山東省威海市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?山東省威海市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）
一．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）
1．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)自變量x滿足﹣1≤x≤3時(shí)，求函數(shù)值y的取值范圍；
（3）將此拋物線沿x軸平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，當(dāng)自變量x滿足1≤x≤5時(shí)，y的最小值為5，求m的值．
二．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
2．（2023?威海一模）如圖，拋物線與x軸交于A（4，0），B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式：
（2）如圖1，若PQ⊥AC，垂足為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)度為最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若PQ⊥AC，垂足為Q，且AQ＝3PQ，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

三．三角形綜合題（共1小題）
3．（2023?文登區(qū)一模）（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作Rt△DEF，使上∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，連接BE，F(xiàn)A，延長(zhǎng)FA分別交ED，BE于點(diǎn)G，H．
?
①求證：AF＝BE；
②求證：FH⊥BE．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝30°，連接BE，F(xiàn)A，延長(zhǎng)FA分別交ED，BE于點(diǎn)G，H．
①猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明；
②猜想FH與BE的位置關(guān)系并證明．
中，∠BAC＝90°，∠ABC＝a．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．
（3）如圖3，在?以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝a．連接BE，F(xiàn)A，延長(zhǎng)FA分別交ED，BE于點(diǎn)G，H，則AF與BE的數(shù)量關(guān)系為　 ??；FH與BE的位置關(guān)系為　 ?。?br /> 四．四邊形綜合題（共1小題）
4．（2023?乳山市一模）【問(wèn)題再現(xiàn)】：
（1）如圖1，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，連接AE，CF．若再增加一個(gè)條件，便可證明出AE＝CF．
針對(duì)上述問(wèn)題，小明添加的條件是“DE＝BF”；小強(qiáng)添加的條件是“AE∥CF”．請(qǐng)你替小明或小強(qiáng)完成證明過(guò)程；（即任選其中一種方法證明）
【問(wèn)題探究】：
（2）如圖2，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B的直線與對(duì)角線AC交于點(diǎn)P，分別過(guò)點(diǎn)A，C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF．
①求證：OE＝OF；
②若∠OEF＝30°，探究AE，CF，OE間的等量關(guān)系，并證明；
【問(wèn)題拓廣】：
（3）如圖3，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B的直線與對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，分別過(guò)點(diǎn)A，C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF．若∠OEF的度數(shù)記為α，請(qǐng)寫(xiě)出AE，CF，OE間的等量關(guān)系，并證明．

五．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
5．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，PB⊥AB，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OP交⊙O于點(diǎn)C，垂足為D，連接PC并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．
（1）求證：PM是⊙O的切線；
（2）若，求的值．

六．幾何變換綜合題（共1小題）
6．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
（1）猜想觀察：如圖1，若α＝60°，BD交AC于點(diǎn)M，則的值是　　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　 ?。?br /> （2）類比探究：如圖2，若α＝90°，BD與AC，PC分別相交于點(diǎn)M，N．求的值及∠CNM的度數(shù)．
（3）解決問(wèn)題：如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，若P，D，C三點(diǎn)在同一直線上，且DA＝DC，BD交AC于點(diǎn)M，DM＝2﹣，求AP的長(zhǎng)．

七．相似形綜合題（共1小題）
7．（2023?威海一模）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，∠CDF＝45°，求證：AC?BF＝AD?BD．
（2）嘗試應(yīng)用：如圖2，在△ABC中，，∠B＝45°，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形ADE，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，若，求CD的長(zhǎng)．
（3）拓展提高：如圖3，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，E為AB中點(diǎn)，D為AE中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線DM∥BC交AC于M，在直線DM上取一點(diǎn)F，連接BF交CE于點(diǎn)H；若當(dāng)∠FHC＝∠ABC時(shí)，DF?BC的值為定值，請(qǐng)直接寫(xiě)出該定值為　 ?。?br />

八．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）
8．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）某商場(chǎng)為掌握國(guó)慶節(jié)期間顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的分布情況，統(tǒng)計(jì)了10月1日7：00﹣23：00這一時(shí)間段內(nèi)5000名顧客的購(gòu)買時(shí)刻．顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，將7：00﹣23：00這一時(shí)間段劃分為四個(gè)小的時(shí)間段：A段為7：00≤t＜11：00，B段為11：00≤t＜15：00，C段為15：00≤t＜19：00，D段為19：00≤t≤23：00，其中t為顧客購(gòu)買商品的時(shí)刻，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，A，B，C，D四段各部分圓心角的度數(shù)比為1：3：4：2．

