?青海省2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類
一．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
1．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，求四邊形AOBP的面積（請?jiān)趫D1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請?jiān)趫D2中探索）．

2．（2022?青海）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E是拋物線的對稱軸與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，求EF的長；
（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在滿足S△PAB＝6的點(diǎn)P？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（請?jiān)趫D2中探討）


3．（2021?青海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AB的垂線段，垂足為Q點(diǎn)．當(dāng)PQ＝時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

二．三角形綜合題（共1小題）
4．（2022?青海）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；
（2）解決問題：
如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．


三．圓的綜合題（共2小題）
5．（2023?青海）綜合與實(shí)踐
車輪設(shè)計(jì)成圓形的數(shù)學(xué)道理
小青發(fā)現(xiàn)路上行駛的各種車輛，車輪都是圓形的．為什么車輪要做成圓形的呢？這里面有什么數(shù)學(xué)道理嗎？帶著這樣的疑問，小青做了如下的探究活動(dòng)：
將車輪設(shè)計(jì)成不同的正多邊形，在水平地面上模擬行駛．
（1）探究一：將車輪設(shè)計(jì)成等邊三角形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖1，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝120°．此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是BD（水平線），請?jiān)趫D2中計(jì)算C到BD的距離d1．
（2）探究二：將車輪設(shè)計(jì)成正方形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖3，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝90°．此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是BD（水平線），請?jiān)趫D4中計(jì)算C到BD的距離d2（結(jié)果保留根號）．
（3）探究三：將車輪設(shè)計(jì)成正六邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖5，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，圓心角∠BAD＝　 　．
此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是BD（水平線），在圖6中計(jì)算C到BD的距離d3＝　 ?。ńY(jié)果保留根號）．
（4）歸納推理：比較d1，d2，d3大?。骸? 　，按此規(guī)律推理，車輪設(shè)計(jì)成的正多邊形邊數(shù)越多，其中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心連線（水平線）的距離 　 ?。ㄌ睢霸酱蟆被颉霸叫　保?br /> （5）得出結(jié)論：將車輪設(shè)計(jì)成圓形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖7，其中心（即圓心）的軌跡與水平地面平行，此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)前后中心連線（水平線）的距離d＝　 　.這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感．所以，將車輪設(shè)計(jì)成圓形．

6．（2022?青海）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線EF，交AB的延長線于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的長．

四．作圖—基本作圖（共1小題）
7．（2023?青海）如圖，∠CAE是△ABC的一個(gè)外角，AB＝AC，CF∥BE．
（1）尺規(guī)作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

五．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
8．（2021?青海）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作MN⊥AC于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BG⊥MN于G．
（1）求證：△BGD∽△DMA；
（2）求證：直線MN是⊙O的切線．

六．解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）
9．（2023?青海）為了方便觀測動(dòng)物的活動(dòng)情況，某濕地公園要鋪設(shè)一段道路．計(jì)劃從圖中A，C兩處分別向B處鋪設(shè)，現(xiàn)測得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）

10．（2021?青海）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門，已知門的寬度AD＝2米，且兩扇門的大小相同（即AB＝CD），將左邊的門ABB1A1繞門軸AA1向里面旋轉(zhuǎn)35°，將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉(zhuǎn)45°，其示意圖如圖2，求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）

七．列表法與樹狀圖法（共2小題）
11．（2023?青海）為更好引導(dǎo)和促進(jìn)旅游業(yè)恢復(fù)發(fā)展，深入推動(dòng)大眾旅游，文化和旅游部決定開展2023年“5?19中國旅游日”活動(dòng)．青海省某旅行社為了解游客喜愛的旅游景區(qū)的情況，對“五一”假期期間的游客去向進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)圖1，圖2中所給的信息，解答下列問題：
（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量是 　 ??；
（2）將圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，“五一”假期期間這四個(gè)景區(qū)共接待游客約19萬人，請估計(jì)前往青海湖景區(qū)的游客約有多少萬人；
（4）若甲、乙兩名游客從四個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)景區(qū)旅游，請用樹狀圖或列表法求出他們選擇同一景區(qū)的概率．
12．（2022?青海）為迎接黨的二十大勝利召開，某校對七、八年級的學(xué)生進(jìn)行了黨史學(xué)習(xí)宣傳教育，其中七、八年級的學(xué)生各有500人．為了解該校七、八年級學(xué)生對黨史知識的掌握情況，從七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取15人進(jìn)行黨史知識測試，統(tǒng)計(jì)這部分學(xué)生的測試成績（成績均為整數(shù)，滿分10分，8分及8分以上為優(yōu)秀），相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、整理如下：
七年級抽取學(xué)生的成績：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年級抽取學(xué)生的測試成績統(tǒng)計(jì)表
年級
七年級
八年級
平均數(shù)
8
8
眾數(shù)
a
7
中位數(shù)
8
b
優(yōu)秀率
80%
60%
（1）填空：a＝　 　，b＝　 ??；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中，哪個(gè)年級的學(xué)生黨史知識掌握得較好？請說明理由（寫出一條即可）；
（3）請估計(jì)七、八年級學(xué)生對黨史知識掌握能夠達(dá)到優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)；
（4）現(xiàn)從七、八年級獲得10分的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加黨史知識競賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率．


