?江蘇省鎮(zhèn)江市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類
一．分式的混合運(yùn)算（共1小題）
1．（2023?鎮(zhèn)江）（1）計(jì)算：﹣4sin45°+（）0；
（2）化簡(jiǎn)：（1﹣）÷．
二．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）
2．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點(diǎn)，C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　 　，k＝　 　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　 　；
（2）點(diǎn)P在x軸上，若以B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

3．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點(diǎn)F．
（1）k＝　 ??；
（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：am＝﹣2；
（3）連接CE，DE，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：　 ?。?br />
三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）
4．（2022?鎮(zhèn)江）一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、原點(diǎn)O和一次函數(shù)y＝x+1圖象上的點(diǎn)B（m，）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，一次函數(shù)y＝x+n（n＞﹣，n≠1）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點(diǎn)C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），過點(diǎn)C作直線l1⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作直線l2⊥x軸，過點(diǎn)B作BF⊥l2于點(diǎn)F．
①x1＝　 　，x2＝　 ?。ǚ謩e用含n的代數(shù)式表示）；
②證明：AE＝BF；
（3）如圖2，二次函數(shù)y＝a（x﹣t）2+2的圖象是由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到的，且與一次函數(shù)y＝x+1的圖象交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），過點(diǎn)P作直線l3⊥x軸，過點(diǎn)Q作直線l4⊥x軸，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，過點(diǎn)A′作A′M⊥l3于點(diǎn)M，過點(diǎn)B′作B′N⊥l4于點(diǎn)N．
①A′M與B′N相等嗎？請(qǐng)說明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．

5．（2021?鎮(zhèn)江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（﹣4，8），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M在邊AC上（異于點(diǎn)A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，折痕所在直線l交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，然后將紙片展開．
①請(qǐng)作出圖中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N和折痕所在直線l；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
②連接MP，NP，在下列選項(xiàng)中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點(diǎn)可以落在拋物線的對(duì)稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是 　 ?。?br /> ③點(diǎn)Q在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當(dāng)△PDQ～△PMN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

四．三角形綜合題（共2小題）
6．（2023?鎮(zhèn)江）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長(zhǎng)的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，OA、OB分別表示門框和門所在位置，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的定點(diǎn)，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定長(zhǎng)，∠MFN大小可變．

（1）圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度數(shù)；
（2）圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置OB（用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值＝　 　．
參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
7．（2023?鎮(zhèn)江）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB、AC分別與y軸交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，EF＝2．
（1）分別求點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)（用含m、n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；
（2）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m、縱坐標(biāo)n滿足的數(shù)量關(guān)系（用含m的代數(shù)式表示n）；
（3）將線段EF繞點(diǎn)（0，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E'、F'．當(dāng)線段E'F'與點(diǎn)B所在的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．

五．四邊形綜合題（共3小題）
8．（2023?鎮(zhèn)江）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中點(diǎn)D、E，在邊BC上作MN＝DE．
②連接EM，過點(diǎn)D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．
③將四邊形BDGM剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．
④延長(zhǎng)PQ、ST交于點(diǎn)F．
小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：
①點(diǎn)Q、A、T在一條直線上；
②四邊形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．
[任務(wù)1]請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．
[任務(wù)2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．
[任務(wù)3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點(diǎn)P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長(zhǎng)．

9．（2022?鎮(zhèn)江）已知，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH＝AB；
（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當(dāng)AE、CF的大小有 　 　關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；
（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點(diǎn)O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，F(xiàn)H長(zhǎng)為20，當(dāng)△OEH的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

10．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點(diǎn)E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABCDEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．
【活動(dòng)】
小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個(gè)作圖方案：如圖2，將這個(gè)L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．
請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）

【思考】
如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點(diǎn)M，N，過MN的中點(diǎn)O的直線分別交邊BC，AF于點(diǎn)P，Q，直線PQ　 ?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保㎜圖形ABCDEF的面積平分線．

【應(yīng)用】
在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如圖4，CD＝AF＝1．
①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)P，Q，求PQ長(zhǎng)的最大值；
②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，當(dāng)GH的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BG的長(zhǎng)為 　 ?。?br /> （2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍 　 　．
六．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）
11．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，?O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．
（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．

七．切線的性質(zhì)（共1小題）
12．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，將矩形ABCD（AD＞AB）沿對(duì)角線BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，r為半徑畫圓，⊙A與BC′相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB于點(diǎn)G．
（1）求證：BE＝BG；
（2）當(dāng)r＝1，AB＝2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．

