命題趨勢
本部分主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的簡單運用多在選擇題、填空題當(dāng)中考查，當(dāng)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等交匯命題是高考的熱點和難點．
考點清單
1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即．
（1）曲線在點的切線的方程為．
（2）過點作曲線的切線，點不一定是切點，于是對應(yīng)切線的斜率也不一定是．
切點不確定時，一般先設(shè)切點坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，寫出切線方程后，再利用條件來確定切點坐標(biāo)，
從而得到切線的方程．
2．單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．
設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．
（1）如果在內(nèi)，恒有，則在此區(qū)間是增函數(shù)；
（2）如果在內(nèi)，恒有，則在此區(qū)間是減函數(shù)；
（3）如果在內(nèi)，恒有，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．
3．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟．
（1）確定定義域（易錯點：漏寫定義域）；
（2）求導(dǎo)函數(shù)；
（3）解（或），得到單調(diào)遞增（減）區(qū)間；
（4）在定義域范圍內(nèi)取補集，得到減（增）區(qū)間．
4．極值的定義．
（1）函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近的函數(shù)值都小，則把叫做的極小值點，叫做的極小值．
若在點處可導(dǎo)，是其導(dǎo)數(shù)，就可以用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在極小值點附近的特征：；
而且在點附近的左側(cè)，右側(cè)．
（2）函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近的函數(shù)值都大，則把叫做的極大值點，叫做的極大值．
若在點處可導(dǎo)，是其導(dǎo)數(shù)，就可以用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在極大值點附近的特征：；
而且在點附近的左側(cè)，右側(cè)．
注意：極值點指的取值，極值指相應(yīng)的的取值．
5．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）畫表判斷函數(shù)的極值．
6．求函數(shù)在區(qū)間上的最值得一般步驟．
（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；
（2）比較函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
精題集訓(xùn)
（70分鐘）
經(jīng)典訓(xùn)練題
一、選擇題．
1．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與y軸交于點，則切點的縱坐標(biāo)
為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【解析】因為，所以，，
所以切點為，
切線方程為，
令，則，所以，解得，
所以切點的縱坐標(biāo)為，故選C．
【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵點是求出切線方程得到參數(shù)a的值，考查了學(xué)生的計算能力．
2．已知直線和曲線相切，則的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設(shè)切點是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，則以P為切點的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為該切線過原點，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且，故選A．
【點評】本題考了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．
3．若直線與曲線和圓 SKIPIF 1 < 0 都相切，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：設(shè)曲線的切點，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得點處的切線斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切線方程 SKIPIF 1 < 0 ，即，
因為切線也與圓 SKIPIF 1 < 0 相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得或（舍去），
所以切線方程為，故選A．
法二：畫出曲線和圓 SKIPIF 1 < 0 的圖形如下：
結(jié)合圖形可得要使直線與曲線和圓 SKIPIF 1 < 0 都相切，
則直線，橫截距，縱截距，B，C，D均不符合，故選A．
【點評】若已知曲線過點，求曲線過點的切線方程的方法：
（1）當(dāng)點是切點時，切線方程為．
（2）當(dāng)點不是切點時，可分以下幾步完成：
第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)；
第二步：寫出過點的切線方程；
第三步：將點的坐標(biāo)代入切線方程求出；
第四步：將的值代入方程可得過點的切線方程．
4．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．2C．2020D．2021
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選B．
【點評】本題考查函數(shù)的對稱性和求導(dǎo)函數(shù)以及求導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，解答本題的關(guān)鍵是由解析式求得，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到，考查計算能力，屬于中檔題．
二、填空題．
5．設(shè)曲線上任意一點的切線為，若的傾斜角的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù)________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】，，
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時等號成立，
的傾斜角的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，解題的關(guān)系是求出導(dǎo)數(shù)的最小值，得出最小值為1，即可求解．
三、解答題．
6．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若關(guān)于的不等式 SKIPIF 1 < 0 在上有解，求的取值范圍．
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；（2）．
【解析】（1）由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，
令，當(dāng)時，恒成立，
∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減．
（2）因為 SKIPIF 1 < 0
，
由題意知，存在，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
即存在，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①當(dāng)時，對任意，都有，
∴函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在上單調(diào)遞減，
成立，解得，；
②當(dāng)時，令，解得；令，解得，
∴函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又 SKIPIF 1 < 0 ，，解得無解；
③當(dāng)時，對任意的，都有，
∴函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 ，不符合題意，舍去，
綜上所述，的取值范圍為．
【點評】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進而可求出結(jié)果；有時也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果．
7．已知實數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)時，對任意的，，故在上單調(diào)遞增；
若，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）證明：由題意，該不等式等價于，即，
又可化為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
故所證不等式等價為證明不等式，
構(gòu)造函數(shù)，則．
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，故原不等式得證．
【點評】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．
8．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求的單調(diào)性；
（2）若對于任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【解析】（1）
令在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，，在上單調(diào)遞增．
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
，
令
∴ SKIPIF 1 < 0 在上遞增，∴，
當(dāng)時，，∴，單調(diào)遞增，
∴，滿足題意；
當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
又，此時，不合題意，
綜上可得．
【點評】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究不等式恒成立問題．不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，由最值滿足的不等關(guān)系得出結(jié)論．
9．設(shè)函數(shù) ()．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）極小值為0，無極大值；（2）見解析；（3）證明見解析．
【解析】（1）的定義域為，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
若，則；若，則，
在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，，沒有極大值．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
①當(dāng)時，若，則；若，則，
在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即時，若，則 SKIPIF 1 < 0 或；
