一、選擇題（共20小題；）
1. 設(shè) ， 是兩個不同的平面，， 是平面 內(nèi)的兩條不同直線，， 是平面 內(nèi)的兩條相交直線，則 的一個充分不必要條件是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且

2. “ 成立”是“ 成立”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件

3. 給出下列結(jié)論：① 三點確定一個平面；② 若點 不在平面 內(nèi)，，， 三點都在平面 內(nèi)，則 ，，， 四點不在同一平面內(nèi)；③ 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A. B. C. D.

4. 已知直線 ， 與平面 ，，下列命題正確的是
A. 且 ，則
B. 且 ，則
C. 且 ，則
D. 且 ，則

5. 下圖中圖形的畫法正確的個數(shù)是
A. B. C. D.

6. 定義 為 ，， 中的最大值，設(shè) ，則 的最小值是
A. B. C. D.

7. 如圖所示， 是長方體， 是 的中點，直線 交平面 于點 ，則下列結(jié)論正確的是

A. ，， 三點共線B. ，，， 不共面
C. ，，， 不共面D. ，，， 共面

8. 下列命題正確的個數(shù)為
①經(jīng)過三點確定一個平面
②梯形可以確定一個平面
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
A. B. C. D.

9. 設(shè) 、 、 、 是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是
A. 若 與 共面，則 與 共面
B. 若 與 是異面直線，則 與 是異面直線
C. 若 ，，則
D. 若 ，，則

10. 若直線 和 是異面直線， 在平面 內(nèi)， 在平面 內(nèi)， 是平面 與平面 的交線，則下列命題正確的是
A. 與 ， 都不相交B. 與 ， 都相交
C. 至多與 ， 中的一條相交D. 至少與 ， 中的一條相交

11. 已知 是平面 的一條斜線，直線 過平面 內(nèi)一點 ，那么下列選項中能成立的是
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且

12. 如圖所示，如果 ，四邊形 是菱形，那么 與 的位置關(guān)系是
A. 平行B. 垂直相交C. 垂直但不相交D. 相交但不垂直

13. 下列命題正確的個數(shù)為
①經(jīng)過三點確定一個平面；
②梯形可以確定一個平面；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
A. B. C. D.

14. 如圖，四邊形 是邊長為 的正方形，，，且 ， 為 的中點．則下列結(jié)論中不正確的是
A. B.
C. D.

15. 在空間中，設(shè) ， 為兩條不同的直線，， 為兩個不同的平面，則下列命題正確的是
A. 若 ， 不平行于 ，則 不平行于
B. 若 ，，且 ， 不平行，則 ， 不平行
C. 若 ， 不垂直于 ，則 不垂直于
D. 若 ，， 垂直于 ，則 ， 不垂直

16. 設(shè) 是兩條直線， 是兩個平面，則 的一個充分條件是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，

17. 若 是空間兩條不同的直線， 是空間的兩個不同的平面，則 的一個充分不必要條件是
A. ，B. ，C. ，D. ，

18. 若 ， 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件

19. 設(shè) ， 是兩條不同的直線， 是一個平面，則下列命題正確的是
A. 若 ，，則 B. 若 ，，則
C. 若 ，，則 D. 若 ，，則

20. 若直線 與平面 不平行，則下列結(jié)論正確的是
A. 內(nèi)所有直線都與直線 異面
B. 內(nèi)不存在與 平行的直線
C. 內(nèi)的直線與 相交
D. 直線 與平面 有公共點

二、填空題（共5小題；）
21. 已知 ， 表示不同的平面，，，， 表示四個不同的點， 表示直線，則下列推理錯誤的是 ．（填序號）
① ，，，；
② ，，，；
③ ，．

22. 在四棱錐 中，底面 是矩形，，，又側(cè)棱 ，則當(dāng) 時，．

23. 在正方體 中，過對角線 的一個平面交 于 ，交 于 ，給出下列四個結(jié)論：
①四邊形 一定是平行四邊形；
②四邊形 有可能是正方形；
③四邊形 在底面 內(nèi)的投影一定是正方形；
④四邊形 有可能垂直于平面 ．
以上結(jié)論正確的是 ．（寫出所有正確結(jié)論的編號）

24. 已知 、 是直線， 、 、 是平面，給出下列命題：
① 若 ，，，則 或 ；
②若 ，，，則 ；
③若 不垂直于 ，則 不可能垂直于 內(nèi)的無數(shù)條直線；
④若 ，，且 ，，則 且 ．
其中正確的命題的序號是 ．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

25. 如圖，在三棱柱 中，平面 ，，若點 在棱 上，則當(dāng)點 滿足 時，有平面 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 學(xué)了異面直線的概念和作法后，老師出了下面一道題：“已知平面 ，，直線 ， 為異面直線，，， ，請問：直線 與直線 ， 有怎 樣的位置關(guān)系?"甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種不同的答案，甲： 與 ， 都不相交；乙： 與 ， 都相交；丙： 至少與 ， 中的一條相交；?。?至多與 ， 中的一條相交.
（1）問：他們的答案中哪些是正確的?哪些是錯誤的?請說明理由.

27. 如圖，，四邊形 與四邊形 都是直角梯形，， 且 ， 且 ，， 分別為 ， 的中點．
（1）證明：四邊形 是平行四邊形；
（2），，， 四點是否共面?為什么?

