?山東省棗莊市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類(lèi)匯編-03解答題（提升題）
一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）
1．（2023?薛城區(qū)二模）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）兩點(diǎn)，且與x軸和y軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集；
（3）點(diǎn)P在y軸上，且，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?薛城區(qū)二模）如圖所示，將拋物線(xiàn)y＝x2沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線(xiàn)．
（1）直接寫(xiě)出新拋物線(xiàn)的解析式為　 ?。?br /> （2）設(shè)新拋物線(xiàn)交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C，頂點(diǎn)為D，作CE⊥CD交拋物線(xiàn)于E，如圖所示，探究如下問(wèn)題：
①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②若一次函數(shù)y＝kx+1的圖象與拋物線(xiàn)存在唯一交點(diǎn)且交對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F，連接DE，猜測(cè)直線(xiàn)DE與對(duì)稱(chēng)軸的夾角和一次函數(shù)y＝kx+1的圖象與對(duì)稱(chēng)軸的夾角之間的大小關(guān)系，并證明．

3．（2023?滕州市二模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3）和兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）求線(xiàn)段PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P和點(diǎn)D的坐標(biāo)．

4．（2023?嶧城區(qū)二模）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．連接AC，BC．D為OB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G．

（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段EF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)EF有最大值，最大值是多少？
（3）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)G，使得以O(shè)，D，G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
三．四邊形綜合題（共2小題）
5．（2023?滕州市二模）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q．求證：DP＝DQ；
（2）如圖2，將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且DC＝2DA，其他條件不變，試猜想DQ與DP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若PQ＝10，DA＝4，則AP的長(zhǎng)度為 　 ?。ㄖ苯訉?xiě)出答案）

6．（2023?棗莊二模）【閱讀理解】如圖①，l1∥l2，△ABC的面積與△DBC的面積相等嗎？為什么？
解：相等．在△ABC和△DBC中，分別作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分別為E，F(xiàn)．
∴∠AEF＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF．
∵l1∥l2，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AE＝DF．
又，．
∴S△ABC＝S△DBC．
【類(lèi)比探究】如圖②，在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，連接AE，求△ADE的面積．
解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AF．
請(qǐng)將余下的求解步驟補(bǔ)充完整．
【拓展應(yīng)用】如圖③，在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG，點(diǎn)B，C，E在同一直線(xiàn)上，AD＝4，連接BD，BF，DF，直接寫(xiě)出△BDF的面積．

四．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)（共2小題）
7．（2023?棗莊二模）已知：如圖，⊙O過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B，且與CD邊相切于點(diǎn)E．點(diǎn)F是BC與⊙O的交點(diǎn)，連接OB，OF，AF，點(diǎn)G是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求證：FG是⊙O的切線(xiàn)；
（2）如果正方形邊長(zhǎng)為8，求⊙O的半徑．

8．（2023?嶧城區(qū)二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在BC上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的⊙O與BC，AB分別相交于點(diǎn)D，E連接CE，CE＝CA．
（1）求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若tan∠ABC＝，BD＝4，求CD的長(zhǎng)．

五．幾何變換綜合題（共1小題）
9．（2023?棗莊二模）感知：如圖①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)B在線(xiàn)段AD上，點(diǎn)C在線(xiàn)段AE上，我們很容易得到BD＝CE，不需證明．

（1）探究：如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°），連接BD和CE，此時(shí)BD＝CE是否依然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由．
（2）應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接CE．求：
①∠ACE的度數(shù)；
②若，CD＝3，則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)是多少？

六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）
10．（2023?滕州市二模）如圖①，具有千年歷史的龍泉塔，既是滕州地標(biāo)，又體現(xiàn)了滕州的歷史文化．如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量塔的高度，該小組的成員分別在A，B兩處用測(cè)角儀測(cè)得龍泉塔的頂點(diǎn)E處的仰角為45°和55°，龍泉塔的底端F與A，B兩點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，已知AB間的水平距離為73米，測(cè)角儀的高度為1.2米．請(qǐng)你根據(jù)題中的相關(guān)信息，求出龍泉塔EF的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）．

七．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）
11．（2023?滕州市二模）某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城，點(diǎn)贊泉城”書(shū)畫(huà)比賽中，楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班（用A，B，C，D表示），對(duì)征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）楊老師采用的調(diào)查方式是 　 ?。ㄌ睢捌詹椤被颉俺闃诱{(diào)查”）；
（2）請(qǐng)補(bǔ)充完整條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中C班作品數(shù)量所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù) 　 ?。?br /> （3）如果全班征集的作品中有5件獲得一等獎(jiǎng)，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一樣等獎(jiǎng)的作者中選取兩人參加表彰座談會(huì)，請(qǐng)你用列表或樹(shù)狀圖的方法，求恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率．