請(qǐng)根據(jù)上述信息解答下列問(wèn)題：
（1）通過(guò)計(jì)算將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的中位數(shù)落在哪個(gè)時(shí)間段？
（2）求10月1日這天顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的平均值（同一時(shí)間段內(nèi)顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的平均值用該時(shí)段的中點(diǎn)值代表，例如，A段的中點(diǎn)值為：＝9）；
（3）為活躍節(jié)日氣氛，該商場(chǎng)設(shè)置購(gòu)物后抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)立了特等獎(jiǎng)一個(gè)，一等獎(jiǎng)兩個(gè)，二等獎(jiǎng)若干，并隨機(jī)分配到A，B，C，D四個(gè)時(shí)間段中．
①請(qǐng)直接寫(xiě)出特等獎(jiǎng)出現(xiàn)在A時(shí)間段的概率；
②請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩個(gè)一等獎(jiǎng)出現(xiàn)在不同時(shí)間段的概率．

山東省威海市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（較難題）
參考答案與試題解析
一．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）
1．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)自變量x滿足﹣1≤x≤3時(shí)，求函數(shù)值y的取值范圍；
（3）將此拋物線沿x軸平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，當(dāng)自變量x滿足1≤x≤5時(shí)，y的最小值為5，求m的值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）﹣1≤y≤8；
（3）m的值為3+或1+．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，3），
∴，
解得，
∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；

（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝1+4+3＝8，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9﹣12+3＝0，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），
∴當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，y的取值范圍是﹣1≤y≤8；

（3）設(shè)此拋物線x軸向右平移m個(gè)單位后拋物線解析式為y＝（x﹣2﹣m） 2﹣1，
∵當(dāng)自變量x滿足 1≤x≤5時(shí)，y的最小值為 5，
∴2+m＞5，即m＞3，
此時(shí)x＝5時(shí)，y＝5，即（5﹣2﹣m） 2﹣1＝5，解得m1＝3+，m2＝3﹣ （舍去）；
設(shè)此拋物線沿x軸向左平移m個(gè)單位后拋物線解析式為y＝（x﹣2+m） 2﹣1，
∵當(dāng)自變量x滿足1≤x≤5時(shí)，y的最小值為5，
∴2﹣m＜1，即m＞1，
此時(shí)x＝1時(shí)，y＝5，即（1﹣2﹣m）2﹣1＝5，解得m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣ （舍去），
綜上所述，m的值為3+或1+．
二．二次函數(shù)綜合題（共1小題）
2．（2023?威海一模）如圖，拋物線與x軸交于A（4，0），B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式：
（2）如圖1，若PQ⊥AC，垂足為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)度為最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若PQ⊥AC，垂足為Q，且AQ＝3PQ，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）
（2）（2，4）；
（3）（2，4）．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（4，0），C（0，4）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）如圖1，連接PC，PA，

當(dāng)PQ的長(zhǎng)度最大時(shí)，△PAC的面積最大，
作PD∥y軸，交直線AC于點(diǎn)D，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b′，
代入點(diǎn)A（4，0），C（0，4），
可得：，解得：，
得到直線AC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)點(diǎn)，則D（t，﹣t+4），
∴，
∴，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，△PAC面積最大，
∵A（4，0），C（0，4），
∴利用勾股定理可得，
又∵，
∴△PAC面積最大時(shí)，PQ也最大，
即t＝2，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，交AC于點(diǎn)G，