八．圓的綜合題（共1小題）
13．（2022?鎮(zhèn)江）（1）已知AC是半圓O的直徑，∠AOB＝（）°（n是正整數(shù)，且n不是3的倍數(shù)）是半圓O的一個(gè)圓心角．
【操作】如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

【交流】當(dāng)n＝11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分嗎？
從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60°、（）°所對(duì)的弧去找（）°的三分之一即（）°所對(duì)的弧
我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關(guān)系是4×（）°﹣60°＝（）°．
我再試試：當(dāng)n＝28時(shí)，（）°、60°、（）°之間存在數(shù)量關(guān)系 　 ?。?br /> 因此可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分．
【探究】你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分？說說你的理由；
（2）如圖2，⊙O的圓周角∠PMQ＝（）°．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分?。ㄒ螅簝H用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．


九．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
14．（2021?鎮(zhèn)江）如表是第四至七次全國(guó)人口普查的相關(guān)數(shù)據(jù)．
年份
我國(guó)大陸人口總數(shù)
其中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)
每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)
1990年
1133682501
16124678
1422
2000年
1265830000
45710000
3611
2010年
1339724852
119636790
8930
2020年
1411778724
218360767
15467
（1）設(shè)下一次人口普查我國(guó)大陸人口共a人，其中具有大學(xué)文化程度的有b人，則該次人口普查中每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)為 　 ??；（用含有a，b的代數(shù)式表示）
（2）如果將2020年大陸人口中具有各類文化程度（含大學(xué)、高中、初中、小學(xué)、其他）的人數(shù)分布制作成扇形統(tǒng)計(jì)圖，求其中表示具有大學(xué)文化程度類別的扇形圓心角的度數(shù)；（精確到1°）
（3）你認(rèn)為統(tǒng)計(jì)“每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)”這樣的數(shù)據(jù)有什么好處？（寫出一個(gè)即可）
一十．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
15．（2023?鎮(zhèn)江）香醋中有一種物質(zhì)，其含量不同，風(fēng)味不同，各風(fēng)味香醋中該種物質(zhì)的含量如表：
風(fēng)味
偏甜
適中
偏酸
含量（mg/100ml）
71.2
89.8
110.9
某超市銷售不同包裝（塑料瓶裝和玻璃瓶裝）的以上三種風(fēng)味的香醋，小明將該超市1﹣5月份售出的香醋數(shù)量繪制成如下的條形統(tǒng)計(jì)圖：

已知1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%．
（1）求出a、b的值；
（2）售出的玻璃瓶裝香醋中的該種物質(zhì)的含量的眾數(shù)為 　 　mg/100ml，中位數(shù)為 　 　mg/100ml；
（3）根據(jù)小明繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖，你能獲得哪些信息（寫出一條即可）？
一十一．列表法與樹狀圖法（共1小題）
16．（2022?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于 　 ??；
（2）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷鲆粋€(gè)球．用列表或畫樹狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率．

江蘇省鎮(zhèn)江市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類
參考答案與試題解析
一．分式的混合運(yùn)算（共1小題）
1．（2023?鎮(zhèn)江）（1）計(jì)算：﹣4sin45°+（）0；
（2）化簡(jiǎn)：（1﹣）÷．
【答案】（1）1；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+1
＝2﹣2+1
＝1；
（2）原式＝×
＝．
二．反比例函數(shù)綜合題（共2小題）
2．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點(diǎn)，C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　﹣3　，k＝　﹣3　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ?。ī?，0）??；
（2）點(diǎn)P在x軸上，若以B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，0）或（2.5，0）．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即點(diǎn)B（1，﹣3），
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達(dá)式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣，
根據(jù)正比例函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)A（﹣1，3），
由點(diǎn)O、A的坐標(biāo)得，OA＝，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，

由直線AB的表達(dá)式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
設(shè)AH＝3x＝CH，則OH＝x，則AO＝x＝，則x＝1，
則AH＝CH＝3，OH＝1，
則CO＝CH+OH＝4，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（﹣4，0），
故答案為：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，則，
則OP＝OC＝4，
即點(diǎn)P（4，0）；
若△AOC∽△POB，則，
即，
解得：OP＝2.5，
即點(diǎn)P（2.5，0），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，0）或（2.5，0）．
3．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點(diǎn)F．
（1）k＝　2?。?br /> （2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為m，求證：am＝﹣2；
（3）連接CE，DE，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：?。?，）　．

