?山東省淄博市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）
一．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）
1．（2023?周村區(qū)一模）如圖，雙曲線y＝上的一點(diǎn)A（m，n），其中n＞m＞0，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA．
（1）已知△AOB的面積是3，求k的值；
（2）將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，且點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在該雙曲線上，求的值．

二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?臨淄區(qū)一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖1，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位長度向點(diǎn)B做勻速運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒個單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，問P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動多久后△PBQ的面積S最大，最大面積是多少？
（3）如圖2，點(diǎn)D為拋物線上一動點(diǎn)，直線AD交y軸于點(diǎn)E，直線BD交y軸于點(diǎn)F，求的值．
3．（2023?張店區(qū)一模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），交y軸正半軸于點(diǎn)C（0，3），連接BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上任意一點(diǎn)，連接DP，與BC交于點(diǎn)E，連接AE，AP，當(dāng)△APE面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△APE面積的最大值；
（3）如圖3，過點(diǎn)B作直線l，點(diǎn)M，N分別是線段AB和直線l上的動點(diǎn)，連接CM，CN，MN，∠CNM＝45°．
①連接AC，當(dāng)△ABC與△CMN相似，且S△CMN最小時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②在①的條件下，直線l上是否存在一動點(diǎn)Q，使得∠MQN＝45°，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

4．（2023?沂源縣一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)為A（﹣2，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），對稱軸與x軸交于點(diǎn)P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M作AM的垂線，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)N，連接AN．
①若△AMN與△AOB相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)M在y軸正半軸上運(yùn)動到某一位置時，△AMN有一邊與線段AP相等，并且此時這一邊與線段AP具有對稱性，我們把這樣的點(diǎn)M稱為“對稱點(diǎn)”，請直接寫出“對稱點(diǎn)”M的坐標(biāo)．

三．含30度角的直角三角形（共1小題）
5．（2023?臨淄區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，E．
（1）求證：AE＝2CE；
（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．

四．三角形綜合題（共1小題）
6．（2023?沂源縣一模）已知如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，點(diǎn)D在AB上，DE⊥AB交BC于E，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)
（1）寫出線段FD與線段FC的關(guān)系并證明；
（2）如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），其它條件不變，線段FD與線段FC的關(guān)系是否變化，寫出你的結(jié)論并證明；
（3）將△BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC＝4，BE＝2，直接寫出線段BF的范圍．

五．矩形的判定與性質(zhì)（共1小題）
7．（2023?沂源縣一模）有一塊形狀如圖所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，現(xiàn)在只測得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能設(shè)計(jì)一個方案，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)求出AD的長嗎？

六．四邊形綜合題（共2小題）
8．（2023?淄川區(qū)一模）綜合與實(shí)踐：如圖1，已知點(diǎn)E是正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合），連接BE．

（1）實(shí)踐與操作：在圖1中，畫出以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段BE逆時針旋轉(zhuǎn)90°的線段BF，并且連接AF（補(bǔ)全圖形，請標(biāo)注字母）．
（2）觀察與猜想：
猜想1，AF和CE之間的位置關(guān)系 　 　；
猜想2，AF和CE之間的數(shù)量關(guān)系 　 ?。?br /> （3）探究與發(fā)現(xiàn)：
①如圖2，若點(diǎn)E在CA延長線上時，（2）中的兩個猜想是否仍然成立，說明理由；
②如圖3，若點(diǎn)B1為AB延長線上一點(diǎn)，以點(diǎn)B1為旋轉(zhuǎn)中心，將線段B1E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段B1F，連接AF，（2）中的兩個結(jié)論是否仍然成立，說明理由．
9．（2023?博山區(qū)一模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．

（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E是什么位置關(guān)系？
（2）【思考表達(dá)】連接B′C，判斷∠DEC與∠B′CE 是否相等，并說明理由；
（3）如圖（2），延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；
（4）【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B＝60° 時，連接B′C，延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請寫出B′C，EG，DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