山東省棗莊市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類(lèi)匯編-03解答題（提升題）
參考答案與試題解析
一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）
1．（2023?薛城區(qū)二模）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）兩點(diǎn)，且與x軸和y軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集；
（3）點(diǎn)P在y軸上，且，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣．y＝x+6；
（2）﹣2＜x＜0或x＜﹣4；
（3）P（0，3）或（0，﹣3）．
【解答】解：（1）將A（﹣2，4）代入得：4＝，
∴m＝﹣8，
∴反比例函數(shù)為：y＝﹣．
將A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x+6．
（2）觀察圖象可知，的解集為：﹣2＜x＜0或x＜﹣4；
（3）在y＝x+6中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y軸上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?薛城區(qū)二模）如圖所示，將拋物線(xiàn)y＝x2沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線(xiàn)．
（1）直接寫(xiě)出新拋物線(xiàn)的解析式為　y＝（x﹣2）2﹣1??；
（2）設(shè)新拋物線(xiàn)交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C，頂點(diǎn)為D，作CE⊥CD交拋物線(xiàn)于E，如圖所示，探究如下問(wèn)題：
①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②若一次函數(shù)y＝kx+1的圖象與拋物線(xiàn)存在唯一交點(diǎn)且交對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F，連接DE，猜測(cè)直線(xiàn)DE與對(duì)稱(chēng)軸的夾角和一次函數(shù)y＝kx+1的圖象與對(duì)稱(chēng)軸的夾角之間的大小關(guān)系，并證明．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）拋物線(xiàn)y＝x2沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，
拋物線(xiàn)表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2﹣1，
故：答案是：y＝（x﹣2）2﹣1…①；
（2）①y＝（x﹣2）2﹣1，
令x＝0，則y＝1，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，1），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣1），
把點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b，
解得：k＝﹣1，b＝1，則：CD解析式為：y＝﹣x+1；
∵CD⊥CE，
∴CE的解析式為：y＝x+1…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝6（已舍去不合題意的值），
∴E（6，7）；
②將一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝kx+1與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得：（x﹣2）2﹣1＝kx+1，
Δ＝b2﹣4ac＝0，解得：k＝﹣2，則一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x+1，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣3，即：點(diǎn)F坐標(biāo)為：（2，﹣3）；
將直線(xiàn)CF向上平移兩個(gè)單位過(guò)點(diǎn)D，此時(shí)一次函數(shù)為：y＝﹣2x+3，
而E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)為：E'（﹣2，7），
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝7，故：點(diǎn)E′在一次函數(shù)上y＝﹣2x+3，
∴△DEE'是等腰三角形，所以?xún)山窍嗟龋?br /> 3．（2023?滕州市二模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3）和兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）求線(xiàn)段PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P和點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）PD有最大值為，P的坐標(biāo)為；
（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或P點(diǎn)坐標(biāo)為，，D點(diǎn)坐標(biāo)為，1）．
【解答】解：（1）將A（0，3）和，代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+n，把A（0，3）和，代入，
，
解得，
∴直線(xiàn)AB的解析式為，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∵﹣1＜0，∴當(dāng)時(shí)，PD有最大值為；
∴P的坐標(biāo)為；
（3）當(dāng)y＝0時(shí)，，
解得：x＝2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
①當(dāng)△AOC∽△DPA時(shí)，
∵PD⊥x軸，∠DPA＝90°，
∴AP∥x軸，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)是3，橫坐標(biāo)x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
∵PD⊥x軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
②當(dāng)△AOC∽△DAP時(shí)，

此時(shí)∠APG＝∠ACO，
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PD于點(diǎn)G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，
解得：，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，1），P點(diǎn)坐標(biāo)為，，
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或P點(diǎn)坐標(biāo)為，，D點(diǎn)坐標(biāo)為，1）．
4．（2023?嶧城區(qū)二模）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．連接AC，BC．D為OB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G．

