?山東省淄博市2023年各地區(qū)中考考數學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）
一．分式的化簡求值（共2小題）
1．（2023?桓臺縣二模）（1）計算：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
2．（2023?淄川區(qū)二模）（1）當x＝tan45°時，求代數式的值；
（2）解方程組：．
二．解一元二次方程-公式法（共1小題）
3．（2023?博山區(qū)二模）請分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x2+2x﹣1＝0．
三．分式方程的應用（共3小題）
4．（2023?臨淄區(qū)二模）廣西“欽蜜九號”黃金百香果以“味甜濃香”深受廣大顧客的喜愛，某超市用3600元購進一批黃金百香果，很快就銷售一空；超市又用5400元購進了第二批黃金百香果，此時大量水果上市，所購買的重量是第一批的2倍，但是每千克黃金百香果比第一批便宜了5元．
（1）該超市購進第一批和第二批黃金百香果每千克的單價分別是多少元？
（2）如果這兩批黃金百香果都以相同的標價出售，要使兩批黃金百香果全部售完后的利潤率不低于50%（不計其他因素），則超市應該將黃金百香果至少標價每千克多少元出售？
5．（2023?沂源縣二模）小明午休時從單位出發(fā)，到距離單位2000米的書店去買書，他先步行800米后，換騎公共自行車（自行車投放點固定）到達書店，全程用時15分鐘．已知小明騎自行車的平均速度是步行速度的3倍．（轉換出行方式時，所需時間忽略不計）
（1）求小明步行的平均速度；
（2）買完書后，小明原路返回，采取先騎公共自行車后步行．此時離上班時間只剩10分鐘，為按時上班，他的騎行速度提升到原來的1.5倍．問：小明按原來的步行速度能按時到單位嗎？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
6．（2023?高青縣二模）某汽車網站對兩款價格相同，續(xù)航里程相同的汽車做了一次評測，一款為燃油車，另一款為純電新能源車．得到相關數據如下：
燃油車
純電新能源車
油箱容積：48升
電池容量：90千瓦時
油價：8元/升
電價：0.6元/千瓦時
（1）設兩款車的續(xù)航里程均為a千米，請用含a的代數式表示燃油車和純電新能源車的每千米行駛費用；
（2）若燃油車每千米行駛費用比純電新能源車多0.55元．
①請分別求出這兩款車的每千米行駛費用；
②若燃油車和純電新能源車每年的其它費用分別為4800元和8100元．問：每年行駛里程超過多少千米時，新能源車的年費用更低？（年費用＝年行駛費用+年其它費用）
四．解一元一次不等式組（共1小題）
7．（2023?臨淄區(qū)二模）（1）；
（2）解不等式組，并將解集在數軸上表示出來．
五．反比例函數系數k的幾何意義（共1小題）
8．（2023?桓臺縣二模）如圖，平面直角坐標系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對角線AC，OB交于點D，函數的圖象經過點A（3，4）和點D．
（1）求點D的坐標；
（2）求?OABC的面積．

六．反比例函數與一次函數的交點問題（共2小題）
9．（2023?臨淄區(qū)二模）如圖，一次函數y＝﹣2x+8的圖象與反比例函數的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求△OAB的面積；
（3）根據圖象直接寫出不等式的解集．

10．（2023?周村區(qū)二模）如圖，一次函數y1＝x+b的圖象與y軸正半軸交于點C，與反比例函數的圖象交于A，B兩點，已知OC＝2，點B的縱坐標為3．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求△AOB的面積；
（3）當y1＞y2時，直接寫出x的取值范圍．

七．二次函數綜合題（共1小題）
11．（2023?桓臺縣二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標；
（3）如圖2，過點Q作DQ⊥y軸，交BC于點D，連接PD．當∠PDB＝90°時，求點P的坐標．

