?山東省淄博市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）
一．分式的化簡求值（共1小題）
1．（2023?高青縣一模）先化簡，再求值：（）÷÷，其中x為不等式組的整數(shù)解．
二．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）
2．（2023?張店區(qū)一模）某商場將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺燈以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種臺燈銷售量持續(xù)增加，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到576個，設(shè)2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．
（1）求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；
（2）從4月份起，在3月份銷售量的基礎(chǔ)上，商場決定降價(jià)促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價(jià)每降價(jià)0.5元，其銷售量增加6個．若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4800元，則這種臺燈售價(jià)應(yīng)定為多少元？
三．解一元一次不等式組（共1小題）
3．（2023?張店區(qū)一模）解不等式組，并把解集在下面的數(shù)軸上表示出來．

四．一元一次不等式組的應(yīng)用（共1小題）
4．（2023?高青縣一模）五星電器店購進(jìn)電飯煲和電壓鍋兩種電器進(jìn)行銷售，其進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表：

進(jìn)價(jià)（元/臺）
售價(jià)（元/臺）
電飯煲
240
290
電壓鍋
200
260
（1）一季度，五星店購進(jìn)這兩種電器共40臺，用去了9000元，并且全部售完，問五星店在該買賣中購進(jìn)電飯煲和電壓鍋各多少臺？
（2）為了滿足市場需求，二季度五星店決定用不超過11000元的資金采購電飯煲和電壓鍋共50臺，且電飯煲的數(shù)量不少于電壓鍋的，問五星店有哪幾種進(jìn)貨方案？并說明理由；
（3）在（2）的條件下，請你通過計(jì)算判斷，哪種進(jìn)貨方案五星店賺錢最多？
五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共1小題）
5．（2023?張店區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)y＝第一象限的圖象上，將點(diǎn)A先向左平移5個單位長度，再向下平移m個單位長度后得到點(diǎn)C，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)y＝第三象限的圖象上，經(jīng)過O，C兩點(diǎn)的直線y＝k2x交反比例函數(shù)第一象限的圖象于點(diǎn)B．
（1）求反比例函數(shù)y＝和直線y＝k2x的表達(dá)式；
（2）連接AC，AB，求△ABC的面積；
（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式x的解集．

六．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
6．（2023?淄川區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）（其中m≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），如圖所示．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和拋物線的對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

7．（2023?周村區(qū)一模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，4），拋物線的對稱軸為x＝1，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）．
（1）求拋物線和直線AD的解析式；
（2）如圖Ⅰ，點(diǎn)Q是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AD，交BD于點(diǎn)E，連接DQ，求△QED面積的最大值；
（3）如圖Ⅱ，直線AD交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是拋物線對稱軸和拋物線上的點(diǎn)，若以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

8．（2023?高青縣一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C（0，12）兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x＝4．設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點(diǎn)D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個動點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個單位長度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN．在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動時(shí)間為t秒．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

七．平行四邊形的性質(zhì)（共1小題）
9．（2023?高青縣一模）在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長線于點(diǎn)F，連接AC．
（1）如圖1，若∠ADC＝90°，G是EF的中點(diǎn)，連接AG、CG．
①求證：BE＝BF．
②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若∠ADC＝60°，將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結(jié)論不必證明）

八．圓周角定理（共1小題）
10．（2023?沂源縣一模）如圖，點(diǎn)B，C為⊙O上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為⊙O上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC，交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，且AC平分∠BAD，連接CE．
（1）求證：AD∥EC；
（2）連接EA，若BC＝CD，試判斷四邊形EBCA的形狀，并說明理由．

九．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）
11．（2023?淄川區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，BD為直徑，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作BD的平行線，交AD的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE與⊙O相切；
（2）求證：BC2＝AB?DE．

12．（2023?張店區(qū)一模）如圖，等邊△ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，AE＝CF，連接AF，BE，相交于點(diǎn)P．
（1）求∠BPF的度數(shù)；
（2）求證：BP?BE＝BF?BC．

