1 < 0 ，為感謝市民的積極參與，對參與者制定如下獎勵方案：得分不超過79分的可獲得1次抽獎機(jī)會，得分超過79分不超過93分的可獲得2次抽獎機(jī)會，超過93分的有3次抽獎機(jī)會，試估計任意一名幸運(yùn)者獲得抽獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)第75百分位數(shù)約為76分，平均值為65分
(2)數(shù)學(xué)期望為1.1814次．
【詳解】（1）這1000名幸運(yùn)者成績的第75百分位數(shù)為x，則
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （分），
SKIPIF 1 < 0 （分）．
所以這1000名幸運(yùn)者成績的第75百分位數(shù)約為76分，平均值為65分；
（2）設(shè)隨機(jī)變量Y表示任意一名幸運(yùn)者的抽獎次數(shù)，則Y的可能取值為1，2，3，
由已知及（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
其分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以可以估計任意一名幸運(yùn)者獲得抽獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.1814次．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列，為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅突破.設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為 SKIPIF 1 < 0 （單位：nm）.
(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個，其中直徑大于10nm的有4個.現(xiàn)從這7個零件中隨機(jī)抽取3個.記 SKIPIF 1 < 0 表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為 SKIPIF 1 < 0 ，每個零件是否合格相互獨(dú)立.現(xiàn)任取6個零件進(jìn)行檢測，若合格的零件數(shù) SKIPIF 1 < 0 超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅成功.求技術(shù)攻堅成功的概率及 SKIPIF 1 < 0 的方差；
(3)若技術(shù)攻堅后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑 SKIPIF 1 < 0 ，從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出10個，求至少有一個零件直徑大于9.4nm的概率.
參考數(shù)據(jù)：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由題意，可知 SKIPIF 1 < 0 可取0,，1，2，3，.則有
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
從而 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 可取的值為0，1，2，3，4，5，6，則有
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
所以技術(shù)攻堅成功的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
因于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方差 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，則可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
記“從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出10個，至少有一個零件直徑大于9.4nm”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
故至少有一個零件直徑大于9.4nm的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）鹽水選種是古代勞動人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良.現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位： SKIPIF 1 < 0 ）進(jìn)行測定，認(rèn)為密度不小于 SKIPIF 1 < 0 的種子為優(yōu)種，小于 SKIPIF 1 < 0 的為良種.自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若將這批種子的密度測定結(jié)果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(2)在（1）的條件下，用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)互相獨(dú)立）；
(3)若該品種種子的密度 SKIPIF 1 < 0 ，任取該品種種子20000粒，估計其中優(yōu)種的數(shù)目.附：假設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)1.24 SKIPIF 1 < 0
(2)分布列見解析，期望1.44；
(3) SKIPIF 1 < 0 粒.
（1）
種子密度的平均值為： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
（2）
由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為 SKIPIF 1 < 0 ，
任選一粒種子萌發(fā)的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
因為為這批種子總數(shù)遠(yuǎn)大于2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 布列為：
期望 SKIPIF 1 < 0 .
（3）
因為該品種種子的密度 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以20000粒種子中約有優(yōu)種 SKIPIF 1 < 0 （粒）
即估計其中優(yōu)種的數(shù)目為 SKIPIF 1 < 0 粒.