山東省淄博市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）
參考答案與試題解析
一．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）
1．（2023?周村區(qū)一模）如圖，雙曲線y＝上的一點(diǎn)A（m，n），其中n＞m＞0，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA．
（1）已知△AOB的面積是3，求k的值；
（2）將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD，且點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在該雙曲線上，求的值．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵雙曲線y＝上的一點(diǎn)A（m，n），過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，
∴AB＝n，OB＝m，
又∵△AOB的面積是3，
∴mn＝3，
∴mn＝6，
∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，
∴k＝mn＝6；
（2）如圖，延長DC交x軸于E，
由旋轉(zhuǎn)可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，
∵AB⊥x軸，
∴∠ABE＝90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，
∴C（m+n，n﹣m），
∵點(diǎn)A，C都在雙曲線上，
∴mn＝（m+n）（n﹣m），
即m2+mn﹣n2＝0，
方程兩邊同時除以n2，得
+﹣1＝0，
解得＝，
∵n＞m＞0，
∴＝．

二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?臨淄區(qū)一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖1，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個單位長度向點(diǎn)B做勻速運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒個單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，問P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動多久后△PBQ的面積S最大，最大面積是多少？
（3）如圖2，點(diǎn)D為拋物線上一動點(diǎn)，直線AD交y軸于點(diǎn)E，直線BD交y軸于點(diǎn)F，求的值．
【答案】（1）A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4）；
（2）運(yùn)動t＝3秒時，S△PBQ有最大值，最大值為；
（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，即有：，
利用因式分解法，求得：x1＝﹣2，x2＝4，
結(jié)合圖形，可知A（﹣2，0）、B（4，0），
令x＝0，，
則有C點(diǎn)坐標(biāo)為：C（0，﹣4），
即結(jié)果為：A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4）；
（2）∵A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4），
∴AO＝2、BO＝4＝CO，
∴△BOC是等腰直角三角形，AB＝AO+BO＝2+4＝6，
∴，
過Q點(diǎn)作QN⊥AB于N點(diǎn)，如圖，

根據(jù)運(yùn)動的特點(diǎn)，可得：AP＝t，，
∴BP＝6﹣t，
∵AB＝6，，
∴t的取值范圍為：，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵QN⊥AB，
∴∠QNB＝90°，
∴∠NQB＝∠OBC＝45°，
∴△QNB是等腰直角三角形，QN＝BN，
∵，，QN＝BN，
∴QN＝BN＝t，
∴，
∵0＜t≤4，
∴當(dāng)t＝3時，S△PBQ有最大值，最大值為，
運(yùn)動t＝3秒時，S△PBQ有最大值，最大值為；
（3）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，
設(shè)直線AD的解析式為：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），
∴，
解得，
即直線AD的解析式為：，
∴令x＝0，，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CE＝|m﹣4+4|＝|m|，
同理可求出直線BD的解析式為：，
∴令x＝0，，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，﹣2m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CF＝|﹣2m﹣4+4|＝|2m|，
根據(jù)題意可知：若m＝0，則可知E、F、D、C四點(diǎn)重合，
此時不符合題意，故m≠0，
∴，
即值為．
3．（2023?張店區(qū)一模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），交y軸正半軸于點(diǎn)C（0，3），連接BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上任意一點(diǎn)，連接DP，與BC交于點(diǎn)E，連接AE，AP，當(dāng)△APE面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△APE面積的最大值；
（3）如圖3，過點(diǎn)B作直線l，點(diǎn)M，N分別是線段AB和直線l上的動點(diǎn)，連接CM，CN，MN，∠CNM＝45°．
①連接AC，當(dāng)△ABC與△CMN相似，且S△CMN最小時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②在①的條件下，直線l上是否存在一動點(diǎn)Q，使得∠MQN＝45°，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，
（2）S△APE有最大值為，此時，點(diǎn)P（，）；
（3）N的坐標(biāo)為（，）或（，）；點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，?）或（，﹣）．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
則y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∴﹣3a＝3，則a＝﹣1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3①，