一十．方差（共1小題）
13．（2023?淄川區(qū)一模）隨著生活水平的提高，人們對空氣質(zhì)量的要求也越來越高，為了了解3月中旬某市城區(qū)的質(zhì)量情況，某校“綜合實(shí)踐環(huán)境調(diào)查小組”，從2345天氣預(yù)報(bào)網(wǎng)，抽取了朝陽區(qū)和南關(guān)區(qū)這兩個城區(qū)2022年3月11日到2022年3月20日的空氣質(zhì)量指數(shù)，作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，過程如下，請補(bǔ)充完整．
收集數(shù)據(jù)：
朝陽區(qū)
167
61
79
78
97
153
59
179
85
209
南關(guān)區(qū)
74
54
47
47
43
43
59
104
119
251
（備注：空氣質(zhì)量指數(shù)，簡稱AQI，是定期描述空氣質(zhì)量的數(shù)據(jù)）
整理、描述數(shù)據(jù)：
（1）按表整理、描述這兩個城區(qū)空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)：
空氣質(zhì)量
優(yōu)
良
輕度污染
中度污染
重度污染
朝陽區(qū)
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
南關(guān)區(qū)
4
3
2
0
1
（說明：空氣質(zhì)量指數(shù)≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕度污染；150＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤200時(shí)，空氣質(zhì)量為中度污染；200＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤300時(shí)，空氣質(zhì)量為重度污染）
分析數(shù)據(jù)：
（2）兩城區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如表：
城區(qū)
平均數(shù)
中位數(shù)
方差
朝陽區(qū)
116.7
91
2699.21
南關(guān)區(qū)
84.1
　 　
3723.89
（3）請將以上兩個表格補(bǔ)充完整得出結(jié)論可以推斷出哪個城區(qū)這十天中空氣質(zhì)量情況比較好？請至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性．

山東省淄博市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）
參考答案與試題解析
一．分式的化簡求值（共1小題）
1．（2023?高青縣一模）先化簡，再求值：（）÷÷，其中x為不等式組的整數(shù)解．
【答案】﹣，﹣．
【解答】解：（﹣x+3）÷
＝??
＝??
＝﹣??
＝﹣，
解不等式組得：﹣4＜x＜﹣1，
所以不等式組的整數(shù)解是﹣3，﹣2，
要使分式：（﹣x+3）÷有意義，x﹣3≠0且3x≠0且x+3≠0，
所以x不能為3、0、﹣3，
取x＝﹣2，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝﹣＝﹣．
二．一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）
2．（2023?張店區(qū)一模）某商場將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺燈以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種臺燈銷售量持續(xù)增加，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到576個，設(shè)2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．
（1）求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；
（2）從4月份起，在3月份銷售量的基礎(chǔ)上，商場決定降價(jià)促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價(jià)每降價(jià)0.5元，其銷售量增加6個．若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4800元，則這種臺燈售價(jià)應(yīng)定為多少元？
【答案】（1）20%；
（2）38元．
【解答】解：（1）設(shè)2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為x，
根據(jù)題意，得400（1+x）2＝576，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為20%；
（2）設(shè)這種臺燈售價(jià)應(yīng)定為m元，
根據(jù)題意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，
解得m1＝38，m2＝80，
∵售價(jià)在35元至40元范圍內(nèi)，
∴m＝38，
答：這種臺燈售價(jià)應(yīng)定為38元．
三．解一元一次不等式組（共1小題）
3．（2023?張店區(qū)一模）解不等式組，并把解集在下面的數(shù)軸上表示出來．

【答案】﹣1＜x≤5．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤5，
所以不等式組的解集為﹣1＜x≤5，
表示在數(shù)軸上，如圖所示：

四．一元一次不等式組的應(yīng)用（共1小題）
4．（2023?高青縣一模）五星電器店購進(jìn)電飯煲和電壓鍋兩種電器進(jìn)行銷售，其進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表：