題型七：概率綜合
【典例分析】
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺．該平臺首次實現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．
(1)估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時長在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的概率；
(2)估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時長；
(3)若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機(jī)選取2人參加座談會，求所選取的2人來自不同的組的概率．
【答案】(1)0.3
(2)6.8小時
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）
由題意知，該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時長在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的頻率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時長在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的概率為0.3．
（2）
由題意知各組的頻率分別為0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時長在6.8小時．
（3）
由（2）知，利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時長在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的頻率分別為0.25，0.1，故兩組人數(shù)分別為250，100，
采用分層抽樣的方法從 SKIPIF 1 < 0 組抽取人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，記作a，b，c，d，e；從 SKIPIF 1 < 0 組抽取人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，記作A，B；
從7人中抽取2人的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 ，共21個，來自不同組的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 ，共10個，
故所求概率 SKIPIF 1 < 0 ．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《中華人民共和國未成年人保護(hù)法》是為保護(hù)未成年人身心健康，保障未成年人合法權(quán)益，根據(jù)憲法制定的法律.某中學(xué)為宣傳未成年人保護(hù)法，特舉行一次未成年人保護(hù)法知識競賽.競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別選答兩題，兩人答題互不影響.若答對題數(shù)合計不少于3題，則稱這個小組為“優(yōu)秀小組”.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且甲、乙同學(xué)答對每道題的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，則在第一輪競賽中，求該組獲“優(yōu)秀小組”的概率；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求該組在每輪競賽中獲得“優(yōu)秀小組”的概率的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）記他們獲得“優(yōu)秀小組”的事件為事件 SKIPIF 1 < 0 ，則事件 SKIPIF 1 < 0 包含三種情況：
甲答對兩題，乙答對一題的事件B；甲答對一題，乙答對兩題的事件C，甲、乙都答對兩題的事件D，
事件B、C、D互斥，又因為甲乙兩人答題相互獨(dú)立，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該組獲“優(yōu)秀小組”的概率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知甲、乙小組每輪比賽獲“優(yōu)秀小組”的概率為：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， 當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，等號成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時等號成立，
所以該組在每輪競賽中獲得“優(yōu)秀小組”的概率的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
【變式演練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲乙兩人玩卡片游戲：他們手里都拿著分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片，各自從自己的卡片中隨機(jī)抽出1張，規(guī)定兩人誰抽出的卡片上的數(shù)字大，誰就獲勝，數(shù)字相同則為平局.
(1)求甲獲勝的概率.
(2)現(xiàn)已知他們都抽出了標(biāo)有數(shù)字6的卡片，為了分出勝負(fù)，他們決定從手里剩下的卡片中再各自隨機(jī)抽出1張，若他們這次抽出的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝.請問：這個規(guī)則公平嗎，為什么 ？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）見解析
【詳解】(1)兩人各自從自己的卡片中隨機(jī)抽出一張，所有可能的結(jié)果為：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，共36種，
其中事件“甲獲勝”包含的結(jié)果為：
SKIPIF 1 < 0 ，
有15種.
所以甲獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)兩人各自從于里剩下的卡片中隨機(jī)抽出一張，所有可能的結(jié)果為：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，共25種.
其中卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果為：
SKIPIF 1 < 0 ，共13種.
根據(jù)規(guī)則，甲獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則乙獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，所以這個規(guī)則不公平.
2．（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．某工廠對一批零件進(jìn)行抽樣檢測，根據(jù)經(jīng)驗可知每個零件是次品的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若從這批零件中抽取2個進(jìn)行檢測，求其中次品數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)現(xiàn)對這批零件抽取100個進(jìn)行檢測，若其中次品數(shù)多于3個，則這批零件為不合格產(chǎn)品．估算這批零件為不合格產(chǎn)品的概率（精確到 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)答案見解析
(2)0.14
【詳解】（1）根據(jù)題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 為次品的數(shù)量，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，這批零件為不合格產(chǎn)品，
則這批零件為不合格產(chǎn)品的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，這批產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品的概率約為 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.
(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；
(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結(jié)束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示“第 SKIPIF 1 < 0 次從乙箱中取到填空題”， SKIPIF 1 < 0 ，2，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)事件 SKIPIF 1 < 0 為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，
事件 SKIPIF 1 < 0 為“第二支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，
事件 SKIPIF 1 < 0 為“第二支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，
事件 SKIPIF 1 < 0 為“第二支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，
則 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 彼此互斥，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所求概率即是 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率： SKIPIF 1 < 0 .