∵OC＝OA＝4，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∵PQ⊥AC，PH⊥x軸，
∴∠HGA＝∠OAC＝45°，
∴∠HGA＝∠PGQ＝45°＝∠QPG，
∴GQ＝PQ，GH＝AH，
∴，，
∵AQ＝3PQ，GQ＝PQ，
∴AG＝2PQ，
∴，即，
∴GH＝PG，
∴G點(diǎn)是PH的中點(diǎn)，
設(shè)，G（t，﹣t+4），
∴，
解得t＝2或t＝4（舍），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4）．
三．三角形綜合題（共1小題）
3．（2023?文登區(qū)一模）（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作Rt△DEF，使上∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，連接BE，F(xiàn)A，延長(zhǎng)FA分別交ED，BE于點(diǎn)G，H．
?
①求證：AF＝BE；
②求證：FH⊥BE．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝30°，連接BE，F(xiàn)A，延長(zhǎng)FA分別交ED，BE于點(diǎn)G，H．
①猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明；
②猜想FH與BE的位置關(guān)系并證明．
中，∠BAC＝90°，∠ABC＝a．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．
（3）如圖3，在?以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作Rt△DEF，使∠EDF＝90°，∠DEF＝a．連接BE，F(xiàn)A，延長(zhǎng)FA分別交ED，BE于點(diǎn)G，H，則AF與BE的數(shù)量關(guān)系為　AF＝BE?tana?。籉H與BE的位置關(guān)系為　FH⊥BE?。?br /> 【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）AF＝BE?tana，F(xiàn)H⊥BE．
【解答】（1）證明：①∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，∠BAD＝45°，即BD＝AD，
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDA+∠EDA＝∠ADF+∠EDA，即∠BDA＝∠ADF，
∵∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝45°，則ED＝DF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（SAS），
∴AF＝BE；
②在①中，知道△BED≌△AFD（SAS），則∠BED＝∠AFD，
∵∠HGE＝∠DGF，
∴∠EHF＝180°﹣∠BED﹣∠HGE，∠EDF＝180°﹣∠AFD﹣∠DGF，
即∠EHF＝∠EDF＝90°，
∴FH⊥BE；
（2）解：①，證明如下：
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝∠EDF＝90°，
即∴∠BDA+∠EDA＝∠ADF+∠EDA，即∠BDA＝∠ADF，
在Rt△ABD中，∠ABC＝30°，
∴，
在Rt△EDF中，∠DEF＝30°，
∴，
∴△ADF∽△BDE，
∴，即；
②FH⊥BE，證明如下：
在①中，知道△ADF∽△BDE，
則∠BED＝∠AFD，
∵∠HGE＝∠DGF，
∴∠EHF＝180°﹣∠BED﹣∠HGE，∠EDF＝180°﹣∠AFD﹣∠DGF，
即∠EHF＝∠EDF＝90°，
∴FH⊥BE；
（3）解：AF＝BEtana，證明如下：
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝∠EDF＝90°，
即∠BDA+∠EDA＝∠ADF+∠EDA，即∠BDA＝∠ADF，
在Rt△ABD中，∠ABC＝a，
∴，
在Rt△EDF中，∠DEF＝a，
∴，
∴△ADF∽△BDE，
∴，即AF＝BE?tana，
FH⊥BE，
證明如下：
∵△ADF∽△BDE，
則∠BED＝∠AFD，
∵∠HGE＝∠DGF，
∴∠EHF＝180°﹣∠BED﹣∠HGE，∠EDF＝180°﹣∠AFD﹣∠DGF，
即∠EHF＝∠EDF＝90°，
∴FH⊥BE．
四．四邊形綜合題（共1小題）
4．（2023?乳山市一模）【問(wèn)題再現(xiàn)】：
（1）如圖1，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，連接AE，CF．若再增加一個(gè)條件，便可證明出AE＝CF．
針對(duì)上述問(wèn)題，小明添加的條件是“DE＝BF”；小強(qiáng)添加的條件是“AE∥CF”．請(qǐng)你替小明或小強(qiáng)完成證明過(guò)程；（即任選其中一種方法證明）
【問(wèn)題探究】：
（2）如圖2，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B的直線與對(duì)角線AC交于點(diǎn)P，分別過(guò)點(diǎn)A，C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF．
①求證：OE＝OF；
②若∠OEF＝30°，探究AE，CF，OE間的等量關(guān)系，并證明；
【問(wèn)題拓廣】：
（3）如圖3，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B的直線與對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，分別過(guò)點(diǎn)A，C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF．若∠OEF的度數(shù)記為α，請(qǐng)寫(xiě)出AE，CF，OE間的等量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析過(guò)程；
（2）①證明見(jiàn)解析過(guò)程；
②CF＝OE+AE，證明見(jiàn)解析過(guò)程；
（3）CF＝2OE?sinα﹣AE，證明見(jiàn)解析過(guò)程．
【解答】（1）解：【小明】∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∵DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即：OE＝OF，
又∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
【小強(qiáng)】∵AE∥CF，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴OA＝OC，
又∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴AE＝CF．
（2）①證明：如圖，延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)M．

∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CM，
∴∠CMO＝∠AEO，
又∠COM＝∠AOE
∴△AOE≌△COM（AAS）．
∴AE＝CM，OE＝OM．
即．
在Rt△MEF中，．
∴OE＝OF．
②解：CF＝OE+AE．
∵∠OEF＝30°，
∴．
∴MF＝OE．
∵CF＝MF+CM，
∴CF＝OE+AE．

（3）解：CF＝2OE?sinα﹣AE．
如圖，延長(zhǎng)EO交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

同法（2）可得：△AOE≌△COM．
∴．
在Rt△MEF中，．
∴OE＝OF．
在Rt△MEF中，MF＝EM?sin∠MEF．
即MF＝2OE?sinα．
∵CF＝MF﹣CM，
∴CF＝2OE?sinα﹣AE．
五．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
5．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，PB⊥AB，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OP交⊙O于點(diǎn)C，垂足為D，連接PC并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．
（1）求證：PM是⊙O的切線；
（2）若，求的值．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OC＝OB，BC⊥OP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，
∴△PBO≌△PCO（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP，
∵PB⊥AB，
∴∠ABP＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PM是⊙O的切線；
（2）解：連接AC，
∵∠OCP＝∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠CPO，
∴△OCD∽△OPC，
∴＝，
∴OC2＝OD?OP，
∵，
∴設(shè)OD＝x，PD＝9x，
∴OP＝10x，
∴OC＝x，
∴BC＝6x，
∴AC＝＝2x，
∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，
∴∠ACM＝∠OCD，
∴∠ACM＝∠CPO，
∴AC∥OP，
∴△ACM∽△OPM，
∴＝＝，
∴＝．

六．幾何變換綜合題（共1小題）
6．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
（1）猜想觀察：如圖1，若α＝60°，BD交AC于點(diǎn)M，則的值是　1　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　60°　．
（2）類比探究：如圖2，若α＝90°，BD與AC，PC分別相交于點(diǎn)M，N．求的值及∠CNM的度數(shù)．
（3）解決問(wèn)題：如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，若P，D，C三點(diǎn)在同一直線上，且DA＝DC，BD交AC于點(diǎn)M，DM＝2﹣，求AP的長(zhǎng)．

【答案】（1）1，60°；
（2），45°；
（3）1．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)BD交PC于Q，

∵α＝60°，
∴AB＝AC，AD＝AP，
∵∠CAB＝60°＝∠PAD，
∴∠CAB+∠DAC＝∠PAD+∠DAC，
即∠DAB＝∠PAC，
∴在△CPA和△BDA中，
，
∴△CPA≌△BDA（SAS），
∴BD＝CP，
即，
在△CMQ和△AMB中，∠PCA＝∠DBA且∠QMC＝∠BMA，
∴∠CQM＝∠CAB＝60°，
故答案為：1，60°；
（2）∵線段AP繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DP，
∴△PAD是等腰直角三角形，
∴∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，
∴＝cos∠PAD＝cos45°＝，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴＝cos∠CAB＝cos45°＝，
∴，
又∵∠PAD+∠CAD＝∠CAB+∠CAD，
即∠PAC＝∠DAB，
∴△PAC∽△DAB，
∴∠PCA＝∠DBA，，
即＝，
∵∠BMC＝∠CNM+∠PCA＝∠BAC+∠DBA，∠DBA＝∠PCA，
∴∠CNM＝∠BAC＝45°；
（3）設(shè)AP＝PD＝x，則AD＝x，
∵DA＝DC，
∴PC＝PD+CD＝（+1）x，
由（2）知，
∴BD＝PC＝（+1）x＝（2+）x，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵∠PCA＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠BAD，
又∵∠ADM＝∠BDA，
∴△ADM∽△BDA，
∴＝，
即AD2＝DM?BD，
∴（x）2＝（2﹣）（2+）x，
解得x＝1或x＝0（舍去），
∴AP＝1．
七．相似形綜合題（共1小題）
7．（2023?威海一模）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，∠CDF＝45°，求證：AC?BF＝AD?BD．
（2）嘗試應(yīng)用：如圖2，在△ABC中，，∠B＝45°，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形ADE，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，若，求CD的長(zhǎng)．
（3）拓展提高：如圖3，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，E為AB中點(diǎn)，D為AE中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線DM∥BC交AC于M，在直線DM上取一點(diǎn)F，連接BF交CE于點(diǎn)H；若當(dāng)∠FHC＝∠ABC時(shí)，DF?BC的值為定值，請(qǐng)直接寫(xiě)出該定值為　12　．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析過(guò)程；
（2）5；
（3）12．
【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠A+∠ACD＝∠CDF+∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°，
∴∠ACD＝∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴，
∴AC?BF＝AD?BD；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF與CD交于點(diǎn)F，使∠EFD＝45°，