青海省2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類
參考答案與試題解析
一．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
1．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，求四邊形AOBP的面積（請?jiān)趫D1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請?jiān)趫D2中探索）．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）；
（3）M（﹣1，1）．
【解答】解：（1）由題意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖，
連接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∴PQ＝4，OQ＝1，
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝1，x2＝﹣3，
∴OA＝3，
∴S四邊形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；
（3）設(shè)M（﹣1，m），
由AM2＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴M（﹣1，1）．

2．（2022?青海）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E是拋物線的對稱軸與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，求EF的長；
（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在滿足S△PAB＝6的點(diǎn)P？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（請?jiān)趫D2中探討）


【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）EF＝2；
（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，3）或（1+，3）或（0，﹣3）或（2，﹣3）．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得：，解得：，
∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
∴拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，﹣4），拋物線的對稱軸為直線x＝1．
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），
將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3．
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1﹣3＝﹣2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，﹣2），
∴EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2．
（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3）．
∵S△PAB＝6，
∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝6，
即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，
解得：t1＝1﹣，t2＝1+，t3＝0，t4＝2，
∴存在滿足S△PAB＝6的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，3）或（1+，3）或（0，﹣3）或（2，﹣3）．
3．（2021?青海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AB的垂線段，垂足為Q點(diǎn)．當(dāng)PQ＝時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；
（2）﹣2＜x＜0；
（3）（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0，y＝0+2＝2，
當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入拋物線解析式，
得，
解得，
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣2x+2＞2，
當(dāng)函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+2＝2時(shí)，
解得x＝0或x＝﹣2，
由圖象知，當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)函數(shù)值大于2，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集為：﹣2＜x＜0；
方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣x+2＞x+2，
觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)y＝﹣x2﹣x+2的函數(shù)值大于y＝x+2的函數(shù)值，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集為：﹣2＜x＜0；
（3）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，作PQ⊥AB于Q，
①如圖1，當(dāng)P在AB上方時(shí)，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝1，
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣x+2），則點(diǎn)D（x，x+2），
∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
即﹣x2﹣2x＝1，
解得x＝﹣1，
∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），
②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
同理①可得PD＝1，
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣x+2），則點(diǎn)D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±﹣1，
由圖象知此時(shí)P點(diǎn)在第三象限，
∴x＝﹣﹣1，
∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣﹣1，﹣），
③如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝1，
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣x+2），則點(diǎn)D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±﹣1，
由圖象知此時(shí)P點(diǎn)在第一象限，
∴x＝﹣1，
∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，），
綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．



二．三角形綜合題（共1小題）
4．（2022?青海）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；
（2）解決問題：
如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．


【答案】（1）證明見解答過程；
（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由見解答過程．
【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：
如圖：

