?專題06 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用
解析幾何一般作為解答題21題或者是22題形式出現(xiàn)。一般作為壓軸題或者是次壓軸題出現(xiàn)，難度較大。
1 極值點偏移，拐點偏移
2 函數(shù)放縮問題
3 端點效應(yīng)問題
4 隱零點問題
5 同構(gòu)問題
6 雙變量恒成立使成立問題
7 與三角函數(shù)知識交叉問題
8 新定義問題


題型一：極值點偏移，拐點偏移問題


1 已知函數(shù).
(I)若為上的增函數(shù),求的取值范圍;
(II)若,且,證明:.（拐點偏移）
【解析】(I),若在上為增函數(shù),則恒成立,即恒成立,設(shè),則,
當時,,當時,,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
,故,
實數(shù)的取值范圍為;
(II)證明:若,由(I)知在上單調(diào)遞增,由于,已知,不妨設(shè),
設(shè)函數(shù),則
,則
,
設(shè),則,
由于,故在上為增函數(shù),
.
在上為減函數(shù),
,
,
而在上為增函數(shù),
,故,從而,即.

題型二：函數(shù)放縮問題
1 已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當時，證明：對任意的，
【解析】（1）由題意，的定義域為，且，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）要證，只需證，即證，
也即，設(shè)，則，
所以，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，即，故當時，，
設(shè)，則，
所以，
故在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，
又，所以有2個零點和1，其中，
且當時，，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
結(jié)合知恒成立，從而，
所以當時，對任意的恒成立.


1 已知函數(shù).
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若，證明：當時，
【解析】（1）若，則，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）若，則當時，，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，注意到，
故當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
即，兩個不等號取等號的條件分別是和，等號不能同時成立，
所以當時，對任意的恒成立.

題型三：端點效應(yīng)問題
1 設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當時，；
（3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.
【解析】（1）由題意，的定義域為，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當時，要證，只需證，即證，也即，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
結(jié)合知恒成立，所以，故成立.
（3）解法1：由題意，等價于，
令，則恒成立，，
當時，，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知，即在上單調(diào)遞增，
又，所以當時，，從而，符合題意，
當時，，由（1）可得在上單調(diào)遞減，
又，所以當時，，另一方面，由（2）可得當時，恒成立，
從而當時，，不合題意，
當時，，故在上單調(diào)遞減，結(jié)合知，即，不合題意，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

1 設(shè)函數(shù).
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當時，，求的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
當時，，當時，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）當時，，設(shè)，
則，由（1）可得，所以，故在上單調(diào)遞增，
又，所以恒成立，從而，符合題意，
當時，，因為，所以，
從而當時，，所以在上單調(diào)遞減，
而，所以當時，，故在上單調(diào)遞減，
又，所以當時，，故在上不能恒成立，不合題意，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

題型四：隱零點問題
．已知函數(shù)
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果，是曲線上的任意一點，若以，為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；
（3）討論關(guān)于的方程的實根的個數(shù)情況．
【解析】解：（1）當時，，定義域為，
則
令，得，由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意，，
以，為切點的切線的斜率滿足，
所以對恒成立．
又當時，，所以的最小值為
（3）由題意，方程化簡得
，，
令，則．
當時，，當時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
所以在處取得極大值，即最大值，最大值為
（1）
所以當時，即時，的圖象與軸恰有兩個交點，
方程有兩個實根；
當時，的圖象與軸恰有一個交點，
方程有一個實根；
當時，的圖象與軸無交點，
方程無實根．

