?山東省濟(jì)寧市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）
一．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）
1．（2023?嘉祥縣二模）已知A（4，0）、B（0，12）是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，連接AB．

（1）如圖①，作∠AOB的角平分線交AB于點(diǎn)P，作⊙P與x軸相切于點(diǎn)C（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證⊙P與y軸相切；
（3）如圖②，求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式．

二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?鄒城市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求△ABE面積的最大值．
（3）連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

3．（2023?嘉祥縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，求的最大值；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一動(dòng)點(diǎn)P，使得以線備用圖段BP為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)C．若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．


4．（2023?微山縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCD的面積最大？求此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABCD的最大面積；
②連接DO，DC，并把△DOC沿CO翻折，得到四邊形DOD′C，那么是否存在點(diǎn)D，使四邊形DOD′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

三．勾股定理的證明（共1小題）
5．（2023?泗水縣二模）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．


（1）如圖2、3、4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有 　 　個(gè)；
（2）如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；
（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝　 ??；
②b與c的關(guān)系為 　 　，a與d的關(guān)系為 　 ?。?br /> 四．四邊形綜合題（共1小題）
6．（2023?任城區(qū)二模）在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在DC上，且MN⊥DE，垂足為點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：MN＝DE；
（2）將圖1中的MN向上平移，使得F為DE的中點(diǎn)，此時(shí)MN與AC相交于點(diǎn)H，
①依題意補(bǔ)全圖2；
②用等式表示線段MH，HF，F(xiàn)N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．


五．切線的性質(zhì)（共1小題）
7．（2023?任城區(qū)二模）如圖，BC為⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，連接BD、CD，過點(diǎn)D的切線AE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，∠BCD＝∠AEO，OE與CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：OF∥BD；
（2）當(dāng)⊙O的半徑為10，sin∠ADB＝時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

六．圓的綜合題（共2小題）
8．（2023?曲阜市二模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O為斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接DE．
（1）請(qǐng)找出圖中與△ADE相似的三角形，并說明理由；
（2）若AC＝3，AE＝4，試求圖中陰影部分的面積；
（3）小明在解題過程中思考這樣一個(gè)問題：圖1中的⊙O的圓心究竟是怎么確定的呢？請(qǐng)你在圖2中利用直尺和圓規(guī)找到符合題意的圓心O，并寫出你的作圖方法．

9．（2023?金鄉(xiāng)縣二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DM⊥AC，垂足為M，AB、MD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）求證DN2＝BN?（BN+AC）；
（3）若DN＝10，cosC＝，求⊙O的直徑．

七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
10．（2023?鄒城市二模）已知四邊形ABCD中，EF分別是AB，AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)∠B＝∠EGF時(shí)，第（1）問的結(jié)論是否仍成立？若成立給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．

八．相似形綜合題（共1小題）
11．（2023?梁山縣二模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們就把這條線段叫做這個(gè)三角形的“華麗分割線”．
例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．
（1）【定義感知】
如圖1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．
求證：AD是△ABC的“華麗分割線”．
（2）【問題解決】
①如圖2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是等腰三角形，則∠C的度數(shù)為　 ?。?br /> ②如圖3，在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD的長(zhǎng)．


山東省濟(jì)寧市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）
參考答案與試題解析
一．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）
1．（2023?嘉祥縣二模）已知A（4，0）、B（0，12）是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，連接AB．

（1）如圖①，作∠AOB的角平分線交AB于點(diǎn)P，作⊙P與x軸相切于點(diǎn)C（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證⊙P與y軸相切；
（3）如圖②，求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式．

【答案】（1）作圖見解析；
（2）見解析；
（3）y＝（x＞0）．
【解答】（1）解：如圖所示：
（2）證明：如圖，作PD⊥y軸于點(diǎn)D，
∵⊙P與x軸相切于點(diǎn)C，
∴PC⊥x軸，
∵OP是∠AOB的平分線，
∴PC＝PD，
∵PD⊥y軸于點(diǎn)D，
∴⊙P與y軸相切；
（3）解：∵⊙P與y軸相切，
∴PD⊥y軸．
∵PC⊥x軸，PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形．
設(shè)PD＝PC＝x，
∵A（4，0）、B（0，12），
∴OA＝4，OB＝12，
∴BD＝12﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
∴P（3，3），
設(shè)過點(diǎn)P的函數(shù)表達(dá)式為y＝，
∴k＝xy＝3×3＝9，
∴過點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝（x＞0）．