（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段EF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)EF有最大值，最大值是多少？
（3）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)G，使得以O(shè)，D，G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；
（2），當(dāng)m＝2時(shí)，EF有最大值；
（3）存在，或．
【解答】解：（1）由題意得，
∴，
∴；
（2）設(shè)直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y＝kx+n，
∵過(guò)點(diǎn)B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y＝﹣x+4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），
∴，
∵OC＝OB＝4，
∴∠OBC＝45°，
∵ED⊥x軸，
∴∠BGD＝45°，
∴∠EGF＝45°，
∵EF⊥BC，
∴＝，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，EF有最大值；
（3）存在
∵OC＝4，OA＝2，G的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），∠COA＝∠ODG＝90°，
∴①當(dāng)△OAC∽△DOG時(shí)，，
即，
解得，
此時(shí)G的坐標(biāo)為，
②當(dāng)△OAC∽△DGO時(shí)，，
即，
解得，
此時(shí)G的坐標(biāo)為，
所以，G點(diǎn)坐標(biāo)為或
三．四邊形綜合題（共2小題）
5．（2023?滕州市二模）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q．求證：DP＝DQ；
（2）如圖2，將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且DC＝2DA，其他條件不變，試猜想DQ與DP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若PQ＝10，DA＝4，則AP的長(zhǎng)度為 　2?。ㄖ苯訉?xiě)出答案）

【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）DQ＝2DP，理由見(jiàn)解析；
（3）2．
【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DCQ＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠DCQ＝∠A＝90°，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠PDQ＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ；
（2）解：DQ＝2DP，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．
∵∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
又∵∠A＝∠DCQ＝90°．
∴△ADP∽△CDQ，，
∴DQ＝2DP；
（3）解：∵△ADP∽△CDQ，
∴，
∴CQ＝2AP，CD＝2AD＝8，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝8，BC＝AD＝4，
在Rt△PBQ中，PB2+BQ2＝PQ2，
∴（AB﹣AP）2+（BC+CQ）2＝PQ2，
即（8﹣AP）2+（4+2AP）2＝102，
解得AP＝2或AP＝﹣2（不合題意，舍去），
即AP的長(zhǎng)度為2．
故答案為：2．
6．（2023?棗莊二模）【閱讀理解】如圖①，l1∥l2，△ABC的面積與△DBC的面積相等嗎？為什么？
解：相等．在△ABC和△DBC中，分別作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分別為E，F(xiàn)．
∴∠AEF＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF．
∵l1∥l2，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AE＝DF．
又，．
∴S△ABC＝S△DBC．
【類(lèi)比探究】如圖②，在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，連接AE，求△ADE的面積．
解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AF．
請(qǐng)將余下的求解步驟補(bǔ)充完整．
【拓展應(yīng)用】如圖③，在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG，點(diǎn)B，C，E在同一直線(xiàn)上，AD＝4，連接BD，BF，DF，直接寫(xiě)出△BDF的面積．

【答案】[類(lèi)比探究]4；
[拓展應(yīng)用]8．
【解答】解：[類(lèi)比探究]過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∵DE＝CE，EF⊥CD，
∴DF＝CF＝CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，
∴AD∥EF，
∴S△ADE＝S△ADF，
∴S△ADE＝×AD×DF＝×4×2＝4；
[拓展應(yīng)用]如圖③，連接CF，

∵四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形，
∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠BDC＝∠GCF，
∴BD∥CF，
∴S△BDF＝S△BCD，
∴S△BDF＝BC×BC＝8．

四．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)（共2小題）
7．（2023?棗莊二模）已知：如圖，⊙O過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B，且與CD邊相切于點(diǎn)E．點(diǎn)F是BC與⊙O的交點(diǎn)，連接OB，OF，AF，點(diǎn)G是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求證：FG是⊙O的切線(xiàn)；
（2）如果正方形邊長(zhǎng)為8，求⊙O的半徑．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）r＝5．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝90°，
∴AF是⊙O的直徑；
∵∠BAF＝∠BOF，∠G+∠BOF＝90°．
∴∠BAF+∠G＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∴FG是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：連接OE，
∵CD是⊙O的切線(xiàn)，
∴OE⊥CD，
過(guò)O作OH⊥BC于H，
則四邊形OECH是矩形，BH＝FH，
∴OH＝CE，CH＝OE，
∵AO＝OF，
∴OH＝AB＝4，
設(shè)OB＝OE＝CH＝r，
∴BH＝8﹣r，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5．