1已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有且僅有3個零點，求的取值范圍．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】解：（1）的定義域為，且，
①若，則，當時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
②若，當時，，
當時，，
當時，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
③若，則，
所以在上單調(diào)遞減，
④若，當時，，
當時，，
當時，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上所述：若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若，在上單調(diào)遞減，
若，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）令，則，
所以依題意可得函數(shù)與的圖像有3個不同的交點，
由（1）知必有或，
①當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極大值為（1），
的極大值為（1），的極小值為（a），
又（a），
所以函數(shù)與的圖像至多有1個交點，不合題意，
②當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極小值為（1），的極大值為（a），
所以必須有成立，
因為，所以，
所以，
所以，
下面求不等式的解集，
令，則不等式等價于，
令函數(shù)，
則，
令，有，
函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又（2），所以，
即恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞減，
又（2），
所以當且僅當時，，
所以不等式的解集為，
即不等式的解集為．
所以的取值范圍為．
類型五 同構(gòu)問題
同構(gòu)法的三種基本模式
1.乘積型：將兩個式子分別同構(gòu)變形成幾個數(shù)的乘積，或者將等式（不等式）兩邊同構(gòu)變形成幾個數(shù)的積；
2.比商型：將兩個式子分別同構(gòu)變形成兩個數(shù)的商，或者將等式（不等式）兩邊同構(gòu)變形成幾個數(shù)的商；
3.和差型：將兩個式子分別同構(gòu)變形成幾個數(shù)的和與差，或者將等式（不等式）兩邊同構(gòu)變形成幾個數(shù)的和與差.
三、常用的同構(gòu)變形
1.對數(shù)恒等式（黃金變換）：
，特別的；
2.常見變形（利用對數(shù)恒等式變形而來）
，，，，…，
，，，
，，
.

1 （2022 武漢二調(diào)?22）已知函數(shù)，
，其中.
（1）當時，求的值；
（2）討論的零點.
解：（1）略；
（2）由得（觀察的形式進行同構(gòu)變形），
即，即，
當時，，則，函數(shù)遞減，
當時，，則，函數(shù)遞增，
而，所以或（不能同時滿足），
顯然方程有一個解，
由得，設(shè)（），則，
當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最小值，于是
當時，函數(shù)有一個零點；當時，函數(shù)有二個零點；當時，函數(shù)有三個零點.


（2022湖北八市3月聯(lián)考22）設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底）.
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）當時，求（），則
（以下略）；
（2）∵，∴，
由題意可知，即在上恒成立，
由得，故，即，
不等式等價于，
即，
設(shè)，即，
顯然在上單調(diào)遞增，故問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，
即，，，
設(shè)（），則，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

類型六 雙變量恒成立使成立問題
已知．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，，，求證：．
【解析】（1）解：函數(shù)的定義域為，
因為恒成立，
所以函數(shù)在為減函數(shù)，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）證明：不妨設(shè)，
先證，只要證，即證，
即證，令，，則需證，
由（1）知，在為減函數(shù)，
當時，，又（1），
所以，即得證；
下面再證，即證，
令，，只要證，，
令，，則恒成立，故在為減函數(shù)，
所以（1），則，
所以成立．綜上所述，．

已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）若，求在區(qū)間，上的最小值；
（3）若函數(shù)有兩個極值點，，求證：．
【解析】解：（1）當時，，，
（1），（1），
曲線在，（1）處的切線方程為；
（2）時，，，
，
當時，，
在，增，最小值為；
當時，令，解得：，令，解得：，
在，減，，增，最小值為．
證明：（3），函數(shù)有兩個極值點、，
即有兩個不同的實根，
當時，單調(diào)遞增，不可能有兩個不同的實根；
當時，設(shè)，，
若時，，單調(diào)遞增，
若時，，單調(diào)遞減，
，
．
不妨設(shè)，
，
，，，
先證，即證，
即證
令，即證
設(shè)，則
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
（1），
，
又，
．


類型七 與三角函數(shù)知識交叉問題
1 已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).
（1）當時，求的最小值；
（2）當時，恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，當時，，所以，從而在上單調(diào)遞增，故的最小值為.
（2）當時，成立，
當時，等價于（1），
當時，等價于（2），
設(shè)，則，
當時，設(shè)，則，
當時，由（1）可得，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，
而在上，，從而，滿足（1），
當時，，
易得在上為增函數(shù)，，
所以在上有一個零點，當時，；當時，，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，
所以在上有一個零點，且當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，
所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
又，所以在恒成立，從而，滿足（2），所以當時，滿足題意，
當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以在上有一個零點，且當時，，從而在上單調(diào)遞減，
又，所以當時，，不滿足（1），不合題意，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.


1．已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)對任意的，都有，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）當時，，則．
所以，，
故所求切線方程為，即．
（2）設(shè)，
則．
因為，所以至少滿足，即．
設(shè)．
因為，，所以在上單調(diào)遞增，
所以．
設(shè)，
則．
因為，所以，，
則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
所以，即對任意，都有．
故a的取值范圍為．


類型八 新定義問題
1 若函數(shù)同時滿足下列兩個條件，則稱在上具有性質(zhì)．
①在上的導(dǎo)數(shù)存在；
②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由．
(2)設(shè)、均為實常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(3)設(shè)且，對于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；
(2)存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；
(3)的最大值為.