若，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 ，上單調(diào)遞增；
③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；
④當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即時，若，則或 SKIPIF 1 < 0 ；
若，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
綜上所述：①當(dāng)時，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
④當(dāng)時，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（3）由（1）知在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，
時，，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
將以上各式左右兩邊相加得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點評】本題第三問關(guān)鍵是聯(lián)系到在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，
再從不等式的結(jié)構(gòu)和對數(shù)的運算，想到構(gòu)造 SKIPIF 1 < 0 求解．
高頻易錯題
一、選擇題．
1．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的導(dǎo)函數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的圖象如圖所示，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得： SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
排除選項A、B，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 先正后負，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 先增后減，
因選項C是先減后增再減，故排除選項C，
故選D．
【點評】本題主要考了的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但注意題目給的圖象是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象，
屬于基礎(chǔ)題．
二、解答題．
2．己知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，證明： SKIPIF 1 < 0 有一個極大值點和一個極小值點．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）證明見解析．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 在R上是減函數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故m的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零點，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有一個零點，設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有零點，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有一個零點，設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的極小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的極大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 有一個極大值點和一個極小值點．
【點評】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值的方法，并靈活應(yīng)用，若已知函數(shù)單調(diào)遞減，則 SKIPIF 1 < 0 ；若已知函數(shù)單調(diào)遞增，則 SKIPIF 1 < 0 ，考查分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題．
3．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求曲線 SKIPIF 1 < 0 在點 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)區(qū)間；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 恰有兩個零點，求實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案不唯一，見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲線在點 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因為 SKIPIF 1 < 0 ，定義域為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的變化情況如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞減；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的變化情況如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞減；
③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
④當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的變化情況如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞減．
（3）由（2）可知：
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
（i）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至多有一個零點，不符合題意；
（ii）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)有唯一零點．
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)有唯一零點，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 恰有兩個零點．
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞減，
因為當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得極大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至多有一個零點，不符合題意；
③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至多有一個零點，不符合題意；
④當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)單調(diào)遞減．
因為當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得極大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上至多有一個零點，不符合題意，
綜上所述，實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ．
【點評】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
精準(zhǔn)預(yù)測題
一、選擇題．
1．（多選）下列曲線中，與直線 SKIPIF 1 < 0 相切的是（ ）
A．曲線 SKIPIF 1 < 0 B．曲線 SKIPIF 1 < 0
C．曲線 SKIPIF 1 < 0 D．曲線 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】對A，將直線 SKIPIF 1 < 0 代入曲線 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，則直線與曲線相切，故A正確；
對B，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為2，對 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，代入直線可得切點為 SKIPIF 1 < 0 ，滿足在 SKIPIF 1 < 0 上，故直線與曲線相切，
故B正確；
對C， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線為 SKIPIF 1 < 0 ，和直線 SKIPIF 1 < 0 平行，
故直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相交于一點，故不相切，故C錯誤；
對D，又 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或1．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，代入直線可得切點 SKIPIF 1 < 0 ，不滿足在曲線上；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，代入直線可得切點為 SKIPIF 1 < 0 ，滿足在曲線上，故直線與曲線相切，故D正確，
故選ABD．
【點評】本題考查判定直線與曲線是否相切，一般采用的方法為，若曲線是橢圓、雙曲線或拋物線，可聯(lián)立直線與曲線方程，利用判別式判斷；若曲線是函數(shù)曲線，則可通過求導(dǎo)進行判斷．
2．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．有且只有一個極值點B．設(shè)，則與的單調(diào)性相同
C．有且只有兩個零點D．在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【解析】由題知，，，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有且只有一個極值點，故A正確；
因為，所以，
所以，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故的一個極值點為，
所以與的單調(diào)性不相同，故B錯誤；
因為有且只有一個極值點， SKIPIF 1 < 0 ，且，
所以在和上各有一個零點，所以有且只有兩個零點，故C正確；
因為與在 SKIPIF 1 < 0 上都是單調(diào)遞增，所以在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，D正確，
故選ACD．
【點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
二、填空題．
3．中，角、、所對的邊分別為、、，若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有極值點，則角的范圍是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因為函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