八．全等三角形的判定（共1小題）
12．（2023?高青縣二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點D是線段BC上任意一點，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）若∠BDA＝115°，求∠DEC的度數；
（2）若DC＝AB，求證：△ABD≌△DCE．

九．全等三角形的判定與性質（共1小題）
13．（2023?周村區(qū)二模）如圖，已知：AB＝DE且AB∥DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．

一十．圓周角定理（共1小題）
14．（2023?淄川區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE，DE，DF．
（1）求證：∠CFD＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度數；
（3）設DE交AB于點G，若DF＝6，，∠BDE＝45°，求EG?ED的值．

一十一．切線的性質（共2小題）
15．（2023?桓臺縣二模）如圖，以AB為直徑的半圓O中，點D為半圓上不與A，B重合的一個動點，AC平分∠BAD交半圓O于點C，過點C作半圓O的切線EC，交射線AD于點E．
（1）求證：∠E＝90°；
（2）若AE＝4，AB＝6，求AC的長．

16．（2023?周村區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，直線MC與⊙O相切于點C．過點B作BD⊥MC于D，線段BD與⊙O相交于點E．
（1）求證：BC是∠ABD的平分線；
（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的長．

一十二．圓的綜合題（共1小題）
17．（2023?臨淄區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，且C為的中點，AE交CD于點G，若AF＝2，AE＝8，動點M是⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點P．
（1）求CF的長；
（2）連接OG，AC，求證：OG⊥AC；
（3）當動點M在⊙O的圓周上運動時，的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律．

一十三．作圖—基本作圖（共1小題）
18．（2023?沂源縣二模）如圖，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作△ABC的高AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD＝，求CD的長．

一十四．相似三角形的判定與性質（共1小題）
19．（2023?淄川區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝2AB，點E在△ABC的角平分線AD上，且BE＝BD．
（1）請利用尺規(guī)作圖在圖中按題意將圖形作完整（保留作圖痕跡，不寫作法）：
（2）求證：①△ABE∽△ACD，②E是AD的中點．