題型八：概率統(tǒng)計與數(shù)列
【典例分析】
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的期望；
（2）若累計得分為 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，（初始得分為0分， SKIPIF 1 < 0 ）．
①證明數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；
②求活動參與者得到紀(jì)念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①證明見解析；② SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，獲得2分的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴X的分布列為：
E（X）＝ SKIPIF 1 < 0 ＝5．
（2）①證明：n＝1，即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，累計得分為i分的情況有兩種：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過2點(diǎn)，其概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
（Ⅱ）累計得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得1分，其概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，（i＝1，2，…，19）是首項為﹣ SKIPIF 1 < 0 ，公比為﹣ SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列．
②∵數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，（i＝1，2，…，19）是首項為﹣ SKIPIF 1 < 0 ，公比為﹣ SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，???， SKIPIF 1 < 0 ，
各式相加，得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，（i＝1，2，???，19），
∴活動參與者得到紀(jì)念品的概率為：
SKIPIF 1 < 0 ．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為落實《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識＋基本運(yùn)動技能＋專項運(yùn)動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 SKIPIF 1 < 0 分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙每次踢球命中的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，且各次踢球互不影響．
（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望；
（2）若經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 輪踢球，用 SKIPIF 1 < 0 表示經(jīng)過第 SKIPIF 1 < 0 輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，請根據(jù)①中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，并求出數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）記一輪踢球，甲命中為事件 SKIPIF 1 < 0 ，乙命中為事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立．
由題意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，甲的得分 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ，0，1．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①由（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得 SKIPIF 1 < 0 分．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
②∵規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，
公比為 SKIPIF 1 < 0 ，首項為 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
【提分秘籍】
借助數(shù)列的地推關(guān)系式，求出概率或統(tǒng)計量之間的關(guān)系，這是高考的重要考點(diǎn)，遞推關(guān)系作為重要的工具，為解決概率統(tǒng)計中的問題提供了便利.
【變式演練】
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校開展投籃活動，活動規(guī)則是：每名選手投籃 SKIPIF 1 < 0 次（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），每次投籃，若投進(jìn)，則下一次站在三分線處投籃；若沒有投進(jìn)，則下一次站在兩分線處投籃．規(guī)定每名選手第一次站在兩分線處投籃．站在兩分線處投進(jìn)得2分，否則得0分；站在三分線處投進(jìn)得3分，否則得0分．已知小明站在兩分線處投籃投進(jìn)的概率為0.7，站在三分線處投籃投進(jìn)的概率為0.5，且每次投籃相互獨(dú)立．
(1)記小明前2次投籃累計得分為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)記第 SKIPIF 1 < 0 次投籃時，小明站在三分線處投籃的概率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，…， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式．
【答案】(1)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(1)
依題意， SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
記“小明第 SKIPIF 1 < 0 次投籃站在兩分線處并且投進(jìn)”為事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
“小明第2次投籃站在三分線處并且投進(jìn)”為事件 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
由題意知， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，分兩種情形：
①若小明第 SKIPIF 1 < 0 次投籃站在三分線處，這種情形下小明第 SKIPIF 1 < 0 次投籃站在三分線處的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
②若小明第 SKIPIF 1 < 0 次投籃站在兩分線處，這種情形下小明第 SKIPIF 1 < 0 次投籃站在三分線處的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由題易知 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）某超市開展購物抽獎送積分活動，每位顧客可以參加 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）次抽獎，每次中獎的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，不中獎的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，且各次抽獎相互獨(dú)立．規(guī)定第1次抽獎時，若中獎則得10分，否則得5分．第2次抽獎，從以下兩個方案中任選一個；
方案① ：若中獎則得30分，否則得0分；
方案② ：若中獎則獲得上一次抽獎得分的兩倍，否則得5分．
第3次開始執(zhí)行第2次抽獎所選方案，直到抽獎結(jié)束．
(1)如果 SKIPIF 1 < 0 ，以抽獎的累計積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個方案？并說明理由；
(2)記顧客甲第i次獲得的分?jǐn)?shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，并且選擇方案②．請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的遞推關(guān)系式，并求 SKIPIF 1 < 0 的值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ．）
【答案】(1)應(yīng)選擇方案① ，理由見解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）
若甲第2次抽獎選方案①，兩次抽獎累計積分為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為40，35，10，5．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
若甲第2次抽獎選方案②，兩次抽獎累計積分為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為30，15，10，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以應(yīng)選擇方案①．
（2）
依題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的可能取值為10，5其分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列．其中首項為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，擇餐廳乙就餐的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）請寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的遞推關(guān)系；
（3）求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.