進(jìn)價(jià)（元/臺）
售價(jià)（元/臺）
電飯煲
240
290
電壓鍋
200
260
（1）一季度，五星店購進(jìn)這兩種電器共40臺，用去了9000元，并且全部售完，問五星店在該買賣中購進(jìn)電飯煲和電壓鍋各多少臺？
（2）為了滿足市場需求，二季度五星店決定用不超過11000元的資金采購電飯煲和電壓鍋共50臺，且電飯煲的數(shù)量不少于電壓鍋的，問五星店有哪幾種進(jìn)貨方案？并說明理由；
（3）在（2）的條件下，請你通過計(jì)算判斷，哪種進(jìn)貨方案五星店賺錢最多？
【答案】（1）購進(jìn)電飯煲25臺，電壓鍋15臺；
（2）有三種方案：①購買電飯煲23臺，購買電壓鍋27臺；②購買電飯煲24臺，購買電壓鍋26臺；③購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺；
（3）購進(jìn)電飯煲23臺，電壓鍋各27臺時(shí)，五星店賺錢最多．
【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)電飯煲x臺，電壓鍋y臺，根據(jù)題意得：，
解得：，
答：五星店在該買賣中購進(jìn)電飯煲25臺，電壓鍋15臺；
（2）設(shè)購進(jìn)電飯煲a臺，則電壓鍋（50﹣a）臺，
根據(jù)題意得：，
解得：，
又a為正整數(shù)，
∴a可取23，24，25，
∴有三種方案：
①購買電飯煲23臺，購買電壓鍋27臺；
②購買電飯煲24臺，購買電壓鍋26臺；
③購買電飯煲25臺，購買電壓鍋25臺；
（3）設(shè)五星店賺錢數(shù)額為w元，
當(dāng)a＝23時(shí)，w＝23×（290﹣240）+27×（260﹣200）＝2770；
當(dāng)a＝24時(shí)，w＝24×（290﹣240）+26×（260﹣200）＝2760；
當(dāng)a＝25時(shí)，w＝25×（290﹣240）+25×（260﹣200）＝2750；
綜上所述，當(dāng)a＝23時(shí)，w最大，
即購進(jìn)電飯煲23臺，電壓鍋各27臺時(shí)，五星店賺錢最多．
五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共1小題）
5．（2023?張店區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)y＝第一象限的圖象上，將點(diǎn)A先向左平移5個單位長度，再向下平移m個單位長度后得到點(diǎn)C，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)y＝第三象限的圖象上，經(jīng)過O，C兩點(diǎn)的直線y＝k2x交反比例函數(shù)第一象限的圖象于點(diǎn)B．
（1）求反比例函數(shù)y＝和直線y＝k2x的表達(dá)式；
（2）連接AC，AB，求△ABC的面積；
（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式x的解集．

【答案】（1）反比例函數(shù)為y＝，直線y＝k2x的表達(dá)式為y＝x；
（2）15；
（3）x＜﹣4或0＜x＜4．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)y＝第一象限的圖象上，
∴k1＝1×4＝4，
∴反比例函數(shù)為y＝，
將點(diǎn)A先向左平移5個單位長度，再向下平移m個單位長度后得到點(diǎn)C（﹣4，4﹣m），
∵點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)y＝第三象限的圖象上，
∴4﹣m＝，
∴m＝5，
∴C（﹣4，﹣1），
代入y＝k2x得﹣1＝﹣4k2，
∴，
∴直線y＝k2x的表達(dá)式為y＝x；
（2）作AM⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，則D（1，），
∴AD＝4﹣＝，
∵點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴B（4，1），
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝＝×＝15；
（3）關(guān)于x的不等式x的解集為x＜﹣4或0＜x＜4．

六．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
6．（2023?淄川區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）（其中m≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），如圖所示．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和拋物線的對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3，對稱軸為x＝2；
（2）（2，﹣1）；
（3）Q（，﹣）．
【解答】解：（1）把B（3，0）代入y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）得：
﹣9+3（m2+3）﹣（6m+9）＝0，
解得m＝3（舍去）或m＝﹣1，
∴m的值是﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴拋物線的對稱軸為x＝2；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
設(shè)直線BC函數(shù)表達(dá)式為y＝kx﹣3，把B（3，0）代入得：
3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直線BC函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣3，
由（1）知拋物線的對稱軸為直線x＝2，
則BC交直線x＝2于點(diǎn)P，如圖，
∴PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
此時(shí)PA+PC的值最小．
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2﹣3＝﹣1，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），
∴PA+PC的值最小時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1）；
（3）過A作AK⊥AC，交CP延長線于K，過K作KT⊥x軸于T，如圖：

∵∠ACP＝45°，
∴△ACK是等腰直角三角形，
∴AC＝AK，∠KAT＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠ATK，
∴△AOC≌△KTA（AAS），
∴OC＝AT＝3，OA＝TK＝1，
∴K（4，﹣1），
由C（0，﹣3），K（4，﹣1）得直線CK解析式為y＝x﹣3，
聯(lián)立，
解得或，
∴Q（，﹣）．


7．（2023?周村區(qū)一模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，4），拋物線的對稱軸為x＝1，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）．
（1）求拋物線和直線AD的解析式；
（2）如圖Ⅰ，點(diǎn)Q是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AD，交BD于點(diǎn)E，連接DQ，求△QED面積的最大值；
（3）如圖Ⅱ，直線AD交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是拋物線對稱軸和拋物線上的點(diǎn)，若以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，，解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；
∵B（4，0），對稱軸為x＝1，
∴A（﹣2，0），
∵D（2，m）在拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+x+4上，
∴D（2，4），
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線AD的解析式為y＝x+2；