【答案】（1）2；
（2）證明見解答過程；
（3）（，）．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點(diǎn)，
∴＝1，
解得k＝2，
故答案為：2；
（2）在△ACF和△BDF中，
，
∴△ACF≌△BDF（AAS），
∴S△BDF＝S△ACF，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，），則可得C（0，），
∴AC＝a，OC＝，
即a×（﹣m）＝a×（+m），
整理得am＝﹣2；
（3）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），
則C（0，），D（0，﹣），
∵E（2，1），∠CED＝90°，
∴CE2+DE2＝CD2，
即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）
4．（2022?鎮(zhèn)江）一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、原點(diǎn)O和一次函數(shù)y＝x+1圖象上的點(diǎn)B（m，）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，一次函數(shù)y＝x+n（n＞﹣，n≠1）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點(diǎn)C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），過點(diǎn)C作直線l1⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作直線l2⊥x軸，過點(diǎn)B作BF⊥l2于點(diǎn)F．
①x1＝　　，x2＝　?。ǚ謩e用含n的代數(shù)式表示）；
②證明：AE＝BF；
（3）如圖2，二次函數(shù)y＝a（x﹣t）2+2的圖象是由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到的，且與一次函數(shù)y＝x+1的圖象交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），過點(diǎn)P作直線l3⊥x軸，過點(diǎn)Q作直線l4⊥x軸，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，過點(diǎn)A′作A′M⊥l3于點(diǎn)M，過點(diǎn)B′作B′N⊥l4于點(diǎn)N．
①A′M與B′N相等嗎？請(qǐng)說明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．

【答案】（1）y＝x2+2x；
（2）①，；
②證明見解答；
（3）①A′M＝B′N，證明見解答；
②t＝3或8．
【解答】（1）解：∵直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，
令y＝0，得x+1＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵直線y＝x+1經(jīng)過點(diǎn)B（m，），
∴m+1＝，
解得：m＝，
∴B（，），
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣2，0），O（0，0），B（，），
設(shè)y＝ax（x+2），則＝a××（+2），
解得：a＝1，
∴y＝x（x+2）＝x2+2x，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x；
（2）①解：由題意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），
解得：x1＝，x2＝，
故答案為：，；
②證明：當(dāng)n＞1時(shí)，CD位于AB的上方，
∵A（﹣2，0），B（，），
∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，
∴AE＝BF，
當(dāng)＜n＜1時(shí)，CD位于AB的下方，
∵A（﹣2，0），B（，），
∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，
∴AE＝BF，
∴當(dāng)n＞﹣且n≠1時(shí)，AE＝BF；
（3）①設(shè)P、Q平移前的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P′、Q′，則P′Q′∥PQ，
∴P′Q′∥AB，
∵平移后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，
由（2）②及平移的性質(zhì)可知：A′M＝B′N；
②∵A′M+3B′N＝2，
∴A′M＝B′N＝，
∵平移前二次函數(shù)y＝x2+2x的圖象的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣1），平移后二次函數(shù)y＝（x﹣t）2+2的圖象的頂點(diǎn)為（t，2），
∴新二次函數(shù)的圖象是由原二次函數(shù)的圖象向右平移（t+1）個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的，
∴B（，）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（t+，），
∵B′N＝，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t+1或t+2，代入y＝x+1，得y＝（t+1）+1＝t+或y＝（t+2）+1＝t+2，
∴Q（t+1，t+）或Q（t+2，t+2），
將點(diǎn)Q（t+1，t+）代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+＝（t+1﹣t）2+2，
解得：t＝3，
將點(diǎn)Q（t+2，t+2）代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+2＝（t+2﹣t）2+2，
解得：t＝8，
綜上所述，t＝3或8．
5．（2021?鎮(zhèn)江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣6，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（﹣4，8），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M在邊AC上（異于點(diǎn)A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，折痕所在直線l交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，然后將紙片展開．
①請(qǐng)作出圖中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N和折痕所在直線l；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
②連接MP，NP，在下列選項(xiàng)中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點(diǎn)可以落在拋物線的對(duì)稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是 　A，D?。?br /> ③點(diǎn)Q在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當(dāng)△PDQ～△PMN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝+，D（﹣4，﹣）．
（2）①作圖見解析部分．
②A，D．
③點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（﹣10，）．
【解答】解（1）由題意得：，
解之得：a＝，b＝，c＝2，
∴y＝+，
∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝＝﹣，
∴D（﹣4，﹣）．