【答案】（1）分布列答案見解析， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.
【詳解】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為
故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依題意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項為 SKIPIF 1 < 0 公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列.
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
題型九：概率統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)
【典例分析】
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率， SKIPIF 1 < 0 是關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 的一個最小正實根，求證：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．
【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有兩個不同零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 為增函數(shù)且 SKIPIF 1 < 0 ，
而當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，因為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的一個最小正實根，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，故1為 SKIPIF 1 < 0 的一個最小正實根，
綜上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
此時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有兩個不同零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在一個零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的一個最小正實根，此時 SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .
（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某籃球隊為提高隊員的訓(xùn)練積極性，進(jìn)行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成了一個小組.游戲規(guī)則：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲乙兩名隊員投進(jìn)籃球的概率為別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則在第一輪游戲他們獲“神投小組”的概率；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，則在游戲中，甲乙兩名隊員想要獲得“神投小組”的稱號16次，則理論上他們小組要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）理論上至少要進(jìn)行 SKIPIF 1 < 0 輪游戲， SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）由題可知，所以可能的情況有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:
SKIPIF 1 < 0 .
（2）他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率為:
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
他們小組在 SKIPIF 1 < 0 輪游戲中獲“神投小組”次數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以理論上至少要進(jìn)行 SKIPIF 1 < 0 輪游戲.
此時 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
概率統(tǒng)計中的最值問題常用工具有：
①基本不等式
②求導(dǎo)
【變式演練】
1．（2022春·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品 SKIPIF 1 < 0 分為兩類不同劑型 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)對其進(jìn)行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，第二次檢測時兩類試劑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．已知兩次檢測過程相互獨(dú)立，兩次檢測均合格，試劑品 SKIPIF 1 < 0 才算合格．
(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的種類數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員逐一使用試劑品 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為 SKIPIF 1 < 0 且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，若當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 最大，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)分布列見解析，1
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）劑型 SKIPIF 1 < 0 合格的概率為： SKIPIF 1 < 0 ；
劑型 SKIPIF 1 < 0 合格的概率為： SKIPIF 1 < 0 ．
由題意知X的所有可能取值為0，1，2．
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則X的分布列為
數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）檢測3人確定“感染高危戶”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
檢測4人確定“感染高危戶”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
原函數(shù)可化為 SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時，等號成立．
此時 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022春·上海黃浦·高三上海市光明中學(xué)?？计谥校┢囄矚馀欧懦瑯?biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表：
(1)統(tǒng)計表明銷量y與年份代碼x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，利用計算器求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；
(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本，其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有w名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；
②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為p，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求當(dāng)w為何值時， SKIPIF 1 < 0 最大.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；2028年
(2)① 15.5萬人 ② 30
【詳解】（1）（1）解：由題意得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以最小的整數(shù)為12， SKIPIF 1 < 0 ，
所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．
（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購車者中女性有 SKIPIF 1 < 0 名，
故其中購置新能源汽車的女性車主的有 SKIPIF 1 < 0 名．
所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為 SKIPIF 1 < 0 ．
所以該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，
因此預(yù)測該地區(qū)2020年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 萬人
②由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，知 SKIPIF 1 < 0 所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，知 SKIPIF 1 < 0 所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
此時 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
1．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）甲?乙兩個代表隊各有3名選手參加對抗賽.比賽規(guī)定：甲隊的1，2，3號選手與乙隊的1，2，3號選手按編號順序各比賽一場，某隊連贏3場，則獲勝，否則由甲隊的1號對乙隊的2號，甲隊的2號對乙隊的1號加賽兩場，勝場多者最后獲勝（每場比賽只有勝或負(fù)兩種結(jié)果）.已知甲隊的1號對乙隊的1，2號選手的勝率分別是0.5，0.6，甲隊的2號對乙隊的1，2號選手的勝率都是0.5，甲隊的3號對乙隊的3號選手的勝率也是0.5，假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求甲隊僅比賽3場獲勝的概率；
(2)已知每場比賽勝者可獲得200個積分，求甲隊隊員獲得的積分?jǐn)?shù)之和 SKIPIF 1 < 0 的分布列及期望.