28. 如圖， 為 的直徑， 垂直于 所在的平面， 為圓周上任意一點，， 為垂足．
（1）求證：．
（2）若 ，垂足為 ，求證：．

29. 如圖所示，在四棱錐 中，，，， 是 的中點， 是 上的點，且 ， 為 中 邊上的高．求證：
（1）．
（2）．

30. 如圖，四棱柱 中，四邊形 為梯形，，且 ．過 ，， 三點的平面記為 ， 與 的交點為 ．證明： 為 的中點．
答案
1. A【解析】對于A，由 ，，，得 ，同理 ，又 ， 相交，，，所以 ，反之不成立，所以 且 是 的一個充分不必要條件．
2. B【解析】由 ，
解得：，即 ．
由 ，
解得 ．
所以“ 成立”是“ 成立”的必要不充分條件．
3. A【解析】① 注意三點共線情形；② ，， 三點共線時不符；③ 考慮空間四邊形．
4. D【解析】A中 可能平行、相交、異面；B中 可能平行；C可能 ，或者 與 斜交．
5. D
6. C【解析】分別作出 ，， 在 上的圖象，
函數(shù) 的圖象為如圖中的實線部分．
由圖象可得 的最低點為 ，即為 和 的交點，
由 解得：，所以 的最小值為 ．
7. A【解析】連接 ，，則 ．從而 ，，， 四點共面，
因為 ，．
所以 ．
又 ，
所以 在平面 與平面 的交線上．
同理 在平面 與平面 的交線上．如圖：
所以 ，， 三點共線．故 ，，， 四點共面，，，， 四點共面．
8. C【解析】經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面；
兩條平行線可以確定一個平面；
兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面；
兩個平面相交，有一條公共交線，上面有無數(shù)個點．
9. C【解析】若 與 共面，則 、 、 、 四點共面，所以 與 共面；
若 與 是異面直線，則 、 、 、 四點不共面，所以 與 一定是異面直線；
若 ，，取 中點 ，連接 、 ，則 ，，所以 ，故 ．
10. D
11. A
12. C
13. C【解析】①④錯誤，②③正確．
14. C【解析】顯然該幾何圖形為正方體截去兩個三棱錐所剩的幾何體，把該幾何體放置到正方體中（如圖），取 的中點 ，連接 ，，，
則 ，
又 ，
所以 ，
所以A正確；
由題意易得 ，
又 ，，
所以 ，
所以B正確；
因為 ，，且 ，，
所以 ，
所以D正確．
15. C
【解析】對于A， 可能與 相交、平行或在 內(nèi)；
對于B， 與 可能平行、相交或異面；
對于C，若 ，則 ，與條件不符，所以 不垂直于 ；
對于D， 與 可能垂直．
16. C【解析】以正方體為背景考慮，
A中，設(shè)平面 為 ，平面 為 ，若 為 ， 為 ，顯然 不成立；
B中的條件可以推得 ，所以不成立；
C中，由 ， 可得 ，而 ，所以可得到 ；反之，僅由 得不到C中的條件，所以C為符合結(jié)論的選項．
D中，設(shè)平面 為 ，平面 為 ，若 為 ， 為 ，則 不成立．
17. D【解析】提示：A、B、C中的 與 的位置關(guān)系都不確定．D中，由 ， 可以推得 （事實上，這符合線面垂直的推論），反之 時，不能得到 ，．
18. B
19. B
20. D
【解析】直線 與平面 不平行時有兩種可能：① 直線 在平面 內(nèi)；②直線 與平面 相交．本題容易忽視 ①而出錯．
21. ③
22.
23. ①③④
24. ②④
【解析】對于①，若 ，，，那么 與 、 不一定垂直，如圖

，但 與兩平面相交，不垂直，故①不正確；
對于③，設(shè) ，，但 不垂直于 ，則 與 內(nèi)與 平行的所有直線都垂直，故③不正確．
25. 為棱 的中點
【解析】如圖，分別取 ， 的中點 ，．
因為 ，所以 ．所以 ，．根據(jù)已知易得 ，，，，所以 ，．所以四邊形 是平行四邊形，故 ．因為 平面 ，所以 ，．若 ，在平面 內(nèi)，過 作 ， 為垂足，則有 ，所以 為 與 的交點，故 為 中點，從而 為 中點．
26. 只有丙的答案是正確的，其余同學(xué)的答案都是錯誤的.可以用反證法或作圖說明 .
27. （1） 由已知 ，，可得 ．
又 ，
所以 ，
所以四邊形 為平行四邊形．
（2） 因為 ， 是 的中點，
所以 ，
所以四邊形 為平行四邊形，
所以 ．
由（）知 ，
所以 ，
所以 與 共面．
又 ，
所以 ，，， 四點共面．
28. （1） 因為 為 的直徑，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又因為 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又 ，且 ，
所以 ．
（2） 由（）知 ，
又 ，
所以 ．
又因為 ，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
29. （1） 因為 ，，
所以 ．
因為 為 中邊 上的高，
所以 ．
因為 ，，，
所以 ．
（2） 如圖，取 的中點 ，連接 ，．
因為 是 的中點，
所以 ，．
又因為 ，，
所以 ，，
所以四邊形 是平行四邊形，
所以 ．
因為 ，
所以 ．
因為 ，
所以 ．
因為 ，，，
所以 ，
所以 ．
30. 因為 ，，，
所以 ．
從而平面 與這兩個平面的交線相互平行，即 ．
故 與 的對應(yīng)邊相互平行，
于是 ．
所以 ，即 為 的中點．

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