山東省淄博市2023年各地區(qū)中考考數學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）
參考答案與試題解析
一．分式的化簡求值（共2小題）
1．（2023?桓臺縣二模）（1）計算：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）4；
（2）；．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝4；
（2）
＝
＝，
當時，
原式＝．
2．（2023?淄川區(qū)二模）（1）當x＝tan45°時，求代數式的值；
（2）解方程組：．
【答案】（1）3；（2）．
【解答】解：（1）
＝?
＝?
＝，
當x＝tan45°＝1時，原式＝＝3；
（2），
將①代入②，得：3（y﹣2）+2y＝9，
解得y＝3，
將y＝3代入①，得x＝1，
∴該方程組的解是．
二．解一元二次方程-公式法（共1小題）
3．（2023?博山區(qū)二模）請分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x2+2x﹣1＝0．
【答案】，；
【解答】解：配方法，
移項得x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
開方得：，
解得：，；
公式法：
∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴，
∴，．
三．分式方程的應用（共3小題）
4．（2023?臨淄區(qū)二模）廣西“欽蜜九號”黃金百香果以“味甜濃香”深受廣大顧客的喜愛，某超市用3600元購進一批黃金百香果，很快就銷售一空；超市又用5400元購進了第二批黃金百香果，此時大量水果上市，所購買的重量是第一批的2倍，但是每千克黃金百香果比第一批便宜了5元．
（1）該超市購進第一批和第二批黃金百香果每千克的單價分別是多少元？
（2）如果這兩批黃金百香果都以相同的標價出售，要使兩批黃金百香果全部售完后的利潤率不低于50%（不計其他因素），則超市應該將黃金百香果至少標價每千克多少元出售？
【答案】（1）該超市購進第一批黃金百香果的單價是20元，第二批黃金百香果的單價是15元；
（2）超市應該將每千克黃金百香果至少標價25元出售．
【解答】解：（1）設購進第一批黃金百香果單價為x元，則第二批的單價為（x﹣5）元，
由題意得，，
解得x＝20，
檢驗：當x＝20時，x（x﹣5）≠0，
∴x＝20是原分式方程的解．
∴x﹣5＝20﹣5＝15（元），
答：該超市購進第一批黃金百香果的單價是20元，第二批黃金百香果的單價是15元．
（2）由（1）可得，第一批購進（千克），第二批購進180×2＝360（千克），
設每千克黃金百香果標價a元，
由題意得，（180+360）a≥（3600+5400）×（1+50%），
解得a≥25，
答：超市應該將每千克黃金百香果至少標價25元出售．
5．（2023?沂源縣二模）小明午休時從單位出發(fā)，到距離單位2000米的書店去買書，他先步行800米后，換騎公共自行車（自行車投放點固定）到達書店，全程用時15分鐘．已知小明騎自行車的平均速度是步行速度的3倍．（轉換出行方式時，所需時間忽略不計）
（1）求小明步行的平均速度；
（2）買完書后，小明原路返回，采取先騎公共自行車后步行．此時離上班時間只剩10分鐘，為按時上班，他的騎行速度提升到原來的1.5倍．問：小明按原來的步行速度能按時到單位嗎？若不行，他的步行速度至少提升到多少（米/分）？
【答案】（1）小明步行的平均速度為80米/分
（2）小明按原來的步行速度不能按時到單位，若想按時到達，他的步行速度至少提升到120米/分．
【解答】解：（1）設小明步行的平均速度為x米/分，則小明騎自行車的平均速度為3x米/分，
依題意得：，
解得：x＝80，
經檢驗，x＝80是原方程的解，且符合題意，
∴3x＝240．
答：小明步行的平均速度為80米/分．
（2）由（1）得小明原來騎自行車的速度為240米/分，
∵（分鐘），，
∴小明按原來的步行速度不能按時到單位．
設他的步行速度應提升到y(tǒng)米/分，
依題意得：，
解得：y≥120，
∴他的步行速度至少提升到120米/分．
答：小明按原來的步行速度不能按時到單位，若想按時到達，他的步行速度至少提升到120米/分．
6．（2023?高青縣二模）某汽車網站對兩款價格相同，續(xù)航里程相同的汽車做了一次評測，一款為燃油車，另一款為純電新能源車．得到相關數據如下：
燃油車
純電新能源車
油箱容積：48升
電池容量：90千瓦時
油價：8元/升
電價：0.6元/千瓦時
（1）設兩款車的續(xù)航里程均為a千米，請用含a的代數式表示燃油車和純電新能源車的每千米行駛費用；
（2）若燃油車每千米行駛費用比純電新能源車多0.55元．
①請分別求出這兩款車的每千米行駛費用；
②若燃油車和純電新能源車每年的其它費用分別為4800元和8100元．問：每年行駛里程超過多少千米時，新能源車的年費用更低？（年費用＝年行駛費用+年其它費用）
【答案】（1）燃油車每千米行駛費用為元，純電新能源車每千米行駛費用為元；
（2）①燃油車每千米行駛費用為0.64元，純電新能源車每千米行駛費用為0.09元；
②當每年行駛里程大于6000千米時，買新能源車的年費用更低．
【解答】解：（1）燃油車每千米行駛費用為＝（元），純電新能源車每千米行駛費用為＝（元），
答：燃油車每千米行駛費用為元，純電新能源車每千米行駛費用為元；
（2）①由題意得：﹣＝0.55，
解得：a＝600，
經檢驗，a＝600是分式方程的解，且符合題意，
∴＝0.64（元），＝0.09（元），
答：燃油車每千米行駛費用為0.64元，純電新能源車每千米行駛費用為0.09元；
②設每年行駛里程為x千米時，買新能源車的年費用更低，
由題意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：當每年行駛里程大于6000千米時，買新能源車的年費用更低．
四．解一元一次不等式組（共1小題）
7．（2023?臨淄區(qū)二模）（1）；
（2）解不等式組，并將解集在數軸上表示出來．
【答案】（1）；
（2）x≥﹣1．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2），
解①得，x＞﹣3；
解②得，x≥﹣1；
∴不等式組的解集是x≥﹣1；
解集在數軸上表示如下：
．
五．反比例函數系數k的幾何意義（共1小題）
8．（2023?桓臺縣二模）如圖，平面直角坐標系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對角線AC，OB交于點D，函數的圖象經過點A（3，4）和點D．
（1）求點D的坐標；
（2）求?OABC的面積．