【答案】(1)0.125；
(2)分布列見解析，期望為465.
【詳解】（1）甲隊1，2，3號選手與乙隊1，2，3號選手比賽獲勝的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 ，，
甲隊比賽3場獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
（2）X所以可能取得值為 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
即
所以 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行 SKIPIF 1 < 0 至5小時的中等強(qiáng)度運(yùn)動.已知 SKIPIF 1 < 0 社區(qū)有 SKIPIF 1 < 0 的居民每周運(yùn)動總時間超過5小時， SKIPIF 1 < 0 社區(qū)有 SKIPIF 1 < 0 的居民每周運(yùn)動總時間超過5小時， SKIPIF 1 < 0 社區(qū)有 SKIPIF 1 < 0 的居民每周運(yùn)動總時間超過5小時，且 SKIPIF 1 < 0 三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率；
(2)假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 （單位：小時），且 SKIPIF 1 < 0 .現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 三個社區(qū)的居民人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 社區(qū)每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 社區(qū)每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 社區(qū)每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為： SKIPIF 1 < 0 ，
該居民每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因為這三個社區(qū)每名居民每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 （單位：小時），且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布，且關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率為：
SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全國·模擬預(yù)測）某校課題組選取高一兩個班級開展對“數(shù)學(xué)問題鏈深度設(shè)計”的研究，其中A班為常規(guī)教學(xué)班，B班為課改研究班.在一次期末考試后，對A，B兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（單位：分）進(jìn)行分析，滿分150分，規(guī)定：小于120分為不優(yōu)秀，大于或等于120分為優(yōu)秀.已知A，B兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下：
A班：
B班：
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，能否計數(shù)成績是否優(yōu)秀與課改研究有關(guān)？
(2)從A，B兩班里成績在100分以下的學(xué)生中任意選取2人，記X為2人中B班的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能；
(2)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）填寫完整2×2列聯(lián)表如表所示：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗，我們推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，即認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與課改研究有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；
（2）由（1）可知：
A，B兩班里成績在100分以下的學(xué)生中，A班有4人，B班有2人，
所以X的所有可能取值為0，1，2，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則隨機(jī)變量X的分布為
數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）從《唐宮夜宴》火爆破圈開始，河南電視臺推出的“中國節(jié)日”系列節(jié)目被年輕人列入必看節(jié)目之一.從某平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的粉絲與游客（未注冊的訪客）中各隨機(jī)抽取200人，統(tǒng)計他們的年齡（單位：歲，年齡都在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)），并按照 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分組，得到粉絲年齡頻率分布直方圖及游客年齡頻數(shù)分布表如下所示.