【詳解】（1）令，，
則，，
，，
當時，恒成立，
∴函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；
（2）∵，∴，
∵在處取得極值，且為奇函數(shù)，∴在處也取得極值，
∴，解得，∴， ，
當時，令，解得；令，解得；
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足在處取得極值，
∴，當時，恒成立，
∴存在實數(shù)，使在區(qū)間上恒成立，
∴存在實數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；
（3）∵，∴，
令， 則，
令，則，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又∵，，
∴存在，使，∴當時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴當時，的最小值為，
由，有，∴，
∵，∴，又∵恒成立，
∴，∵且，∴的最大值為.

1．對于函數(shù)f（x），若存在實數(shù)滿足，則稱為函數(shù)f（x）的一個不動點.已知函數(shù)，其中
(1)當時，
（i）求f（x）的極值點；
（ii）若存在既是f（x）的極值點，又是f（x）的不動點，求b的值：
(2)若f（x）有兩個相異的極值點，，試問：是否存在a，b使得，均為f（x）的不動點？證明你的結(jié)論.
【答案】(1)（i）當時，沒有極值點；當時，的極大值點為，極小值點為.（ii）.(2)不存在，證明見解析
(1)（i）當時，，.
當時，恒成立，在上遞增，沒有極值點.
當時，令解得，
則在區(qū)間遞增；
在區(qū)間遞減，
所以的極大值點為，極小值點為.
（ii）若是的極值點，又是的不動點，
則，即，
即，代入得 ，
，，
，，
，所以，則
(2)
，，
有兩個相異的極值點，也即有兩個不同的零點，
所以①，.
依題意，若是的不動點，
則，兩式相減得，
，
，
，，這與①矛盾，
所以不存在符合題意的.


一、解答題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)求證：；
(3)設(shè)函數(shù)的兩個零點、，求證：.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析

【詳解】（1）解：由可得，可得，
令，其中，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，；
（2）解：要證，即證，
由（1）可知，，當且僅當時，等號成立，
令，其中，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
因為和取等的條件不同，故，即；
（3）解：由題知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨設(shè)，記.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，則，即，
所以.
因為
，
所以，即.
令，，則在上單調(diào)遞增.
又，
所以，即，所以.

2．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都存在個不同的實數(shù)，，…，，使得（其中，為正整數(shù)），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.
(1)是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請說明理由；
(2)求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；
(3)已知，，若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)的范圍.
【答案】(1)否，理由見解析；
(2)證明見解析；
(3).

【詳解】（1）由題可得，注意到方程在時只有一個根0，則當，存在唯一，使得，故不是的“2重覆蓋函數(shù)”；
（2）.
當時，，則此時；
當時，，則此時，則.
當時，函數(shù)單調(diào)遞減，且 .則對于，，，
使得（其中）.
又使得.則任意的都存在4個不同的實數(shù)，，，，使得，即是的“4重覆蓋函數(shù)”；
（3）因，則.
得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則.又時，，
則.若為的“3重覆蓋函數(shù)”，則，方程總有3個根.但二次方程最多有2個實數(shù)根，故相應(yīng)的實數(shù)的范圍為空集.

3．（2023·四川涼山·二模）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析

【分析】對求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分，和討論的單調(diào)性，知當時，函數(shù)有兩個不同的極值點，要證，即證，比值代換法令可轉(zhuǎn)化成，研究的單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）或
∴的單調(diào)減區(qū)間為；
，∴的單調(diào)減區(qū)間為
（2）當時，∴單調(diào)遞減，無極值點，不滿足條件．
當時，，
，∴單調(diào)遞減，無極值點，不滿足條件．
當時，，
即的兩根為．由韋達定理得，
∵，∴，滿足條件.
要證，即證，
即證
令則只需證