8．（2023?嶧城區(qū)二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在BC上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的⊙O與BC，AB分別相交于點(diǎn)D，E連接CE，CE＝CA．
（1）求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若tan∠ABC＝，BD＝4，求CD的長(zhǎng)．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：連接OE，
∵CE＝CA，
∴∠A＝∠CEA，
∵OE＝OB，
∴∠B＝∠OEB，…………………………（2分）
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠CEA+∠OEB＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴CE是⊙O的切線(xiàn)； ……………………………（5分）
（2）解：設(shè)CD的長(zhǎng)為x，
∵BD＝4，
∴DO＝BO＝2，
∴BC＝x+4，CO＝2+x，
∵tan∠ABC＝，
∴AC＝BC＝（x+4），
∵CE＝CA，
∴CE＝（x+4），……………………………（7分）
在Rt△CEO中，CE2+OE2＝CO2，
∴，……………………………（8分）
3x2+8x﹣16＝0，
∴，
∴CD的長(zhǎng)為．……………………………（10分）

五．幾何變換綜合題（共1小題）
9．（2023?棗莊二模）感知：如圖①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)B在線(xiàn)段AD上，點(diǎn)C在線(xiàn)段AE上，我們很容易得到BD＝CE，不需證明．

（1）探究：如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°），連接BD和CE，此時(shí)BD＝CE是否依然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由．
（2）應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接CE．求：
①∠ACE的度數(shù)；
②若，CD＝3，則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)是多少？

【答案】（1）BD＝CE成立，證明見(jiàn)解析；
（2）①45°； ②．
【解答】解：（1）BD＝CE成立，證明如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BAD＝CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°；
②∵，
∴，
∵△ACE≌△ABD，
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，CE＝BD＝BC+CD＝6+3＝9；
∴．
六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）
10．（2023?滕州市二模）如圖①，具有千年歷史的龍泉塔，既是滕州地標(biāo)，又體現(xiàn)了滕州的歷史文化．如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量塔的高度，該小組的成員分別在A，B兩處用測(cè)角儀測(cè)得龍泉塔的頂點(diǎn)E處的仰角為45°和55°，龍泉塔的底端F與A，B兩點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，已知AB間的水平距離為73米，測(cè)角儀的高度為1.2米．請(qǐng)你根據(jù)題中的相關(guān)信息，求出龍泉塔EF的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4）．

【答案】龍泉塔EF的高度為43.8米．
【解答】解：連接CD，交EF于點(diǎn)G，如圖所示：

∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∵∠ABD＝90°，
∴四邊形ABDC為矩形，
∴AB∥CD，∠BDG＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFE＝90°，
∴∠DGE＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DBF＝∠BFG＝∠BDG＝90°，
∴BDGF為矩形，
∴GF＝BD＝1.2米，
∵∠ECG＝45°，∠EGC＝90°，
∴∠CEG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CEG＝∠ECG，
∴CG＝EG，
設(shè)EG＝CG＝x米，
∵∠EDG＝55°，
∴，
∵CG+GD＝CD＝73，
∴，
解得：x≈42.58米，
∴EF＝EG+GF＝42.58+1.2≈43.8（米），
答：龍泉塔EF的高度為43.8米．
七．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）
11．（2023?滕州市二模）某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城，點(diǎn)贊泉城”書(shū)畫(huà)比賽中，楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班（用A，B，C，D表示），對(duì)征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）楊老師采用的調(diào)查方式是 　抽樣調(diào)查?。ㄌ睢捌詹椤被颉俺闃诱{(diào)查”）；
（2）請(qǐng)補(bǔ)充完整條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中C班作品數(shù)量所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù) 　150°?。?br /> （3）如果全班征集的作品中有5件獲得一等獎(jiǎng)，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一樣等獎(jiǎng)的作者中選取兩人參加表彰座談會(huì)，請(qǐng)你用列表或樹(shù)狀圖的方法，求恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率．

【答案】（1）抽樣調(diào)查．
（2）條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解答，扇形統(tǒng)計(jì)圖中C班作品數(shù)量所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)150°．
（3）恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率為．
【解答】解：（1）楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班，屬于抽樣調(diào)查．
故答案為：抽樣調(diào)查．
（2）所調(diào)查的4個(gè)班征集到的作品數(shù)為：6÷＝24（件），
C班有24﹣（4+6+4）＝10（件），
補(bǔ)全條形圖如圖所示，

扇形統(tǒng)計(jì)圖中C班作品數(shù)量所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)360°×＝150°；
故答案為：150°；
（3）畫(huà)樹(shù)狀圖得：

∵共有20種等可能的結(jié)果，兩名學(xué)生性別不同的有12種情況，
∴恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率為＝．

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