(1)估計粉絲年齡的平均數(shù) SKIPIF 1 < 0 及游客年齡的中位數(shù) SKIPIF 1 < 0 （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)以頻率估計概率，從該平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的所有粉絲與游客中各隨機(jī)抽取2人，記這4人中年齡在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與期望.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由粉絲年齡頻率分布直方圖知 SKIPIF 1 < 0 ，
由游客年齡頻數(shù)分布表知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）從該平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的所有粉絲中隨機(jī)抽取1人，該粉絲年齡在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
從該平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的所有游客中隨機(jī)抽取1人，該游客年齡在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題可得 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為0，1，2，3，4，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）乒乓球被稱為中國的“國球”．甲、乙兩位乒乓球愛好者決定進(jìn)行一場友誼賽，制定如下比賽規(guī)則：比賽分兩天進(jìn)行，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局者獲得該天的勝利．若兩天比賽中一方連續(xù)勝利，則該方獲得勝利；若兩天比賽中雙方各勝一天，則第三天加賽一局，一局定勝負(fù)．設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，各局比賽相互獨(dú)立，沒有平局．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求第一天比賽甲獲勝的概率；
(2)記比賽結(jié)束時的總局?jǐn)?shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）第一天比賽甲可能以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 獲勝，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以第一天甲獲勝的概率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以第一天和第二天甲以 SKIPIF 1 < 0 獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，此時乙以 SKIPIF 1 < 0 負(fù)，
第一天和第二天甲以 SKIPIF 1 < 0 獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，此時乙以 SKIPIF 1 < 0 負(fù)，
即第一天和第二天甲、乙各自以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 獲勝的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，
同樣以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 負(fù)的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為4，5，6，7，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以隨機(jī)變量Y的分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·湖南·模擬預(yù)測）某學(xué)校在50年校慶到來之際，舉行了一次趣味運(yùn)動項目比賽，比賽由傳統(tǒng)運(yùn)動項目和新增運(yùn)動項目組成，每位參賽運(yùn)動員共需要完成3個運(yùn)動項目．對于每一個傳統(tǒng)運(yùn)動項目，若沒有完成，得0分，若完成了，得30分．對于新增運(yùn)動項目，若沒有完成，得0分，若只完成了1個，得40分，若完成了2個，得90分．最后得分越多者，獲得的資金越多．現(xiàn)有兩種參賽的方案供運(yùn)動員選擇．方案一：只參加3個傳統(tǒng)運(yùn)動項目．方案二：先參加1個傳統(tǒng)運(yùn)動項目，再參加2個新增運(yùn)動項目．已知甲、乙兩位運(yùn)動員能完成每個傳統(tǒng)項目的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，能完成每個新增運(yùn)動項目的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，且甲、乙參加的每個運(yùn)動項目是否能完成相互獨(dú)立．
(1)若運(yùn)動員甲選擇方案一，求甲得分不低于60分的概率．
(2)若以最后得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請問運(yùn)動員乙應(yīng)該選擇方案一還是方案二？說明你的理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)運(yùn)動員乙應(yīng)該選擇方案一；理由見解析
【詳解】（1）運(yùn)動員甲選擇方案一，若甲得分不低于60分，則甲至少要完成2項傳統(tǒng)運(yùn)動項目，故甲得分不低于60分的概率 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若乙選擇方案一，則乙完成的運(yùn)動項目的個數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
所以乙最后得分的數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0 ．
若乙選擇方案二，則乙得分Y的可能為取值為0，30，40，70，90，120，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
所以Y的數(shù)學(xué)期 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以運(yùn)動員乙應(yīng)該選擇方案一．
7．（2022·河南·馬店第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在高考結(jié)束后，程浩同學(xué)回初中母校看望數(shù)學(xué)老師，順便幫老師整理初三年級學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績，并進(jìn)行統(tǒng)計分析，在整個年級中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，將成績分為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分?jǐn)?shù)不低于90分為優(yōu)秀．
(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分，問這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；
(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，再從這13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)分布列見解析； SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）依題意，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則不低于70分的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
成績在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的，即優(yōu)秀的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ；
故這名學(xué)生成績是優(yōu)秀的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）成績在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的有 SKIPIF 1 < 0 （人）；
成績在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的有 SKIPIF 1 < 0 （人）；成績在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的有 SKIPIF 1 < 0 人；
故采用分層抽樣抽取的13名學(xué)生中，成績在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的有6人，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的有5人，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的有2人，
所以由題可知，X的可能取值為0，1，2，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以X的分布列為：
故 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運(yùn)動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進(jìn)行友誼賽．約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝：若比賽三場還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場比賽相互獨(dú)立，每場比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為 SKIPIF 1 < 0 ；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？
(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金3萬元，負(fù)隊獲獎金1.5萬元；若平局，兩隊各獲獎金1.8萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【答案】(1)業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽
(2) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為： SKIPIF 1 < 0 （單位：萬元）.