∴在單增，得證

4．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足恒成立.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，求在上的零點個數(shù)；
(3)在（2）的條件下，設(shè)在上最小的零點為，若且，求證：.
【答案】(1)(2)(3)證明見解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，可得出，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可知函數(shù)在上存在唯一零點，再由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱可知函數(shù)在上也存在一個零點，綜合可得出結(jié)論；
（3）分析可知且，根據(jù)（1）中的結(jié)論且，所以，可得出，即，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）因為，則函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，
設(shè)，則.
因為，所以，在單調(diào)遞減.
又，，
所以存在唯一的，使得，解得.
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
所以.
所以，解得，所以.即，解得.
（2），則，
由（1）可知，設(shè)，
所以，
設(shè)，，
所以.
因為，所以，則在單調(diào)遞增.
所以.
由（1）可知時，.
所以.所以在上單調(diào)遞減.
所以當，即時，.
所以在上單調(diào)遞增.
因為，，
所以在存在唯一零點.
又由可知圖形關(guān)于直線軸對稱，
故在也存在唯一零點.
所以在上的零點個數(shù)為.
（3）因為，整理可得且.
因為時，；當時，，當時，，
所以且，所以.
所以，所以，所以.
由（1）可知在單調(diào)遞增，所以，即.

5．（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，且對于任意，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
(3)令，若至少存在一個實數(shù)，使成立，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)

【詳解】（1）若，則，可得，
令，解得，
則，；，；
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）則，可得，
令，解得，
則，；，；
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當，即時，在上單調(diào)遞增，
則，即符合題意；
當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，解得；
綜上所述：實數(shù)k的取值范圍為.
（3）若，則，可得，
故原題意等價于至少存在一個實數(shù)，使成立，
構(gòu)建，則對恒成立，
故在上單調(diào)遞增，則，
可得，
故實數(shù)k的取值范圍為,
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若在上的最大值為，求實數(shù)的值.
(2)若存在兩個零點，.
①求實數(shù)的取值范圍；
②證明：.
【答案】(1)(2)①；②證明見解析
【詳解】（1）設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當時，.
易知，
令，則.
設(shè)，則，
若，則當時，，單調(diào)遞增，無最大值，
即在上無最大值，不合題意；
若，令，得，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減，
所以當時，，
所以，解得.故實數(shù)的值為.
（2）①由（1）知，在上單調(diào)遞增，
所以存在兩個零點，等價于在上存在兩個零點，，其中，.若，則，在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不合題意；
若，令得，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
要使存在兩個零點，則，解得.
當時，，
設(shè)，，
因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，
又，所以在和上各存在一個零點.
所以實數(shù)的取值范圍是.
②由①知，
要證，只需證，只需證，只需證，只需證.
不妨設(shè)，則，，，
故只需證.
設(shè)，，
因為，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，則，所以.

7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(1)求的最大值；
(2)證明：當時，在上僅有一個零點.
【答案】(1)1(2)證明見解析
【詳解】（1）當時，
由題可得，當時，恒成立，
即當時，恒成立，
因為當時，，所以，故的最大值為1.
（2）當時，，
因為在上單調(diào)遞增，且當時，
，
所以當時，即，
即，
令，則在上的零點即的零點，
令，則，
令，則，
當時，，單調(diào)遞增，
因為，，所以存在，使得，
所以當時，，單調(diào)遞減，，
當時，，單調(diào)遞增，
又，故存在唯一的，使得，
所以當時，，單調(diào)遞減，，
當時，，單調(diào)遞增，
又，故存在唯一的，使得，
即在上僅有一個零點.

8．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，
（i）求的極值.
（ii）設(shè)，證明：.
(2)證明：當時，有唯一的極小值點，且.
【答案】(1)（i）的極小值為無極大值；（ii）證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）（i）若，則，
由，得.
當時，；當時，.
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
故的極小值為無極大值.
（ii）由（i）可知，的極值點為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，又，
不妨設(shè)，則若，則，
設(shè)，則.
設(shè)，則為增函數(shù)，則.
，則在上為增函數(shù)，，
即.
，又在上單調(diào)遞減，
，即.
（2），記，，
記，當時，，
當在單調(diào)遞減，
當在單調(diào)遞增，
，
在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，
，
使，
當在單調(diào)遞減，
當在單調(diào)遞增，
所以當時，有唯一的極小值點，且


令，

在單調(diào)遞減，
即.