（2）如圖1，作EG⊥x軸，設(shè)Q（m，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ∽△BDA，
∴，
即，
解得：EG＝，
∴S△BEQ＝×（4﹣m）×，
∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣1）2+3，
∴△QED面積的最大值是3；

（3）∵直線AD交y軸于點(diǎn)F，
∴F（0，2），
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，），
①如圖2，若CF為平行四邊形的一邊，則點(diǎn)N于拋物線的頂點(diǎn)重合，此時(shí)，MN＝CF＝2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，），（1，）；
②如圖3，若CF為平行四邊形的一條對角線，則CF與MN互相平分，
過點(diǎn)M，N分別向x軸作垂線，垂足分別為H，K，MN與HK交于點(diǎn)P，
易得△MHP≌△NKP，
∴點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別是1，﹣1，
∴N（﹣1，），
∴PK＝＝HP，
∴HO＝，
∴M（1，），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，）或（1，）或（1，）．



8．（2023?高青縣一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C（0，12）兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x＝4．設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點(diǎn)D，使S△ODB＝S△DPB？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個動點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個單位長度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN．在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動時(shí)間為t秒．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

【答案】（1）y＝x2﹣8x+12；P（4，﹣4）；
（2）存在；D（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S＝t2；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S＝﹣t2+12t﹣12．
【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c
由題意得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣8x+12，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣4）；
（2）存在點(diǎn)D，使S△ODB＝S△DPB．理由如下：
①若點(diǎn)D在x軸上方，
∵P（4，﹣4），
∴直線OP解析式為y＝﹣x，
當(dāng)直線BD平行于直線OP時(shí)，同底等高，
∴S△ODB＝S△DPB，
∴設(shè)直線BD的解析式為y＝﹣x+b，
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣8x+12＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
把B（6，0）代入y＝﹣x+b得，b＝6，
∴直線BD解析式為：y＝﹣x+6，
聯(lián)立，解得，
∴D（2，4），
②若點(diǎn)D在x軸下方，
∵P（4，﹣4），B（6，0），
∴直線BP解析式為y＝2x﹣12，
當(dāng)直線DP平行于直線OB時(shí)，S△ODB＝S△DPB，
∵P（4，﹣4），
∴將y＝﹣4代入y＝2x得：D（﹣2，﹣4），
∴當(dāng)D（2，4））或（﹣2，﹣4）時(shí)，S△ODB＝S△DPB．
（3）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵運(yùn)動速度為每秒個單位長度，運(yùn)動時(shí)間為t秒，則MP＝t，
∴PH＝t，MH＝t，HN＝t，
∴S＝t2；
②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P1G＝2t﹣4，P1H＝t，
∵M(jìn)N∥OB
∴△P1EF∽△P1MN，
∴，
∴，
∴＝3t2﹣12t+12，
∴S＝t2﹣（3t2﹣12t+12）＝﹣t2+12t﹣12，
綜上所述：當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S＝t2；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S＝﹣t2+12t﹣12．


七．平行四邊形的性質(zhì)（共1小題）
9．（2023?高青縣一模）在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長線于點(diǎn)F，連接AC．
（1）如圖1，若∠ADC＝90°，G是EF的中點(diǎn)，連接AG、CG．
①求證：BE＝BF．
②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若∠ADC＝60°，將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結(jié)論不必證明）

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分線，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠F＝∠BEF，
∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：連接BG，
由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中點(diǎn)，
∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，
∴AF＝AD，
又∵AD＝BC，
∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，
即∠GAC+∠ACG＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；

（2）連接BG，∵FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至FG，
∴△BFG是等邊三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分線，
∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，
∴△AGC是等邊三角形．


八．圓周角定理（共1小題）
10．（2023?沂源縣一模）如圖，點(diǎn)B，C為⊙O上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為⊙O上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC，交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，且AC平分∠BAD，連接CE．
（1）求證：AD∥EC；
（2）連接EA，若BC＝CD，試判斷四邊形EBCA的形狀，并說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
∵∠E＝∠BAC
∴∠E＝∠DAC，
∵BE∥AC
∴∠E＝∠ECA
∴∠ECA＝∠DAC
∴EC‖AD；
（2）四邊形EBCA是矩形．理由如下，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
又∵BC＝CD
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AB為⊙O的直徑．
∴∠AEB＝90°，
又∵BE∥AC
∴∠EBC＝∠ACD＝90°
∴四邊形EBCA是矩形．
九．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）
11．（2023?淄川區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，BD為直徑，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作BD的平行線，交AD的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE與⊙O相切；
（2）求證：BC2＝AB?DE．