二．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
2．（2023?鄒城市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求△ABE面積的最大值．
（3）連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）在直線解析式y(tǒng)＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）．
∵點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，4）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
解得：b＝﹣3，c＝4，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x+4．

（2）如圖，連接AE、過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣3m+4），
則OC＝﹣m，OF＝﹣m2﹣3m+4，
∵OA＝OB＝4，
∴BF＝﹣m2﹣3m，
則S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF
＝×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣×4×4﹣×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．
＝﹣2m2﹣8m
＝﹣2（m+2）2+8，
∵﹣4＜m＜0，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，S取得最大值，最大值為8．
即△ABE面積的最大值為8．

（3）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，
則D（m，4+m）．
∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必為等腰直角三角形．
i）若∠BED＝90°，則BE＝DE，
∵BE＝OC＝﹣m，
∴DE＝BE＝﹣m，
∴CE＝4+m﹣m＝4，
∴E（m，4）．
∵點(diǎn)E在拋物線y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合題意，舍去）或m＝﹣3，
∴D（﹣3，1）；
ii）若∠EBD＝90°，則BE＝BD＝﹣m，
在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，
∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，
∴E（m，4﹣m）．
∵點(diǎn)E在拋物線y＝﹣x2﹣3x+4上，
∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合題意，舍去）或m＝﹣2，
∴D（﹣2，2）．
綜上所述，存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，1）或（﹣2，2）．
3．（2023?嘉祥縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，求的最大值；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一動(dòng)點(diǎn)P，使得以線備用圖段BP為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)C．若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．


【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
則﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）過點(diǎn)D作DH∥y軸，交AC于點(diǎn)H，如圖所示：

設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），直線AC的解析式為y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m．
∵DH∥y軸，
∴△OCN∽△DHN，
∴．
∴．
∵，
∴的最大值是；

（3）答：存在．
假設(shè)存在一動(dòng)點(diǎn)P，使得以BP為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則∠PCB＝90°．
設(shè)直線BC的解析式為y＝k′x+b′，把點(diǎn)B（﹣1，0），C（0，3）代入，
得，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝3x+3，
∵BC⊥PC，
∴直線PC的解析式為，
∵拋物線的對(duì)稱軸是，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
4．（2023?微山縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCD的面積最大？求此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABCD的最大面積；
②連接DO，DC，并把△DOC沿CO翻折，得到四邊形DOD′C，那么是否存在點(diǎn)D，使四邊形DOD′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）①點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形ABCD的最大面積值為；②點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）代入函數(shù)解析式，得，
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）①如圖，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)Q，

D在拋物線上，設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b1，
將點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)C（0，3）的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
，
解得．
直線AC的解析為y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），
DQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
OB＝1，AB＝3﹣（﹣1）＝4，
S四邊形ABCD＝S△ABC+S△DCA
＝
＝
＝，
當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的面積最大．
當(dāng)時(shí)，，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形ABCD的最大面積值為；
②若四邊形DOD′C為菱形，則點(diǎn)D在線段CO的垂直平分線上，
如圖，連接DD′，則DE⊥CO，垂足為E，

∵C（0，3），
∴，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，即，
解得，（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
三．勾股定理的證明（共1小題）
5．（2023?泗水縣二模）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．


（1）如圖2、3、4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有 　3　個(gè)；
（2）如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；
（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝　m2??；
②b與c的關(guān)系為 　b＝c　，a與d的關(guān)系為 　a+d＝m　．
【答案】（1）3；
（2）S1+S2＝S3，理由見解析；
（3）m2，b＝c，a+d＝m．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：a2+b2＝c2，
如圖2：

即有：S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3；
如圖3：

∵S1＝π（）2＝πa2，S3＝πc2，S2＝πb2，
∴πa2+πb2＝π（a2+b2）＝πc2，
∴S1+S2＝S3；
如圖4：

下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：
正△XYZ的邊長(zhǎng)為u，過頂點(diǎn)X作XV⊥YZ，V為垂足，如圖，