9．（2023春·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明：函數(shù)有且只有一個零點；
(2)設(shè)，，若是函數(shù)的兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍，并證明.
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可證明結(jié)論；
（2）求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可知是導(dǎo)函數(shù)等于0時即的兩個不同實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的分布，列出不等式組，求得實數(shù)的取值范圍；由是方程的兩根，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合的表達式化簡求值，可證明結(jié)論.
【詳解】（1）證明：由題意知函數(shù)的定義域為，
對任意恒成立，
當且僅當時，，
所以在上單調(diào)遞增；
又，所以函數(shù)在定義域上有且僅有1個零點.
（2）因為，
所以.
由題意知是方程在內(nèi)的兩個不同的實數(shù)解，
令，
又，且函數(shù)圖像的對稱軸為直線，
所以只需，
解得，即實數(shù)的取值范圍為.
由是方程的兩根，
得，，?????????
故
，
又，
所以.


一、解答題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
當時,,所以切點為,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
（2）
設(shè)
若,當,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當,則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若(1)當,則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增
所以當,
令則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當
設(shè)

所以在單調(diào)遞增

所以存在,使得
當單調(diào)遞減
當單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減，
當，，
又，
而,所以當
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為


2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．
【答案】(1)(2)見解析
【詳解】（1）的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故.
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).
設(shè)，，
當時，，當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.
設(shè)，，
當時，，當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.
當，由（1）討論可得、僅有一個解，
當時，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
則.
設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故上有且只有一個零點，且：
當時，即即，
當時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
故，
此時有兩個不同的根，
此時有兩個不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
①時，此時，顯然與兩條曲線和
共有0個交點，不符合題意；
②時，此時，
故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；
③時，首先，證明與曲線有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為
其次，證明與曲線和有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為
再次，證明存在b，使得
因為，所以，
若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點，
因為，，
所以在上存在零點，取一零點為，令即可，
此時取
則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，
最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列，
因為
所以，
又因為在上單調(diào)遞減，，即，所以，
同理，因為，
又因為在上單調(diào)遞增，即，，所以，
又因為，所以，
即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.



3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當時，有，????
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.

4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見解析

【詳解】（1）解：因為，所以，
即切點坐標為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）解：因為，????
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
（3）解：原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因為，
∴，所以命題得證.

5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點，
（i）當時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析

【分析】（1）求出可求切線方程；
（2）（i）當時，曲線和有公共點即為在上有零點，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點存在定理可求.
（ii）曲線和有公共點即，利用點到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.
【詳解】（1），故，而，
曲線在點處的切線方程為即.
（2）（i）當時，
因為曲線和有公共點，故有解，
設(shè)，故，故在上有解，
設(shè)，故在上有零點，
而，
若，則恒成立，此時在上無零點，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無零點，
故，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點，
且時，；時，；
故時，；時，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因為在上有零點，故，故，
而，故即，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因為曲線和有公共點，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點與直線上的動點之間的距離，
故，所以，
下證：對任意，總有，
證明：當時，有，故成立.
當時，即證，
設(shè)，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當時，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.

6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br /> 于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結(jié)論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.

7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當時，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.



，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當時，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
當時，構(gòu)造函數(shù)，則，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當時，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.



，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
8．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；
（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當時，，則，，，
此時，曲線在點處的切線方程為，即；
（2）因為，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：













增
極大值
減
極小值
增

所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當時，；當時，.
所以，，.

9．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；
（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當a=1時，由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.
【詳解】（1），，.
，∴切點坐標為(1,1+e),
∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,
切線與坐標軸交點坐標分別為,
∴所求三角形面積為．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
設(shè),則
∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當時，,∴,∴成立.
當時， ，，,
∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
當時， ∴不是恒成立.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).
［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)
由得，即，而，所以．
令，則，所以在R上單調(diào)遞增．
由，可知，所以，所以．
令，則．
所以當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減．
所以，則，即．
所以a的取值范圍為．
［方法三］：換元同構(gòu)
由題意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．
令，所以．
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．
所以當時，取得最大值為．所以．
［方法四］：
因為定義域為，且，所以，即．
令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以時，有，即．
下面證明當時，恒成立．
令，只需證當時，恒成立．
因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．
因此要證明時，恒成立，只需證明即可．
由，得．
上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．
當時，因為，顯然不滿足恒成立．
所以a的取值范圍為．
【整體點評】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；
方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；
方法三：通過先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可．



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