一、選擇題（共20小題；）
1. 若向量 ，，且 與 的夾角余弦為 ，則 等于
A. B. C. D.

2. 設(shè)點(diǎn) 是 軸上一點(diǎn)，且點(diǎn) 到 與點(diǎn) 的距離相等，則點(diǎn) 的坐標(biāo)是
A. B.
C. D.

3. 平面 的法向量為 ，平面 的法向量為 ，若 ，則 等于
A. B. C. D.

4. 已知平面 內(nèi)有一個(gè)點(diǎn) ，平面 的一個(gè)法向量是 ，則下列點(diǎn) 中在平面 內(nèi)的是
A. B. C. D.

5. 已知向量 ， 則下列向量中與 成 夾角的是
A. B. C. D.

6. 正方形 的邊長(zhǎng)為 ， 平面 ，， 、 分別是 、 的中點(diǎn)，那么直線 與 所成角的余弦值是
A. B. C. D.

7. 已知 ，，，若 ，則
A. B. C. D.

8. 下列說(shuō)法中正確的是
A. 任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底
B. 空間的基底有且僅有一個(gè)
C. 兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D. 基底 ，， 中基向量與基底 ，， 中基向量對(duì)應(yīng)相等

9. 設(shè)平面 與平面 的夾角為 ，若平面 ， 的法向量分別為 和 ，則
A. B.
C. D.

10. 在直角坐標(biāo)系中，，．沿 軸把直角坐標(biāo)系折成 的二面角，則此時(shí)線段 的長(zhǎng)度為
A. B. C. D.

11. 如圖，在四棱錐 中，側(cè)面 為正三角形，底面 為正方形，側(cè)面 ， 為底面 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 ，則點(diǎn) 在正方形 內(nèi)的軌跡為下圖中的

A. B.
C. D.

12. 已知 ，，則
A. B. C. D.

13. 如圖，在平行六面體 中，，，，則 的長(zhǎng)為
A. B. C. D.

14. 已知兩非零向量 ，，且 與 不共線，設(shè) （，且 ），則
A. B.
C. 與 ， 共面D. 以上三種情況均有可能

15. 如圖，在空間四邊形 中，，，，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，則 等于
A. B.
C. D.

16. 如圖，在平行六面體 中， 為 與 的交點(diǎn)，若 ，，，則下列向量中與 相等的向量是
A. B. C. D.

17. 已知空間向量 ， 滿足 ，且 ， 的夾角為 ， 為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn) ， 滿足 ，，則 的面積為
A. B. C. D.

18. 在空間坐標(biāo)系 中，已知 ，，，，若 ，， 分別表示三棱錐 在 ，， 在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則
A. B. 且
C. 且 D. 且

19. 已知三點(diǎn) ， ， ，則
A. 三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形B. 三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形
C. 三點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形D. 三點(diǎn)構(gòu)不成三角形

20. 已知 ，，，若 ，， 三向量共面，則實(shí)數(shù) 等于
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 已知向量 ， ，若 與 成 角，則 ．

22. 已知向量 ，，，且 ，則 ．

23. 設(shè)空間向量 ， 均為單位向量，且與向量 的夾角都等于 ，則 ．

24. 若 ， 與 、 與 的夾角均為 ，，，，則 ．

25. 設(shè)向量 與向量 互相垂直，向量 與它們構(gòu)成的角均為 且 ，，，則 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 設(shè) ，，，且 ，，，求向量 的模．

27. 已知 、 、 是空間中不共面的三個(gè)向量，，，，求證：向量 ，， 共面．

28. 如圖，在正四棱柱 中，，，，，， 分別是 ，，， 的中點(diǎn)．求證：．

29. 如圖所示，正方體 的棱長(zhǎng)為 ，在三棱錐 中，求 到平面 的距離 ．

30. 如圖，在長(zhǎng)方體 中，，，，證明直線 平行于平面 ，并求直線 到平面 的距離．
答案
1. C【解析】因?yàn)?br>所以 ．
2. B
3. C【解析】因?yàn)?，所以兩平面法向量平行，所以 ，所以 ．
4. A
5. B
6. A
7. B
8. C【解析】A 項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底；
B 項(xiàng)，空間基底有無(wú)數(shù)個(gè)；
D 項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃┮?，所?D 錯(cuò)．
9. B
10. B
【解析】如圖，作 垂直 軸， 垂直 軸，過(guò) 作 平行于 軸，與 交于 ，則 就是二面角的平面角．
，連接 ，則 ，，，在 中，， ．
11. A
12. C【解析】因?yàn)?，，
所以 ．
又因?yàn)?，
所以 ，
整理得 ，
解得 ．
因?yàn)?，
所以 ，故 ．
13. B【解析】因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
．
14. C【解析】假設(shè) 與 共線，則設(shè) ，
所以 可變?yōu)?，
所以 與 共線，這與 與 不共線相矛盾，故假設(shè)不成立，
即 A 項(xiàng)不正確，同理 B 項(xiàng)不正確，則 D 項(xiàng)也錯(cuò)誤，故選 C．
15. B
【解析】
16. A【解析】提示：．
17. B【解析】，同理 ，
則 ，
從而有 ，
所以 的面積 ．
18. D【解析】 在平面上的投影為 ，故 ．
設(shè) 在 和 平面上的投影分別為 和 ，則 在 和 平面上的投影分別為 和 ，
因?yàn)?，，
故 ．
綜上，選項(xiàng)D正確．
19. D
20. D
【解析】因?yàn)?，， 三向量共面，所以有 ，即 解得 所以 ．
21.
22.
23.
24.
25.
【解析】提示：．
26.
所以 ．
27. 設(shè) ，則 ，
所以 解得
所以 ，
所以向量 ，， 共面．
28.
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 ，可得 ，，，，，，，，，．
平面 的一個(gè)法向量為 ，，，
所以
令 ，得 ，，．
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ．
，，
所以
令 ，得 ，，．
因?yàn)?，
所以平面 ．
29. 在三棱錐 中， 是三棱錐 的高，，，
因?yàn)?，
所以 ．
30. 因?yàn)? 為長(zhǎng)方體，故 ，，
故 為平行四邊形，故 ，顯然 不在平面 上，
于是直線 平行于平面 ；
直線 到平面 的距離即為點(diǎn) 到平面 的距離，設(shè)為 ．
考慮三棱錐 的體積，以 為底面，可得
而 中，，，故
所以，
即直線 到平面 的距離為 ．

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