【答案】（1）D（6，2），（2）36．
【解答】解：（1）∵點A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AD＝CD，
∴點D的縱坐標為2，
∵點D在y＝的圖象上，
∴D（6，2）．
（2）∵AD＝CD，A（3，4），D（6，2）
∴C（9，0）；
∴OC＝9，
∴平行四邊形OABC的周長面積為9×4＝36．
六．反比例函數與一次函數的交點問題（共2小題）
9．（2023?臨淄區(qū)二模）如圖，一次函數y＝﹣2x+8的圖象與反比例函數的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求△OAB的面積；
（3）根據圖象直接寫出不等式的解集．

【答案】（1）；
（2）8；
（3）0＜x＜1或x＞3．
【解答】解：（1）∵一次函數y＝﹣2x+8與反比例函數的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點．
∴6＝﹣2m+8，n＝﹣2×3+8，k＝6m，
∴m＝1，n＝2，k＝6，
∴點A（1，6），點B（3，2），
反比例函數解析式為：；
（2）∵y＝﹣2x+8，
當x＝0時，y＝8；當y＝0時，x＝4，
如圖所示：C（0，8），D（4，0），
∴OC＝8，OD＝4，

∴S△OAB＝S△COD﹣S△AOC﹣S△BOD＝＝＝8；
（3）由圖象可得當0＜x＜1或x＞3時，反比例函數圖象在一次函數的上方．
即不等式的解集為：0＜x＜1或x＞3．
10．（2023?周村區(qū)二模）如圖，一次函數y1＝x+b的圖象與y軸正半軸交于點C，與反比例函數的圖象交于A，B兩點，已知OC＝2，點B的縱坐標為3．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求△AOB的面積；
（3）當y1＞y2時，直接寫出x的取值范圍．

【答案】（1）反比例函數的解析式為；
（2）4；
（3）x＞1或﹣3＜x＜0．
【解答】解：（1）∵點C在y軸正半軸，OC＝2，
∴b＝2，
∴一次函數解析式為y＝x+2．
將y＝3代入y＝x+2，得x＝1，
∴B（1，3）．
將點B（1，3）代入，得，
∴k＝3，
∴反比例函數的解析式為．
（2）將y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2，
∴點D的坐標是（0，﹣2），
∴OD＝2．
將y＝x+2代入，得，
解得x1＝1，x2＝﹣3．當x＝﹣3時，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴點A的坐標是（﹣3，﹣1），
∵點B的縱坐標為3，
∴．
（3）由圖象知：x＞1或﹣3＜x＜0．
七．二次函數綜合題（共1小題）
11．（2023?桓臺縣二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標；
（3）如圖2，過點Q作DQ⊥y軸，交BC于點D，連接PD．當∠PDB＝90°時，求點P的坐標．

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．
（2）△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐標為（﹣1，0）．
（3）P（﹣，0）．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴將A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．
答：拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．
（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，

設P（m，0），則PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA?CF﹣PA?QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴當m＝﹣1時，S△CPQ有最大值為2，
∴△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐標為（﹣1，0）．
答：△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐標為（﹣1，0）．
（3）由（1）（2）知，拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，C（﹣1，﹣4），B（﹣3，0），A（1，0），
∴BC：y＝﹣2x﹣6，AC：y＝2x﹣2，
設P（p，0）（﹣3≤p≤1），
∵PQ∥BC，
∴PQ：y＝﹣2x+2p，
∴，解得，
∴Q（，p﹣1），
把y＝p﹣1代入y＝﹣2x﹣6，得x＝﹣，
∴D（﹣，p﹣1），
過點D作DH⊥BP于H，