【詳解】（1）第一場比賽，業(yè)余隊安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：
SKIPIF 1 < 0 ;
第一場比賽，業(yè)余隊安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊獲勝的概率為：
SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以，業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.
（2）由已知 SKIPIF 1 < 0 萬元或 SKIPIF 1 < 0 萬元.
由（1）知，業(yè)余隊最優(yōu)決策是第一場應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.
此時，業(yè)余隊獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
專業(yè)隊獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，非平局的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
平局的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0 （萬元）
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為： SKIPIF 1 < 0 （單位：萬元）.
9．（2022·全國·模擬預(yù)測）某校開展了“學(xué)黨史”知識競賽活動，競賽試題由若干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，每位選手共需要回答三個問題.對于每一個問題，若回答錯誤得0分；若回答正確，填空題得30分，選擇題得20分.現(xiàn)設(shè)置了兩種活動方案供選手選擇.方案一：只回答填空題；方案二：先回答填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次選擇填空題；若上題回答錯誤，則下一次選擇選擇題.已知甲、乙兩位同學(xué)能正確回答填空題的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，能正確回答選擇題的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).
(1)若甲同學(xué)采用方案一答題，求甲得分不低于60分的概率；
(2)乙同學(xué)應(yīng)該選擇何種方案參加比賽更加有利？并說明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)乙同學(xué)選擇方案二參加比賽更加有利，理由見解析.
（1）
甲同學(xué)采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答對兩道填空題，
∴其概率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
乙同學(xué)選擇方案二參加比賽更加有利，理由如下：
若采用方案一，則其得分X的可能取值為0，30，60，90，
∴ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
∴X的分布列為
∴X的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
若采用方案二，則其得分Y的可能為取值為0，20，30，50，60，90，
∴ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
∴Y的分布列為
∴Y的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴乙同學(xué)選擇方案二參加比賽更加有利.
10．（2022·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評估藥物對目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗，檢測顯示臨床療效評價指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗，并得到了一組數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示連續(xù)用藥i天， SKIPIF 1 < 0 表示相應(yīng)的臨床療效評價指標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗，剛開始用藥時，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩.經(jīng)計算得到如下一些統(tǒng)計量的值： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)試判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型？并建立y關(guān)于x的回歸方程；
(2)新藥經(jīng)過臨床試驗后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時批量生產(chǎn)該商品，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.012，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009，兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨(dú)立.
（i）隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；
（ii）若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.
參考公式：對于一組數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，其回歸直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率和截距的最小二乘估計分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 適宜， SKIPIF 1 < 0
(2)（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0
（1）
剛開始用藥時，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩，故 SKIPIF 1 < 0 適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型.
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
（i）設(shè) SKIPIF 1 < 0 “隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品為不合格”，
SKIPIF 1 < 0 “隨機(jī)抽取一件藥品為第1條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
SKIPIF 1 < 0 “隨機(jī)抽取一件藥品為第2條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
（ii） SKIPIF 1 < 0 .
11．（2022·遼寧大連·育明高中?？家荒＃?020年12月16日至18日，中央經(jīng)濟(jì)工作會議在北京召開，會議確定，2021年要抓好八個重點(diǎn)任務(wù)，其中第五點(diǎn)就是：保障糧食安全，關(guān)鍵在于落實藏糧于地?藏糧于技戰(zhàn)略.要加強(qiáng)種質(zhì)資源保護(hù)和利用，加強(qiáng)種子庫建設(shè).要尊重科學(xué)?嚴(yán)格監(jiān)管，有序推進(jìn)生物育種產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用.某“種子銀行”對某種珍稀名貴植物種子采取“活態(tài)保存”方法進(jìn)行保存，即對種子實行定期更換和種植.通過以往的相關(guān)數(shù)據(jù)表明，該植物種子的出芽率為 SKIPIF 1 < 0 ，每顆種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.現(xiàn)任取該植物種子 SKIPIF 1 < 0 顆進(jìn)行種植，若種子的出芽數(shù) SKIPIF 1 < 0 超過半數(shù)，則可認(rèn)為種植成功( SKIPIF 1 < 0 ).