【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【解答】證明：（1）如圖：連接OC．

∵AC平分∠BAD，
∴，
∴BC＝DC；
∵BD為直徑，
∴OB＝OD，
∴CO⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵BD∥CE，
∴∠OCE＝∠COD＝90°，
∴OC⊥CE，
∴CE與⊙O相切；
（2）∵BD∥CE，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E；
∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△DCE，
∴，
∴DC?BC＝AB?DE，
∵BC＝DC，
∴BC2＝AB?DE．
12．（2023?張店區(qū)一模）如圖，等邊△ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，AE＝CF，連接AF，BE，相交于點(diǎn)P．
（1）求∠BPF的度數(shù)；
（2）求證：BP?BE＝BF?BC．

【答案】（1）60°；（2）證明見解析．
【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF．
∵∠BAF+∠CAF＝60°，
∴∠BAF+∠ABE＝60°，
∴∠BPF＝∠BAF+∠ABE＝60°；
（2）證明：∵∠BPF＝∠C＝60°，∠PBF＝∠CBE，
∴△BPF∽△BCE，
∴，
∴BP?BE＝BF?BC．
一十．方差（共1小題）
13．（2023?淄川區(qū)一模）隨著生活水平的提高，人們對空氣質(zhì)量的要求也越來越高，為了了解3月中旬某市城區(qū)的質(zhì)量情況，某?！熬C合實(shí)踐環(huán)境調(diào)查小組”，從2345天氣預(yù)報(bào)網(wǎng)，抽取了朝陽區(qū)和南關(guān)區(qū)這兩個城區(qū)2022年3月11日到2022年3月20日的空氣質(zhì)量指數(shù)，作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，過程如下，請補(bǔ)充完整．
收集數(shù)據(jù)：
朝陽區(qū)
167
61
79
78
97
153
59
179
85
209
南關(guān)區(qū)
74
54
47
47
43
43
59
104
119
251
（備注：空氣質(zhì)量指數(shù)，簡稱AQI，是定期描述空氣質(zhì)量的數(shù)據(jù)）
整理、描述數(shù)據(jù)：
（1）按表整理、描述這兩個城區(qū)空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)：
空氣質(zhì)量
優(yōu)
良
輕度污染
中度污染
重度污染
朝陽區(qū)
　0　
　6　
　0　
　3　
　1　
南關(guān)區(qū)
4
3
2
0
1
（說明：空氣質(zhì)量指數(shù)≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕度污染；150＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤200時(shí)，空氣質(zhì)量為中度污染；200＜空氣質(zhì)量指數(shù)≤300時(shí)，空氣質(zhì)量為重度污染）
分析數(shù)據(jù)：
（2）兩城區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如表：
城區(qū)
平均數(shù)
中位數(shù)
方差
朝陽區(qū)
116.7
91
2699.21
南關(guān)區(qū)
84.1
　56.5　
3723.89
（3）請將以上兩個表格補(bǔ)充完整得出結(jié)論可以推斷出哪個城區(qū)這十天中空氣質(zhì)量情況比較好？請至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性．
【答案】（1）0，6，0，3，1；
（2）56.5；
（3）南關(guān)區(qū)這十天中空氣質(zhì)量表較好；說明見解析．
【解答】解：（1）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)補(bǔ)充表格如下：
空氣質(zhì)量
優(yōu)
良
輕度污染
中度污染
重度污染
朝陽區(qū)
0
6
0
3
1
南關(guān)區(qū)
4
3
2
0
1
（2）按大小排列，中間兩個數(shù)據(jù)分別為54、59，其平均數(shù)為：，則南關(guān)區(qū)空氣質(zhì)量的中位數(shù)是56.5；
（3）南關(guān)區(qū)這十天中空氣質(zhì)量表較好；
朝陽區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)高于南關(guān)區(qū)空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)，
朝陽區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)高于南關(guān)區(qū)空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)，
從而得出南關(guān)區(qū)這十天空氣質(zhì)量比較好．

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