∴DH＝|p﹣1|，PH＝，BH＝，
∵∠PDB＝90°，
∴∠DBP+∠BPD＝90°，
∵∠DHB＝90°，∠BDH+∠PBD＝90°，
∴∠BDH＝∠BPD，
∵∠BHD＝PHD＝90°，
∴△BHD∽△DHP，
∴，
∴DH2＝BH?PH，
∴，
∴p＝1或p＝﹣，
當p＝1時，∠PDB不存在，
∴P（﹣，0）．
答：P（﹣，0）．
八．全等三角形的判定（共1小題）
12．（2023?高青縣二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，點D是線段BC上任意一點，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）若∠BDA＝115°，求∠DEC的度數；
（2）若DC＝AB，求證：△ABD≌△DCE．

【答案】（1）115°；
（2）證明見解析部分．
【解答】（1）解：∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣25°﹣40°＝115°；
（2）證明：∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝40°+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
九．全等三角形的判定與性質（共1小題）
13．（2023?周村區(qū)二模）如圖，已知：AB＝DE且AB∥DE，BE＝CF．求證：∠A＝∠D．

【答案】見試題解答內容
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∴BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
一十．圓周角定理（共1小題）
14．（2023?淄川區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE，DE，DF．
（1）求證：∠CFD＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度數；
（3）設DE交AB于點G，若DF＝6，，∠BDE＝45°，求EG?ED的值．

【答案】（1）見解析；
（2）100°；
（3）．
【解答】（1）證明：如圖，連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，
∴∠CFD＝∠E，
∴∠C＝∠CFD；
（2）解：∵∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝100°；
（3）解：如圖，連接OE，

∵∠CFD＝∠AED＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝6，
在Rt△ABD中，，BD＝6，
∴AB＝9，
∵∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝∠AOE＝90°，
∵，
∴，
∵∠AOE＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∵△AEG∽△DEA，
∴，
即．
一十一．切線的性質（共2小題）
15．（2023?桓臺縣二模）如圖，以AB為直徑的半圓O中，點D為半圓上不與A，B重合的一個動點，AC平分∠BAD交半圓O于點C，過點C作半圓O的切線EC，交射線AD于點E．
（1）求證：∠E＝90°；
（2）若AE＝4，AB＝6，求AC的長．

【答案】（1）見解析；
（2）．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠E+∠OCE＝180°，
∵EC是圓O的切線，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°；
（2）解：如圖，連接BC．
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°＝∠E，
又∵∠BAC＝∠EAC，
∴△BAC∽△CAE，
∴，
∵AE＝4，AB＝6，
∴AC＝＝＝2．

16．（2023?周村區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，直線MC與⊙O相切于點C．過點B作BD⊥MC于D，線段BD與⊙O相交于點E．
（1）求證：BC是∠ABD的平分線；
（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的長．

【答案】（1）證明見解答；
（2）BC＝4．
【解答】（1）證明：連接OC，

∵直線MC與⊙O相切于點C
∴∠OCM＝90°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDM＝90°，
∴∠OCM＝∠ADM，
∴OC∥BD，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OA＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠DBC＝∠CBA，即BC是∠ABD的平分線；
（2）連接AC，連接AE交OC于點F，

∵AB為直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝＝8，
由（1）知OC∥BD，O為AB的中點，
∴AF＝4，
∴OF＝＝3，
∴CF＝OC﹣OF＝2，
∴AC＝＝2，
∴BC＝＝4．
一十二．圓的綜合題（共1小題）
17．（2023?臨淄區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，且C為的中點，AE交CD于點G，若AF＝2，AE＝8，動點M是⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點P．
（1）求CF的長；
（2）連接OG，AC，求證：OG⊥AC；
（3）當動點M在⊙O的圓周上運動時，的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律．