（2）①如圖1中，點(diǎn)N，直線l即為所求．


②如圖2中，設(shè)線段MN的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P，交MN于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MH⊥CD，過點(diǎn)Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由題意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），

∴直線AC的解析式為y＝4x+24，直線AB的解析式為y＝x+2，直線BC的解析式為y＝﹣x+2，
∵M(jìn)N∥AB，
∴可以假設(shè)直線MN的解析式為y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故選項(xiàng)D正確，B，C錯(cuò)誤，
∵將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，
∴折痕與AB垂直，故選項(xiàng)A正確，
故答案為：A，D．

③設(shè)P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），
把Q的坐標(biāo)代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣（舍棄），
∴Q（2，），
根據(jù)對(duì)稱性可知Q′（﹣10，）也滿足條件，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（﹣10，）．
四．三角形綜合題（共2小題）
6．（2023?鎮(zhèn)江）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長(zhǎng)的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，OA、OB分別表示門框和門所在位置，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的定點(diǎn)，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定長(zhǎng)，∠MFN大小可變．

（1）圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度數(shù)；
（2）圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置OB（用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值＝　0.75?。?br /> 參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【答案】（1）∠MNB的度數(shù)為143°；
（2）作圖見解答；
（3）0.75．
【解答】解：（1）如圖2，∵OA⊥OB，點(diǎn)M、N分別是OA、OB上的定點(diǎn)，
∴∠MON＝90°，
∵∠MFN＝180°，
∴M、F、N三點(diǎn)在同一條直線上，
∵OM＝27cm，ON＝36cm，
∴tan∠ONM＝＝＝0.75，
∴∠ONM＝37°，
∴∠MNB＝180°﹣37°＝143°，
∴∠MNB的度數(shù)為143°．
（2）如圖3，作法：1．以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)N為半徑作弧，
2．以點(diǎn)F為圓心，以FN為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)N、點(diǎn)N′，
3．作射線OB、射線OB′，
射線OB或射線OB′就是此時(shí)門的位置．
（3）如圖4，作OD⊥MN于點(diǎn)D，則∠ODN＝90°，
∴sin∠ONM＝＝，
∴當(dāng)OD最大時(shí)，sin∠ONM的值最大，
∵OM≥OD，
∴OD≤27cm，
∴OD的最大值為27cm，
當(dāng)OD取得最大值27cm時(shí)，sin∠ONM＝＝0.75，
∴在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值是0.75，
故答案為：0.75．


7．（2023?鎮(zhèn)江）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB、AC分別與y軸交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，EF＝2．
（1）分別求點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)（用含m、n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；
（2）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m、縱坐標(biāo)n滿足的數(shù)量關(guān)系（用含m的代數(shù)式表示n）；
（3）將線段EF繞點(diǎn)（0，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E'、F'．當(dāng)線段E'F'與點(diǎn)B所在的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．

【答案】（1）E（0，﹣），F(xiàn)（0，﹣），m＜﹣3；
（2）n＝m2﹣1；
（3）m的取值范圍為9﹣6．
【解答】解：（1）由直線AB與y軸交于E，得m≠3，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴C（﹣m，﹣m），
由直線AC與y軸交于點(diǎn)F，得﹣m≠3，
即m≠﹣3，
綜上所述，m≠±3，
設(shè)直線AB對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，
將A（3，0），B（m，n）代入y＝kx+b得，，
解得b＝﹣，
∴E（0，﹣），
同理F（0，﹣）；
由點(diǎn)F在點(diǎn)E上邊可以求出m＜﹣3；
（2）由題意得，EF＝﹣﹣（）＝2，
整理得，n＝m2﹣1；
（3）∵n與m的關(guān)系式為n＝m2﹣1，
∴B（m，n）在函數(shù)y＝x2﹣1（x≠±3）的圖象上，
由旋轉(zhuǎn)得，yE′＝1，
當(dāng)E′在點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象上時(shí)，xE′2﹣1＝1，
解得xE′＝，
∵線段E'F'與點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，
∴﹣3或3，
由旋轉(zhuǎn)得，﹣3或3；
∵yE＝﹣，
∴m的取值范圍為9﹣6．