所以導(dǎo)函數(shù)，
因為函數(shù)有極值點，所以，即，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
因為，所以角的范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點評】本題考查導(dǎo)函數(shù)與余弦定理的綜合應(yīng)用，能否根據(jù)函數(shù)有極值得出是解決本題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
三、解答題．
4．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)單調(diào)性；
（2） SKIPIF 1 < 0 是的導(dǎo)數(shù)，，求證：函數(shù)存在三個零點．
【答案】（1）在和上是遞增，在上是遞減；（2）證明見解析．
【解析】（1）因為，
由，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值正負和函數(shù)單調(diào)性隨x的變化情況如下表：
所以在和上是遞增的，在上是遞減的．
（2）證明：由（1）知在上單調(diào)遞減，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且，
因為
所以，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則，
的取值正負和函數(shù)單調(diào)性隨x的變化情況如下表：
所以在 SKIPIF 1 < 0 與上是單調(diào)遞增的，在上是單調(diào)遞減的．
又因為，，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又時，時，，
所以在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上各有一個零點，且最多三個零點，
故函數(shù)恰有三個零點．
【點評】利用導(dǎo)數(shù)列表求出的單調(diào)性及極值，分析函數(shù)圖象的變化趨勢，利用與的正負，
由零點存在性定理可判斷零點個數(shù)．
5．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，．
∴．
①當(dāng)時，令，得，∴在上單調(diào)遞減；
令，得，∴在上單調(diào)遞增．
②當(dāng)時，令，得，∴在上單調(diào)遞減；
令，得或，∴在和上單調(diào)遞增．
③當(dāng)時，在時恒成立，∴在單調(diào)遞增．
④當(dāng)時，令，得，∴在上單調(diào)遞減；
令，得 SKIPIF 1 < 0 或，∴在和上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．
（2）不等式 SKIPIF 1 < 0 ，等價于．
①當(dāng)時，，則；
②當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，，此時單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，，此時單調(diào)遞增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
③當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，
∴，∴，
綜上，的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點評】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：
（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；
（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；
（3）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式成立，試求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）證明見解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得不等式成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，，故在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
SKIPIF 1 < 0 ，故在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
因此，當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
實數(shù)m的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，要證 SKIPIF 1 < 0 ，只需證 SKIPIF 1 < 0 ，
即證 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，只需證 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)時，， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，且最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則，
即，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角函數(shù)的有界性，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又當(dāng)時，；
當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 成立．
【點評】本題解題的關(guān)鍵是利用等價轉(zhuǎn)換的思想去思考問題，將復(fù)雜問題簡單化．
7．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在的單調(diào)性；
（2）當(dāng)且 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，求函數(shù)在上的最小值；
（3）當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 有兩個零點，，且，求證：．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 在上單調(diào)遞增；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）證明見解析．
【解析】（1）當(dāng)時，，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)，在上單調(diào)遞減，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在處取得最小值，即 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)時，令 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，，
此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得最小值，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所得 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）當(dāng)時， SKIPIF 1 < 0 ，
∵，是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的兩個零點，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相減，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值和不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬難題．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
最大值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
極大值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
極小值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
極大值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
極小值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
極大值
極小值
SKIPIF 1 < 0
0
0
極大值
極小值

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題四 函數(shù)（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題四 函數(shù)（含解析），共15頁。試卷主要包含了常見函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的對稱性，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的零點問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題十 解析幾何（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題十 解析幾何（含解析），共42頁。試卷主要包含了圓錐曲線的考查主要為兩種，圓錐曲線及其性質(zhì)，圓錐曲線的綜合問題，已知圓等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題七 數(shù)列（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題七 數(shù)列（含解析），共17頁。試卷主要包含了相關(guān)公式，判斷等差數(shù)列的方法，判斷等比數(shù)列的常用方法，等差數(shù)列中，已知，，求等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題九 統(tǒng)計概率（含解析）

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺精品專題九 統(tǒng)計概率（含解析）
高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺訓(xùn)練03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺訓(xùn)練03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）
新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題突破練習(xí)專題06 導(dǎo)數(shù)（解析版）

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題突破練習(xí)專題06 導(dǎo)數(shù)（解析版）
2021年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含解析

2021年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部