在正△XYZ中，有∠Y＝60°，XZ＝XY＝Y(jié)Z＝u，
∵XV⊥YZ，
∴∠XVY＝90，YV＝VZ＝Y(jié)Z＝u，
在Rt△XYV中，有XV＝
＝＝u，
∴正△XYZ的面積為：S＝?YZ?XV＝u2，
∴S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝（a2+b2）＝c2，
∴S1+S2＝S3；
∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有3個(gè)，
故答案為：3；
（2）關(guān)系：S1+S2＝S3，理由如下：
以a為直徑的半圓面積為：?π（）2＝πa2，
以b為直徑的半圓面積為：?π（）2＝πb2，
以c為直徑的半圓面積為：?π（）2＝πc2，
三角形的面積為：S3＝ab，
∴S1+S2＝πa2+πb2+S3﹣﹣πc2，
即：S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，
結(jié)合（1）的結(jié)論：a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3；
（3）①正方形A、B、C、D、E、F、M中，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d、e、f、m，則有
由（1）（2）中的結(jié)論可知，面積的關(guān)系為：SA+SB＝SE，SC+SD＝SF，SE+SF＝SM，
∴a2+b2＝e2，c2+d2＝f2，e2+f2＝m2，
∴a2+b2+c2+d2＝m2
故答案為：m2．
②b與c的關(guān)系為b＝c，a與d的關(guān)系為a+d＝m．
故答案為：b＝c，a+d＝m．

四．四邊形綜合題（共1小題）
6．（2023?任城區(qū)二模）在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在DC上，且MN⊥DE，垂足為點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：MN＝DE；
（2）將圖1中的MN向上平移，使得F為DE的中點(diǎn)，此時(shí)MN與AC相交于點(diǎn)H，
①依題意補(bǔ)全圖2；
②用等式表示線段MH，HF，F(xiàn)N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．


【答案】（1）證明過程見解答；
（2）①圖形見解答；
②MH+FN＝HF，理由見解答．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠BCD，
∵M(jìn)N⊥DE，
∴∠BCM+∠DCF＝∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠BCM＝∠CDE，
∴△BCM≌△CDE（ASA），
∴MN＝DE；
（2）①過DE的中點(diǎn)F作MN⊥DE，分別與AB、AC、CD交于點(diǎn)M、H、N，如圖即為補(bǔ)全的圖形；

②MH+FN＝HF，理由如下：
如圖，在FH上截取FG＝FN，連接EG交AC于點(diǎn)K，作CT∥MN交AB于點(diǎn)T，

∵AB∥DC，
∴四邊形MTCN是平行四邊形，
∴MT＝NC，
∵M(jìn)N⊥DE，
∴CT⊥DE，
由（1）知：CT＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，
在Rt△BCT和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCT≌Rt△DCE（HL），
∴BT＝CE，
在△EFG和△DFN中，
，
∴△EFG≌△DFN（SAS），
∴EG＝DN，∠EGF＝∠DNF，
∴EG∥CD∥AB，
∴GE⊥BC，
∵∠ACB＝45°，
∴△CEK是等腰直角三角形，
∴EK＝CE＝BT，
∵AB＝CD，MT＝NC，
∴AM+BT＝DN＝EG＝EK+KG，
∴AM＝KG，
∵AB∥EG，
∴∠MAH＝∠GKH，
在△AMH和△KGH中，
，
∴△AMH≌△KGH（AAS），
∴MH＝GH，
∵GH+FG＝HF，
∴MH+FN＝HF．
五．切線的性質(zhì)（共1小題）
7．（2023?任城區(qū)二模）如圖，BC為⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，連接BD、CD，過點(diǎn)D的切線AE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，∠BCD＝∠AEO，OE與CD交于點(diǎn)F．
（1）求證：OF∥BD；
（2）當(dāng)⊙O的半徑為10，sin∠ADB＝時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵AE與?O相切，
∴OD⊥AE，
∴∠ADB+∠ODB＝90°，
∵BC為直徑，
∴∠BDC＝90°，即∠ODB+∠ODC＝90°，
∴∠ADB＝∠ODC，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠C，
而∠BCD＝∠AEO，
∴∠ADB＝∠AEO，
∴BD∥OF；
（2）解：由（1）知，∠ADB＝∠E＝∠BCD，
∴sinC＝sinE＝sin∠ADB＝，
在Rt△BCD中，sinC＝＝，
∴BD＝×20＝8，
∵OF∥BD，
∴OF＝BD＝4，
在Rt△EOD中，sinE＝＝，
∴OE＝25
∴EF＝OE﹣OF＝25﹣4＝21．