五．四邊形綜合題（共3小題）
8．（2023?鎮(zhèn)江）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中點(diǎn)D、E，在邊BC上作MN＝DE．
②連接EM，過點(diǎn)D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．
③將四邊形BDGM剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．
④延長(zhǎng)PQ、ST交于點(diǎn)F．
小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：
①點(diǎn)Q、A、T在一條直線上；
②四邊形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．
[任務(wù)1]請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．
[任務(wù)2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．
[任務(wù)3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點(diǎn)P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長(zhǎng)．

【答案】[任務(wù)1]見解析；
[任務(wù)2]見解析；
[任務(wù)3]．
【解答】[任務(wù)1]證明：由旋轉(zhuǎn)得，∠QAD＝∠ABC，∠TAE＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠QAD+∠DAE+∠TAE＝180°，
∴點(diǎn)Q、A、T在一條直線上；
[任務(wù)2]證明：連接AQ并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于E，

∵AD∥BC，
∴∠DAQ＝∠E，
∵Q是CD的中點(diǎn)，
∴DQ＝CQ，
∵∠AQD＝∠EQC，
∴△ADQ≌△ECQ（AAS），
∴AQ＝EQ，AD＝CE，
∵P是AB的中點(diǎn)，
∴PQ是△ABC的中位線，
∴PQ＝BE＝（CE+BC），
∴PQ＝（AD+BC）；
[任務(wù)3]解：由[任務(wù)2]知PQ∥BC，PQ＝5，
作DR⊥BC于R，

在Rt△DCR中，DR＝CD?sin∠DCB＝9×＝，
∵四邊形GEST是正方形，
∴GE＝6，PE＝3，
∴QE＝＝4，
∵Q是CD的中點(diǎn)，
∴CQ＝，
作QH⊥BC于H，
∴QH＝CQ?sin∠DCB＝，
∴CH＝＝，
∵PQ∥BC，
∴∠PQE＝∠QMH，
∵∠PEQ＝∠QHM，
∴△PEQ∽△QMH，
∴，
∴，
∴HM＝，
∴BM＝BC﹣HM﹣CH＝8﹣＝．
9．（2022?鎮(zhèn)江）已知，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH＝AB；
（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當(dāng)AE、CF的大小有 　AE＝CF　關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；
（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點(diǎn)O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，F(xiàn)H長(zhǎng)為20，當(dāng)△OEH的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

【答案】（1）證明見解析部分；
（2）AE＝CF．證明見解析部分；
（3）結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形．證明見解析部分．
【解答】（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AEH+∠AHE＝90°，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AHE，
在△AEH和△BFE中，
，
∴△AEH≌△BFE（AAS），
∴AH＝BE，
∴AE+AH＝AE+BE＝AB；

（2）解：當(dāng)AE＝CF時(shí)，四邊形EFGH是矩形．
理由：如圖2中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝BF，DH＝DG，
∴∠AEH＝∠BEF＝45°，
∴∠HEF＝90°
同法可證，∠EHG＝90°，∠EFG＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形．
故答案為：AE＝CF；

（3）解：結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形．
理由：如圖3中，過點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M．，交EG于點(diǎn)N．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵AE＝DG，AE∥DG，
∴四邊形AEGD是平行四邊形，
∴AD∥EG，
∴EG∥BC，
∴＝，
∵OE：OF＝4：5，
設(shè)OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，則＝，
∴h＝4（4﹣x），
∴S＝?OE?HN＝×4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2+32，
∵﹣8＜0，
∴x＝2時(shí)，△OEH的面積最大，
∴OE＝4x＝8＝EG＝OG，OF＝5x＝10＝HF＝OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
10．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，F(xiàn)E，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點(diǎn)E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABCDEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．
【活動(dòng)】
小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個(gè)作圖方案：如圖2，將這個(gè)L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．
請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）

【思考】
如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點(diǎn)M，N，過MN的中點(diǎn)O的直線分別交邊BC，AF于點(diǎn)P，Q，直線PQ　是?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保㎜圖形ABCDEF的面積平分線．