（2）由B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，
∵AD∥BC，則直線AD的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1②，
聯(lián)立①②并解得：，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，﹣5）；
過點(diǎn)D作DF∥AP交x軸于點(diǎn)F，連接PF，

∵DF∥AP，BC∥AD，
∴S△DAP＝S△FAP，S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△FAP﹣S△BAD，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），
由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)得，直線AP的表達(dá)式為：y＝（3﹣m）（x+1），
∵DF∥AP，則直線FD的表達(dá)式為：y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，
令y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，則x＝，
則AF＝5+，
則S△APE＝S△FAP﹣S△BAD＝FA?yP﹣AB?|yD|＝（5+）×（﹣m2+2m+3）﹣4×5＝﹣（m﹣）2+≤，
故S△APE有最大值為，此時，點(diǎn)P（，）；

（3）過M作MF⊥直線l于F，過G作GD⊥x軸于D，過N作NE⊥x軸于E，如圖：

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AC＝，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝45°，
∵∠CNM＝45°，△ABC與△CMN相似，
∴∠ABC＝∠CNM，點(diǎn)N對應(yīng)點(diǎn)B，邊AC對應(yīng)邊CM，
∵S△CMN最小，且△CMN與△ABC相似，形狀不變，
∴邊CM最小，即CM⊥x軸，M與O重合，CM＝CO＝3，
分兩種情況：
①△ABC∽△MNC時，，
∴，
∴MN＝，CN＝，
設(shè)N（m，n），而M（0，0），C（0，3），
∴，解得：（不合題意的值已舍去），
∴N（，）；
則OE＝，NE＝，
∴BE＝OE﹣OB＝，
Rt△BNE中，tan∠NBE＝＝＝2，
Rt△MFB中，tan∠MBF＝tan∠NBE＝2，即MF＝2BF，
∴cos∠MBF＝，tan∠MBF＝，
又BM＝3，
∴BF＝，MF＝，
∵∠MQN＝45°，MF⊥直線l于F，
∴QF＝MF＝，
∴BQ＝QF+BF＝，
Rt△BDQ中，tan∠MBF＝2，cos∠MBF＝，tan∠MBF＝，
∴BD＝BQ?＝，DQ＝BQ?＝，
∴MD＝MB﹣BD＝，
∴G（，?），
②△ABC∽△CNM時，，
∴，
∴CN＝，MN＝，
設(shè)N（s，r），方法同①可得N（，），
∴BE＝，NE＝，
∴tan∠NBE＝3，
同①方法可得Q（，﹣），
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，?）或（，﹣）．
綜上，N的坐標(biāo)為（，）或（，）；點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，?）或（，﹣）．
4．（2023?沂源縣一模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)為A（﹣2，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），對稱軸與x軸交于點(diǎn)P．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M作AM的垂線，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)N，連接AN．
①若△AMN與△AOB相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)M在y軸正半軸上運(yùn)動到某一位置時，△AMN有一邊與線段AP相等，并且此時這一邊與線段AP具有對稱性，我們把這樣的點(diǎn)M稱為“對稱點(diǎn)”，請直接寫出“對稱點(diǎn)”M的坐標(biāo)．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，4）分別代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；
（2）①拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝3，
作MD⊥直線x＝3于點(diǎn)D，作AE⊥MD于E，
∵∠AMN＝∠AOB，
∴當(dāng)＝，即＝＝＝2，△AMN∽△BOA，如圖1，
∵∠EAM+∠EMA＝90°，∠DMN+∠EMA＝90°．
∴∠EAM＝∠DMN
∵∠AEM＝∠MDN＝90°，
∴△AEM∽△MDN，
∴＝＝2，
而MD＝3，
∴AE＝6，
此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）；
∴當(dāng)＝，即＝＝＝，△AMN∽△AOB，如圖2，
同理可得△AEM∽△MDN，
∴＝＝，
而MD＝3，
∴AE＝，
此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）；
綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）或（0，）；
②∵A（﹣2，0），P（3，0），
∴AP＝5，
當(dāng)AM＝AP＝5時，OM＝＝，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
當(dāng)AN＝AP＝5時，點(diǎn)N與點(diǎn)P重合，則OM2＝OA?OP，
∴OM＝＝，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
當(dāng)MN＝5時，在Rt△MND中，DN＝＝4，
∵△AEM∽△MDN，
∴＝，即＝，解得AE＝，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，）．