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時，求種植成功的概率及 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望；
（2）現(xiàn)擬加種兩顆該植物種子，試分析能否提高種植成功率？
【答案】（1）概率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案見解析.
【詳解】（1）由題意可知， SKIPIF 1 < 0 服從二項分布 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故種植成功的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)種植 SKIPIF 1 < 0 顆種子時，種植成功的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
擬加種兩顆該植物種子時，種植成功的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)種植 SKIPIF 1 < 0 顆種子時，考慮前 SKIPIF 1 < 0 顆種子出芽數(shù)，
為了種植成功，前 SKIPIF 1 < 0 顆種子中至少要有 SKIPIF 1 < 0 顆種子出芽，
①前 SKIPIF 1 < 0 顆種子中恰有 SKIPIF 1 < 0 顆出芽，它的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
此時后兩顆種子必須都要出芽，
所以這種情況下種植成功的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
②前 SKIPIF 1 < 0 顆種子恰有 SKIPIF 1 < 0 顆出芽，它的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
此時后兩顆種子至少有一顆出芽即可，
所以這種情況下種植成功的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
③前 SKIPIF 1 < 0 顆種子至少有 SKIPIF 1 < 0 顆出芽，
它的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，此時種植一定成功.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，種植成功率會降低；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，種植成功率不變；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，種植成功率會提高.
12．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考二模）高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以 SKIPIF 1 < 0 的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2，…，7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.
（1）如圖1，進(jìn)行一次高爾頓板試驗，求小球落入5號球槽的概率；
（2）小紅?小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動.小紅使用圖1所示的高爾頓板，付費(fèi)6元可以玩一次游戲，小球掉入m號球槽得到的獎金為 SKIPIF 1 < 0 元，其中 SKIPIF 1 < 0 .小明改進(jìn)了高爾頓板(如圖2)，首先將小木塊減少成5層，然后使小球在下落的過程中與小木塊碰撞時，有 SKIPIF 1 < 0 的概率向左， SKIPIF 1 < 0 的概率向右滾下，最后掉入編號為1，2，……，5的球槽內(nèi)，改進(jìn)高爾頓板后只需付費(fèi)4元就可以玩一次游戲，小球掉入n號球槽得到的獎金為 SKIPIF 1 < 0 元，其中 SKIPIF 1 < 0 .兩位同學(xué)的高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小紅和小明同學(xué)誰的盈利多？請說明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）小明的盈利多，理由見解析.
【詳解】（1）設(shè)這個小球掉入5號球槽為事件 SKIPIF 1 < 0 ，掉入5號球槽，需要向右4次向左2次，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以這個小球掉入5號球槽的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）小紅的收益計算如下：每一次游戲中， SKIPIF 1 < 0 的可能取值為0，4，8，12.
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
一次游戲付出的獎金 SKIPIF 1 < 0 ，則小紅的收益為 SKIPIF 1 < 0 .
小明的收益計算如下：每一次游戲中， SKIPIF 1 < 0 的可能取值為0，1，4，9.
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
一次游戲付出的獎金 SKIPIF 1 < 0 ，則小明的收益為 SKIPIF 1 < 0 .
顯然， SKIPIF 1 < 0 ，所以小明的盈利多.
13．（2022·湖北黃石·?？寄M預(yù)測）第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ (單位:g )服從正態(tài)分布N (270， SKIPIF 1 < 0 ).比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進(jìn)行11場比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規(guī)則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分，負(fù)隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分.已知第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設(shè)每局比賽中國隊取勝的概率為p(0

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