【應(yīng)用】
在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如圖4，CD＝AF＝1．
①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)P，Q，求PQ長(zhǎng)的最大值；
②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，當(dāng)GH的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BG的長(zhǎng)為 　?。?br /> （2）設(shè)＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍 　t＞　．
【答案】【活動(dòng)】所畫圖形如圖1，見解答；
【思考】是；
【應(yīng)用】（1）①PQ長(zhǎng)的最大值為；
②；
（2）t＞．
【解答】解：【活動(dòng)】如圖1，直線O1O2是該L圖形的面積平分線；

【思考】如圖2，∵∠A＝∠B＝90°，

∴AF∥BC，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，
∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴△OQN≌△OPM（AAS），
∴S△OQN＝S△OPM，
∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，
∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，
即SABPON＝SCDEFQOM，
∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，
即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，
∴直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線．
故答案為：是；
【應(yīng)用】
（1）①如圖3，當(dāng)P與B重合時(shí)，PQ最大，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，

L圖形ABCDEF的面積＝4×6﹣（4﹣1）×（6﹣1）＝9，
∵PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線，
∴梯形CDQP的面積＝×（DQ+BC）×CD＝，
即×（DQ+6）×1＝，
∴DQ＝CH＝3，
∴PH＝6﹣3＝3，
∵QH＝CD＝1，
由勾股定理得：PQ＝＝；
即PQ長(zhǎng)的最大值是；
②如圖4，當(dāng)GH⊥AB時(shí)GH最短，過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，

設(shè)BG＝x，則MG＝1﹣x，
根據(jù)上下兩部分面積相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，
解得x＝，即BG＝；
故答案為：；
（2）∵＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，
如圖5，直線DE將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，
延長(zhǎng)DE交AB于G，延長(zhǎng)FE交BC于H，

只需要滿足S矩形AGEF＜S矩形EHCD，
即S矩形ABHF＜S矩形CDGB，
∴6CD＞4AF，
∴＞，
∴t＞．
故答案為：t＞．
六．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）
11．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，?O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．
（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．

【答案】（1）證明見解析部分．
（2）．
【解答】解：（1）如圖1﹣1中，連接AP，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP是直徑，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四邊形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）如圖2中，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于T，連接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直徑，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
設(shè)PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
備注：本題也可以用面積法，連接PQ，PE，設(shè)BP＝x，

在Rt△PEQ中，
PE2＝x2+（2﹣4）2，
在Rt△PEC中，
PE2＝（4﹣x）2+22，
則x2+（2﹣4）2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝PB＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
七．切線的性質(zhì)（共1小題）
12．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，將矩形ABCD（AD＞AB）沿對(duì)角線BD翻折，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，r為半徑畫圓，⊙A與BC′相切于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB于點(diǎn)G．
（1）求證：BE＝BG；
（2）當(dāng)r＝1，AB＝2時(shí)，求BC的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見解析；
（2）2．
【解答】（1）證明：連接AE，
∵BC′與圓相切于E，
∴半徑AE⊥BE，
∴∠BEG+∠AEG＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝2，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AGF+∠F＝90°，
∵AF＝AE，
∴∠F＝∠AEG，
∴∠AGF＝∠BEG，
∵∠AGF＝∠BGE，
∴∠BEG＝∠BGE，
∴BE＝BG；
（2）解：∵∠AEB＝90°，AE＝1，AB＝2，
∴sin∠ABE＝＝，
∴∠ABE＝30°，
由折疊的性質(zhì)得到∠CBD＝∠DBC′，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝×（90°﹣30°）＝30°，
∴BC＝CD＝2．

八．圓的綜合題（共1小題）
13．（2022?鎮(zhèn)江）（1）已知AC是半圓O的直徑，∠AOB＝（）°（n是正整數(shù)，且n不是3的倍數(shù)）是半圓O的一個(gè)圓心角．
【操作】如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

【交流】當(dāng)n＝11時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分嗎？
從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60°、（）°所對(duì)的弧去找（）°的三分之一即（）°所對(duì)的弧
我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關(guān)系是4×（）°﹣60°＝（）°．
我再試試：當(dāng)n＝28時(shí)，（）°、60°、（）°之間存在數(shù)量關(guān)系 　60°﹣9×（）°＝（）°?。?br /> 因此可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分．
【探究】你認(rèn)為當(dāng)滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分？說說你的理由；
（2）如圖2，⊙O的圓周角∠PMQ＝（）°．為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分?。ㄒ螅簝H用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．