三．含30度角的直角三角形（共1小題）
5．（2023?臨淄區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，E．
（1）求證：AE＝2CE；
（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：
連接BE，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等邊三角形，
理由如下：連接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D為AB中點(diǎn)，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等邊三角形．

四．三角形綜合題（共1小題）
6．（2023?沂源縣一模）已知如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，點(diǎn)D在AB上，DE⊥AB交BC于E，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)
（1）寫出線段FD與線段FC的關(guān)系并證明；
（2）如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），其它條件不變，線段FD與線段FC的關(guān)系是否變化，寫出你的結(jié)論并證明；
（3）將△BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC＝4，BE＝2，直接寫出線段BF的范圍．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）結(jié)論：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如圖1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．


（2）結(jié)論不變．
理由：如圖2中，延長AC到M使得CM＝CA，延長ED到N，使得DN＝DE，連接BN、BM．EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE（SAS），
∴AN＝EM，
∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，F(xiàn)C∥EM，同法FD＝AN，F(xiàn)D∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，F(xiàn)D⊥FC．
方法二：延長CF到M．使得CF＝FM，連接EM，CD，CE，DM，證明△CDM是等腰直角三角形即可解決問題．

（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E落在AB上時，BF的長最大，最大值＝3

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)E落在AB的延長線上時，BF的值最小，最小值＝．

綜上所述，≤BF．
五．矩形的判定與性質(zhì)（共1小題）
7．（2023?沂源縣一模）有一塊形狀如圖所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，現(xiàn)在只測得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能設(shè)計(jì)一個方案，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)求出AD的長嗎？

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：
過C作CM∥AB，交AD于M，
∵∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AM∥BC，
∵AB∥CM，
∴四邊形ABCM是平行四邊形，
∴AB＝CM＝60cm，BC＝AM＝80cm，∠B＝∠AMC＝60°，
∵AD∥BC，∠C＝150°，
∴∠D＝180°﹣150°＝30°，
∴∠MCD＝60°﹣30°＝30°＝∠D，
∴CM＝DM＝60cm，
∴AD＝60cm+80cm＝140cm．
六．四邊形綜合題（共2小題）
8．（2023?淄川區(qū)一模）綜合與實(shí)踐：如圖1，已知點(diǎn)E是正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合），連接BE．

（1）實(shí)踐與操作：在圖1中，畫出以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段BE逆時針旋轉(zhuǎn)90°的線段BF，并且連接AF（補(bǔ)全圖形，請標(biāo)注字母）．
（2）觀察與猜想：
猜想1，AF和CE之間的位置關(guān)系 　AF⊥CE　；
猜想2，AF和CE之間的數(shù)量關(guān)系 　AF＝CE　．
（3）探究與發(fā)現(xiàn)：
①如圖2，若點(diǎn)E在CA延長線上時，（2）中的兩個猜想是否仍然成立，說明理由；
②如圖3，若點(diǎn)B1為AB延長線上一點(diǎn)，以點(diǎn)B1為旋轉(zhuǎn)中心，將線段B1E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段B1F，連接AF，（2）中的兩個結(jié)論是否仍然成立，說明理由．
【答案】（1）圖見解析；
（2）AF⊥CE，AF＝CE；
（3）①當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時，
②中的兩個猜想仍然成立．理由見解析；②猜想1成立，猜想2不成立．理由見解析．
【解答】解：（1）補(bǔ)充的圖如下：