六．圓的綜合題（共2小題）
8．（2023?曲阜市二模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O為斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接DE．
（1）請(qǐng)找出圖中與△ADE相似的三角形，并說明理由；
（2）若AC＝3，AE＝4，試求圖中陰影部分的面積；
（3）小明在解題過程中思考這樣一個(gè)問題：圖1中的⊙O的圓心究竟是怎么確定的呢？請(qǐng)你在圖2中利用直尺和圓規(guī)找到符合題意的圓心O，并寫出你的作圖方法．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）△ACD與△ADE相似，如圖（1）所示，

連接OD，∵⊙O恰好與BC相切于點(diǎn)D，
∴∠ODB＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠DAC，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ACD∽△ADE．
（2）∵△ACD∽△ADE，
∴＝，
∴AD＝2，
∵AC＝3，根據(jù)勾股定理得CD＝，
∴sin∠DAC＝，
∴∠DAC＝∠EAD＝∠ODA＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∴S△OAD＝OA2＝，
∴S＝﹣＝﹣．
（3）如圖2所示，作圖方法：
①以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)H，以H、C為圓心，大于CH長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)G，連接AG，AG即為∠BAC的角平分線，AG與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)D．
②以D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)C′，以C、C′為圓心，大于CC′為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)E、F，連接EF，EF即為CC′的垂直平分線，EF與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)O．

9．（2023?金鄉(xiāng)縣二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DM⊥AC，垂足為M，AB、MD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）求證DN2＝BN?（BN+AC）；
（3）若DN＝10，cosC＝，求⊙O的直徑．

【答案】（1）證明見解析過程；
（2）證明見解析過程；
（3）⊙O的直徑為．
【解答】證明：（1）如圖，連接OD，

∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半徑，
∴MN是⊙O的切線；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴，
∴DN2＝BN?AN＝BN?（BN+AB）＝BN?（BN+AC）；
（3）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴cosC＝＝cos∠ABC＝，
∴設(shè)AB＝5x，BD＝3x，
∴AD＝＝＝4x，
∵△BDN∽△DAN，
∴＝，
∴，
∴AN＝，BN＝，
∴AB＝AN﹣BN＝，
∴⊙O的直徑為．
七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
10．（2023?鄒城市二模）已知四邊形ABCD中，EF分別是AB，AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)∠B＝∠EGF時(shí)，第（1）問的結(jié)論是否仍成立？若成立給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）第（1）問的結(jié)論仍成立，理由見解析．
【解答】（1）證明：如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠A＝90°，
∴∠ADE+∠GDC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DCF+∠GDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴．
（2）解：第（1）問的結(jié)論仍成立，理由如下：
如圖2，以C為圓心，CF的長(zhǎng)為半徑畫弧交AD延長(zhǎng)線于M，連接CM，
∴CM＝CF，
∴∠CMD＝∠CFD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B＝∠EGF，
∴∠A+∠EGF＝180°，
∴∠AEG+∠AFG＝180°，
∵∠DFG+∠AFG＝180°，
∴∠AEG＝∠DFG，
∴∠AED＝∠CMD，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∴△ADE∽△DCM，
∴＝，
∴＝．

八．相似形綜合題（共1小題）
11．（2023?梁山縣二模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們就把這條線段叫做這個(gè)三角形的“華麗分割線”．
例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．
（1）【定義感知】
如圖1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．
求證：AD是△ABC的“華麗分割線”．
（2）【問題解決】
①如圖2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是等腰三角形，則∠C的度數(shù)為　21°或42°　．
②如圖3，在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見解答；
（2）①21°或42°；
②．
【解答】證明：（1）∵AB＝BD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵∠B＝40°，
∴．
∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝110°＝∠BAC．
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC．
∴AD是△ABC的“華麗分割線”；
（2）①當(dāng)AB＝BD時(shí)，得∠ADB＝67°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝113°．
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝113°．
在△ABC中，由內(nèi)角和定理得∠C＝21°．
當(dāng)AD＝BD時(shí)，
∴∠ADC＝92°．
∵△ADC∽△BAC，
∴∠BAC＝∠ADC＝92°．
在△ABC中，由內(nèi)角和定理得∠C＝42°．
故∠C的度數(shù)為21°或42°．
故答案為：21°或42°；
②∵△ADC∽△BAC，
∴．
即，
解得CD＝1，
∴．
解得．

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