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
三．圓的綜合題（共2小題）
5．（2023?青海）綜合與實(shí)踐
車輪設(shè)計(jì)成圓形的數(shù)學(xué)道理
小青發(fā)現(xiàn)路上行駛的各種車輛，車輪都是圓形的．為什么車輪要做成圓形的呢？這里面有什么數(shù)學(xué)道理嗎？帶著這樣的疑問，小青做了如下的探究活動(dòng)：
將車輪設(shè)計(jì)成不同的正多邊形，在水平地面上模擬行駛．
（1）探究一：將車輪設(shè)計(jì)成等邊三角形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖1，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝120°．此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是BD（水平線），請?jiān)趫D2中計(jì)算C到BD的距離d1．
（2）探究二：將車輪設(shè)計(jì)成正方形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖3，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，BA＝CA＝DA＝2，圓心角∠BAD＝90°．此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是BD（水平線），請?jiān)趫D4中計(jì)算C到BD的距離d2（結(jié)果保留根號）．
（3）探究三：將車輪設(shè)計(jì)成正六邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖5，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一次（以一個(gè)頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是，圓心角∠BAD＝　60°?。?br /> 此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心的連線是BD（水平線），在圖6中計(jì)算C到BD的距離d3＝　2﹣?。ńY(jié)果保留根號）．
（4）歸納推理：比較d1，d2，d3大?。骸1＞d2＞d3　，按此規(guī)律推理，車輪設(shè)計(jì)成的正多邊形邊數(shù)越多，其中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)一次前后中心連線（水平線）的距離 　越小?。ㄌ睢霸酱蟆被颉霸叫　保?br /> （5）得出結(jié)論：將車輪設(shè)計(jì)成圓形，轉(zhuǎn)動(dòng)過程如圖7，其中心（即圓心）的軌跡與水平地面平行，此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)前后中心連線（水平線）的距離d＝　0　.這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感．所以，將車輪設(shè)計(jì)成圓形．

【答案】（1）1；
（2）2﹣；
（3）2﹣；
（4）d1＞d2＞d3，越??；
（5）0．
【解答】解：（1）圖1，

∵AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAD＝，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴d1＝CE＝AC＝1；
（2）如圖2，

∵AB＝AD，AC⊥BD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AE＝AB?sin∠ABD＝2×＝，
∴d2＝CE＝AC﹣AE＝2；
（3）如圖3，

∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD＝60°，
在Rt△ABE中，
AE＝AB?sin∠ABD＝2?sin60°＝，
∴d3＝AC﹣AE＝2﹣，
故答案為：60°，2﹣；
（4）∵1＞2﹣＞2﹣，
∴d1＞d2＞d3，越小；
故答案為：d1＞d2＞d3；
（5）∵圓的半徑相等，
∴d＝0，
故答案為：0．
6．（2022?青海）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線EF，交AB的延長線于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的長．

【答案】（1）證明見解答過程；
（2）BE的長為2．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖：

∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
（2）解：連接CO并延長交⊙O于K，連接DK，DC，如圖：

∵CK是⊙O的直徑，
∴∠CDK＝90°，
∴∠K+∠DCK＝90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，即∠ODC+∠CDF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠DCK＝∠ODC，
∴∠K＝∠CDF，
∵＝，
∴∠FAD＝∠K，
∴∠FAD＝∠CDF，
∵∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴＝，
∵CF＝1，AC＝2，
∴FA＝CF+AC＝3，
∴＝，
解得FD＝，
在Rt△AFD中，tan∠FAD＝＝，
∴∠FAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE＝2∠FAD＝60°，
∴AE＝＝＝6，
∵AB＝4，
∴BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2，
答：BE的長為2．
四．作圖—基本作圖（共1小題）
7．（2023?青海）如圖，∠CAE是△ABC的一個(gè)外角，AB＝AC，CF∥BE．
（1）尺規(guī)作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【答案】（1）作圖見解答；
（2）證明過程見解答．
【解答】（1）解：如圖，AD為所作；

（2）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵∠CAE＝∠B+∠ACB，
即∠CAD+∠EAD＝∠B+∠ACB，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
五．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）
8．（2021?青海）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作MN⊥AC于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BG⊥MN于G．
（1）求證：△BGD∽△DMA；
（2）求證：直線MN是⊙O的切線．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】證明：（1）∵M(jìn)N⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°，
∵以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠ADM+∠CDM＝90°，
∵∠DBG+∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM，
∴△BGD∽△DMA；
（2）連接OD．
∴BO＝OA，BD＝DC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又∵M(jìn)N⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直線MN是⊙O的切線．

六．解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）
9．（2023?青海）為了方便觀測動(dòng)物的活動(dòng)情況，某濕地公園要鋪設(shè)一段道路．計(jì)劃從圖中A，C兩處分別向B處鋪設(shè)，現(xiàn)測得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）

【答案】B，C兩點(diǎn)間的距離約為2083m．
【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，

∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝14°，
在Rt△ABD中，AB＝1000m，
∴BD＝AB＝500（m），
在Rt△BDC中，BC＝≈≈2083（m），
∴B，C兩點(diǎn)間的距離約為2083m．
10．（2021?青海）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門，已知門的寬度AD＝2米，且兩扇門的大小相同（即AB＝CD），將左邊的門ABB1A1繞門軸AA1向里面旋轉(zhuǎn)35°，將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉(zhuǎn)45°，其示意圖如圖2，求此時(shí)B與C之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）

【答案】1.4米．
【解答】解：作BE⊥AD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長FC到點(diǎn)M，使得BE＝CM，

∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，
∴AB＝CD＝1，
在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，
∴BE＝AB?sinA＝1×sin35°≈0.6，
∴AE＝AB?cosA＝1×cos35°≈0.8，
在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，
∴CF＝CD?sinD＝1×sin45°≈0.7，
∴DF＝CD?cosD＝1×cos45°≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE＝CM，
∴四邊形BEMC是平行四邊形，
∴BC＝EM，
在Rt△MEF中，F(xiàn)M＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，
∴EM＝＝≈1.4（米），
答：B與C之間的距離約為1.4米．
七．列表法與樹狀圖法（共2小題）
11．（2023?青海）為更好引導(dǎo)和促進(jìn)旅游業(yè)恢復(fù)發(fā)展，深入推動(dòng)大眾旅游，文化和旅游部決定開展2023年“5?19中國旅游日”活動(dòng)．青海省某旅行社為了解游客喜愛的旅游景區(qū)的情況，對“五一”假期期間的游客去向進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)圖1，圖2中所給的信息，解答下列問題：
（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量是 　200　；
（2）將圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，“五一”假期期間這四個(gè)景區(qū)共接待游客約19萬人，請估計(jì)前往青海湖景區(qū)的游客約有多少萬人；
（4）若甲、乙兩名游客從四個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)景區(qū)旅游，請用樹狀圖或列表法求出他們選擇同一景區(qū)的概率．
【答案】（1）200；
（2）見解答；
（3）6.65萬；
（4）．
【解答】解；（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量為50÷25%＝200；
故答案為：200；
（2）B組的人數(shù)為200﹣70﹣20﹣50＝60（人），
條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為：

（3）19×＝6.65（萬），
所以估計(jì)前往青海湖景區(qū)的游客約有6.65萬人；
（4）畫樹狀圖為：

共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人選擇同一景區(qū)的結(jié)果數(shù)為4，
所以他們選擇同一景區(qū)的概率＝＝．
12．（2022?青海）為迎接黨的二十大勝利召開，某校對七、八年級的學(xué)生進(jìn)行了黨史學(xué)習(xí)宣傳教育，其中七、八年級的學(xué)生各有500人．為了解該校七、八年級學(xué)生對黨史知識的掌握情況，從七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取15人進(jìn)行黨史知識測試，統(tǒng)計(jì)這部分學(xué)生的測試成績（成績均為整數(shù)，滿分10分，8分及8分以上為優(yōu)秀），相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、整理如下：
七年級抽取學(xué)生的成績：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年級抽取學(xué)生的測試成績統(tǒng)計(jì)表
年級
七年級
八年級
平均數(shù)
8
8
眾數(shù)
a
7
中位數(shù)
8
b
優(yōu)秀率
80%
60%
（1）填空：a＝　8　，b＝　8??；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中，哪個(gè)年級的學(xué)生黨史知識掌握得較好？請說明理由（寫出一條即可）；
（3）請估計(jì)七、八年級學(xué)生對黨史知識掌握能夠達(dá)到優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)；
（4）現(xiàn)從七、八年級獲得10分的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加黨史知識競賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率．

【答案】（1）8，8；
（2）七年級的學(xué)生黨史知識掌握得較好，理由見解析；
（3）700人；
（4）．
【解答】解：（1）由眾數(shù)的定義得：a＝8，
八年級抽取學(xué)生的測試成績的中位數(shù)為8（分），
故答案為：8，8；
（2）七年級的學(xué)生黨史知識掌握得較好，理由如下：
∵七年級的優(yōu)秀率大于八年級的優(yōu)秀率，
∴七年級的學(xué)生黨史知識掌握得較好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估計(jì)七、八年級學(xué)生對黨史知識掌握能夠達(dá)到優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為700人；
（4）把七年級獲得10分的學(xué)生記為A，八年級獲得10分的學(xué)生記為B，
畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能的結(jié)果，被選中的2人恰好是七、八年級各1人的結(jié)果有6種，
∴被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率為＝．

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