【答案】（1）4；
（2）見解答；
（3）的比值不變，比值為．
【解答】（1）解：∵C為的中點，弦CD⊥AB于F，
∴，
∴，
∴AE＝DC＝8，
∴CF＝DF＝4，
（2）證明：連接AC，BC，OG，BC交AE于點N，

∵，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠DCA＝∠CBA，
∵∠BFE+∠EBC＝90°，∠ABC+∠DCB＝90°，
∴AG＝GC，∠DCB＝∠EFB，
∴∠DCB＝∠ANC，
∴GN＝GC，
∵AO＝BO，
∴OG是△OAN的中位線，
∴GO∥BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AC，
∴OG⊥AC；
（3）解：的值不變．
理由：如圖2，連接DO，則DO⊥PD，DF⊥PO，

∵∠OFD＝∠ODP，∠FOD＝∠POD，
∴△OFD∽△ODP，
同理△OFD∽△DFP，
則DO2＝FO?OP，
DF2＝OF?FP，
由（1）知DF＝4，
設AO＝x，則FO＝x﹣2，
故x2＝（x﹣2）2+42，
解得：x＝5，故FO＝3，
即42＝3?FP，
∴FP＝．
當點M與點A重合時：＝＝，
當點M與點B重合時：＝，
當點M不與點A、B重合時：連接FM、PM、MO、DO，
∵DO2＝FO?OP，
∴OM2＝FO?OP，
∴，
∵∠AOM＝∠MOA，
∴△OFM∽△OPM，
∴．
綜上所述，的比值不變，比值為．
一十三．作圖—基本作圖（共1小題）
18．（2023?沂源縣二模）如圖，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作△ABC的高AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD＝，求CD的長．

【答案】（1）作圖見解析部分．
（2）．
【解答】解：（1）如圖，線段AD即為所求作．


（2）在Rt△ADB中，tan∠BAD＝＝，
∵AD＝4，
∴BD＝，
∵∠BAC＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ADB∽△CDA，
∴AD2＝BD?CD，
∴CD＝3．
解法二：此題解法復雜了，∠BAD＝∠C，通過tan∠C計算更快．
一十四．相似三角形的判定與性質（共1小題）
19．（2023?淄川區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝2AB，點E在△ABC的角平分線AD上，且BE＝BD．
（1）請利用尺規(guī)作圖在圖中按題意將圖形作完整（保留作圖痕跡，不寫作法）：
（2）求證：①△ABE∽△ACD，②E是AD的中點．


【答案】（1）作法、證明見解答；
（2）①證明見解答；
②證明見解答．
【解答】（1）作法：1．以點A為圓心，適當長為半徑作弧交AB于點F，交AC于點G，
2．分別以點F、點G為圓心，大于FG的長為半徑弧，兩弧在∠BAC內部交于點H，
3．作射線AH交BC于點D，
4．以點B為圓心，BD的長為半徑作弧交AD于點E，
5．連接BE，
線段AD和線段BE就是所求的圖形．
證明：連接FH、GH，
在△AFH和△AGH中，
，
∴△AFH≌△AGH（SSS），
∴∠FAH＝∠GAH，
∴AD是△ABC的角平分線，
由作圖得BE＝BD，
∴線段AD、線段BE就是所求的圖形．
（2）證明：①∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∵AD平分∠BAC，點E在AD上，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴∠BED﹣∠BAE＝∠BDE﹣∠CAD，
∴∠ABE＝∠C，
∴△ABE∽△ACD．
②∵△ABE∽△ACD，AC＝2AB，
∴＝＝，
∴AE＝AD＝（AE+DE），
∴AE＝DE，
∴E是AD的中點．

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