【答案】（1）【操作】作圖見解析部分；
【交流】60°﹣9×（）°＝（）°．
【探究】所以對(duì)于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分．
（2）作圖見解析部分．
【解答】解：（1）【操作】三等分點(diǎn)如圖所示：

【交流】60°﹣9×（）°＝（）°．
故答案為：60°﹣9×（）°＝（）°；
【探究】設(shè)60°﹣k?（）°＝（）°或k?（）°﹣60°＝（）°
解得，n＝3k+1或n＝3k﹣1（k為非負(fù)整數(shù)），
所以對(duì)于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對(duì)的弧三等分．

（2）如圖2中，即為所求．的度數(shù)＝的度數(shù)＝60°，的度數(shù)＝120﹣（）°+60°＝（）°．

九．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
14．（2021?鎮(zhèn)江）如表是第四至七次全國(guó)人口普查的相關(guān)數(shù)據(jù)．
年份
我國(guó)大陸人口總數(shù)
其中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)
每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)
1990年
1133682501
16124678
1422
2000年
1265830000
45710000
3611
2010年
1339724852
119636790
8930
2020年
1411778724
218360767
15467
（1）設(shè)下一次人口普查我國(guó)大陸人口共a人，其中具有大學(xué)文化程度的有b人，則該次人口普查中每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)為 　?。唬ㄓ煤衋，b的代數(shù)式表示）
（2）如果將2020年大陸人口中具有各類文化程度（含大學(xué)、高中、初中、小學(xué)、其他）的人數(shù)分布制作成扇形統(tǒng)計(jì)圖，求其中表示具有大學(xué)文化程度類別的扇形圓心角的度數(shù)；（精確到1°）
（3）你認(rèn)為統(tǒng)計(jì)“每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)”這樣的數(shù)據(jù)有什么好處？（寫出一個(gè)即可）
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：由題意得，
（1）下一次人口普查中每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)為，
故答案為：；
（2）360°×≈56°，
答：表示具有大學(xué)文化程度類別的扇形圓心角的度數(shù)大約為56°；
（3）比較直觀的反應(yīng)出“每10萬(wàn)大陸人口中具有大學(xué)文化程度的人數(shù)”的大小，說明國(guó)民素質(zhì)和文化水平的情況．
一十．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
15．（2023?鎮(zhèn)江）香醋中有一種物質(zhì)，其含量不同，風(fēng)味不同，各風(fēng)味香醋中該種物質(zhì)的含量如表：
風(fēng)味
偏甜
適中
偏酸
含量（mg/100ml）
71.2
89.8
110.9
某超市銷售不同包裝（塑料瓶裝和玻璃瓶裝）的以上三種風(fēng)味的香醋，小明將該超市1﹣5月份售出的香醋數(shù)量繪制成如下的條形統(tǒng)計(jì)圖：

已知1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%．
（1）求出a、b的值；
（2）售出的玻璃瓶裝香醋中的該種物質(zhì)的含量的眾數(shù)為 　110.9　mg/100ml，中位數(shù)為 　89.8　mg/100ml；
（3）根據(jù)小明繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖，你能獲得哪些信息（寫出一條即可）？
【答案】（1）18，20；（2）110.9，89.8；（3）人們更喜歡風(fēng)味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．
【解答】解：（1）∵1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%，
∴售出“偏酸”的香醋的數(shù)量為150×40%＝60（瓶）．
∴a+42＝60，解得a＝18．
∵15+b+17+38+a+42＝150，即130+b＝150，解得b＝20．
綜上，a＝18，b＝20．
（2）售出的玻璃瓶裝香醋的數(shù)量為20+38+42＝100（瓶）．
其中：風(fēng)味偏甜的有20瓶，風(fēng)味適中的有38瓶，風(fēng)味偏酸的有42瓶，
∵售出的風(fēng)味偏酸的數(shù)量最多，風(fēng)味適中的數(shù)量居中，
∴售出的玻璃瓶裝香醋中的該種物質(zhì)的含量的眾數(shù)為110.9mg/100ml，中位數(shù)為89.8mg/100ml．
故答案為：110.9，89.8．
（3）根據(jù)小明繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖可知，人們更喜歡風(fēng)味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．
一十一．列表法與樹狀圖法（共1小題）
16．（2022?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于 　??；
（2）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷鲆粋€(gè)球．用列表或畫樹狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于＝，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中2次都摸到紅球的結(jié)果有1種，
∴2次都摸到紅球的概率為．

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