∵∠B＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，
∴，
∵，，
∴，
∵∠EFD＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠EFC＝∠DEC＝135°，
∴△EFC∽△DEC，
∴
∵，
∴EC2＝FC?CD＝FC×（4+FC），
∴5＝FC×（4+FC），
∴FC＝1，
∴CD＝5；

（3）解：DF?BC＝12，

如圖，在DA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使∠DNF＝∠ABC，
由AB＝AC，DM∥BC，
∴∠ADM＝∠AMD＝∠ABC＝∠ACB，∠FMC＝∠DNF，
∴△FDN∽△ABC，
∴，
即NF?BC＝ND?AB，
又由∠ABC＝∠FHC，得∠ABF+∠FBC＝∠FBC+∠ECB，
∴∠ABF＝∠ECB，
∴△NFB∽△BEC，
∴ 即NF?BC＝NB?BE，
∴NB?BE＝ND?AB，
依題意得：AD＝DE＝1，BE＝2，
∴NB?2＝ND?4，
∴NB＝2ND，
∴ND＝BD＝3，
∴NB＝6，
∴NF?BC＝6×2＝12，
即DF?BC＝12．
故答案為：12．
八．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）
8．（2023?環(huán)翠區(qū)一模）某商場(chǎng)為掌握國(guó)慶節(jié)期間顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的分布情況，統(tǒng)計(jì)了10月1日7：00﹣23：00這一時(shí)間段內(nèi)5000名顧客的購(gòu)買時(shí)刻．顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，將7：00﹣23：00這一時(shí)間段劃分為四個(gè)小的時(shí)間段：A段為7：00≤t＜11：00，B段為11：00≤t＜15：00，C段為15：00≤t＜19：00，D段為19：00≤t≤23：00，其中t為顧客購(gòu)買商品的時(shí)刻，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，A，B，C，D四段各部分圓心角的度數(shù)比為1：3：4：2．

請(qǐng)根據(jù)上述信息解答下列問(wèn)題：
（1）通過(guò)計(jì)算將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的中位數(shù)落在哪個(gè)時(shí)間段？
（2）求10月1日這天顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的平均值（同一時(shí)間段內(nèi)顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的平均值用該時(shí)段的中點(diǎn)值代表，例如，A段的中點(diǎn)值為：＝9）；
（3）為活躍節(jié)日氣氛，該商場(chǎng)設(shè)置購(gòu)物后抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)立了特等獎(jiǎng)一個(gè)，一等獎(jiǎng)兩個(gè)，二等獎(jiǎng)若干，并隨機(jī)分配到A，B，C，D四個(gè)時(shí)間段中．
①請(qǐng)直接寫(xiě)出特等獎(jiǎng)出現(xiàn)在A時(shí)間段的概率；
②請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩個(gè)一等獎(jiǎng)出現(xiàn)在不同時(shí)間段的概率．
【答案】（1）補(bǔ)全的統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析，中位數(shù)落在C段：15：00≤t＜19：00；
（2）10月1日這天顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的平均值為15.8；
（3）兩個(gè)一等獎(jiǎng)出現(xiàn)在不同時(shí)間段的概率是．
【解答】解：（1）∵扇形統(tǒng)計(jì)圖中，A，B，C，D四段各部分圓心角的度數(shù)比為1：3：4：2，
∴B段的顧客人數(shù)為5000×＝1500（人），C段的顧客人數(shù)為5000×＝2000（人），
故補(bǔ)全的統(tǒng)計(jì)圖如下，

∴中位數(shù)落在C段：15：00≤t＜19：00；
（2）（500×9+1500×13+2000×17+21×1000）÷5000＝15.8，
所以，10月1日這天顧客購(gòu)買商品時(shí)刻的平均值為15.8；
（3）
①特等獎(jiǎng)出現(xiàn)在A時(shí)間段的概率為；
②根據(jù)題意，樹(shù)狀圖如下：

總共有16種等可能的結(jié)果，兩個(gè)一等獎(jiǎng)出現(xiàn)在不同時(shí)間段的情況有12種，
故兩個(gè)一等獎(jiǎng)出現(xiàn)在不同時(shí)間段的概率是＝．

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