（2）猜想：AF⊥CE，AF＝CE；
由正方形ABCD，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠EBF﹣∠ABE，
∴∠ABF＝∠CBE．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，可得BE＝BF，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴∠BAF＝∠BCE＝45°，AF＝CE，
∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE；
（3）①當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時，（2）中的兩個猜想仍然成立．
理由如下：
由正方形ABCD，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠ABC+∠ABE＝∠EBF+∠ABE，
∴∠ABF＝∠CBE．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，可得BE＝BF，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴∠BAF＝∠BCE＝45°，AF＝CE，
∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE；
②猜想1成立，猜想2不成立．
理由如下：
如圖，過點(diǎn)B1作B1C1⊥AB1，與AC的延長線交于點(diǎn)C1．

∴BC∥B1C1，
∴∠AB1C1＝∠ABC＝90°，
∵∠B1AC1＝45°，
∴∠B1C1A＝45°，
∴AB1＝B1C1．
∵∠EB1F＝90°，
∴∠EB1F﹣∠AB1E＝∠AB1C1﹣∠AB1E，
∴∠AB1F＝∠C1B1E，
又B1E＝B1F，
∴△AB1F≌△C1B1E（AAS），
∴∠B1AF＝∠BC1E＝45°，AF＝C1E，
∴∠C1AF＝∠B1AC+∠B1AF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE，
又C1E＝CE+C1C，
∴AF≠CE．
即猜想1，AF⊥CE成立，猜想2，AF＝CE不成立．
9．（2023?博山區(qū)一模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．

（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E是什么位置關(guān)系？
（2）【思考表達(dá)】連接B′C，判斷∠DEC與∠B′CE 是否相等，并說明理由；
（3）如圖（2），延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；
（4）【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B＝60° 時，連接B′C，延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請寫出B′C，EG，DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）A′D∥B′E；
（2）結(jié)論：∠DEC＝∠B'CE．理由見解析部分；
（3）結(jié)論：∠DEG＝90°．理由見解析部分；
（4）結(jié)論：DG2＝EG2+B′C2．理由見解析部分．
【解答】解：（1）如圖（1）中，由翻折的性質(zhì)可知，A′D∥B′E．
故答案為：A′D∥B′E；

（2）結(jié)論：∠DEC＝∠B'CE．
理由：如圖（2）中，連接BB′．
∵EB＝EC＝EB′，
∴∠BB′C＝90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折變換的性質(zhì)可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC＝∠B′CE；

（3）結(jié)論：∠DEG＝90°．
理由：如圖（2）中，連接DB，DB′，
由翻折的性質(zhì)可知∠BDE＝∠B′DE，
設(shè)∠BDE＝∠B′DE＝x，∠A＝∠A′＝y(tǒng)．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠B′DA′，
∴∠A′DG＝∠BDB′＝2x，
∴∠DGA′＝180°﹣2x﹣y，
∵∠BEB′＝∠EBD+∠EB′D+∠BDB′，
∴∠BEB′＝180°﹣y+2x，
∵EC＝EB′，
∴∠EB′C＝∠ECB′＝∠BEB′＝90°﹣y+x，
∴∠GB′C＝∠A′B′E﹣∠EB′C＝180°﹣y﹣（90°﹣y+x）＝90°﹣y﹣x，
∴∠CGA′＝2∠GB′C，
∵∠CGA′＝∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C＝∠GCB′，
∴GC＝GB′，
∵EB′＝EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG＝90°；

（4）結(jié)論：DG2＝EG2+B′C2．
理由：如圖（3）中，延長DG交EB′的延長線于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DR⊥GA′交GA′的延長線于點(diǎn)R．
設(shè)GC＝GB′＝x，CD＝A′D＝A′B′＝2a，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝∠DA′B′＝120°，
∴∠DA′R＝60°，
∴A′R＝A′D?cos60°＝a，DR＝a，
在Rt△DGR中，則有（2a+x）2＝（a）2+（3a﹣x）2，
∴x＝a，
∴GB′＝a，A′G＝a，
∵TB′∥DA′，
∴＝，
∴＝，
∴TB′＝a，
∵CB′∥DE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CB′，
∵∠DEG＝90°，
∴DG2＝EG2+DE2，
∴DG2＝EG2+B′C2．


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