一、選擇題（共20小題；）
1. 底面是正三角形，且每個側(cè)面是等腰三角形的三棱錐
A. 一定是正三棱錐
B. 一定是正四面體（各棱長都相等的三棱錐）
C. 一定不是正三棱錐
D. 不一定是正三棱錐

2. 若正方體的一條體對角線的長度為 ，那么此正方體的棱長等于
A. B. C. D.

3. 下列關(guān)于圓柱的命題正確的是
A. 圓柱的軸是經(jīng)過圓柱上、下底面圓的圓心的直線
B. 圓柱的母線是連接圓柱上底面和下底面上一點的直線
C. 矩形較長的一條邊所在的直線才可以作為旋轉(zhuǎn)軸從而形成圓柱
D. 矩形繞任意一條直線旋轉(zhuǎn)，都可以圍成圓柱

4. 用一平面去截體積為 的球，所得截面的面積為 ，則球心到截面的距離為
A. B. C. D.

5. 如圖所示的簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征是
A. 由兩個四棱錐組合成的
B. 由一個三棱錐和一個四棱錐組合成的
C. 由一個四棱錐和一個四棱柱組合成的
D. 由一個四棱錐和一個四棱臺組合成的

6. 在正三棱錐 中， 分別是 的中點，有下列三個論斷：
① ；② ；③ ．
其中正確論斷的個數(shù)為
A. 個B. 個C. 個D. 個

7. 若圓柱的母線長為 ，則其高等于
A. B. C. D. 不確定

8. 正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有
A. B. C. D.

9. 正方體的棱長為 ，在正方體內(nèi)放八個半徑為 的球，再在這八個球中間放一個小球，則小球的半徑為
A. B. C. D.

10. 已知正三角形 三個頂點都在半徑為 的球面上，球心 到平面 的距離為 ， 是線段 的中點，過點 作球 的截面，則截面面積的最小值是
A. B. C. D.

11. 某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為 的等腰直角三角形和邊長為 的正方形，則該幾何體中最長的棱長為
A. B. C. D.

12. 有下面五個命題：①各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；②側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐；③底面是正方形的棱錐是正四棱錐；④正四面體就是正四棱錐；⑤頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是底面多邊形的外心的棱錐必是正棱錐．其中正確命題的個數(shù)是
A. 個B. 個C. 個D. 個

13. 若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是
A. 三棱錐B. 四棱錐C. 五棱錐D. 六棱錐

14. 正三棱錐 的底面邊長為 ， 、 、 、 分別是 、 、 、 的中點，則四邊形 面積的取值范圍是
A. B. C. D.

15. 在棱長為 的正方體 中，， 分別為 ， 的中點，點 在正方體的表面上運動，且滿足 ，則下列說法正確的是
A. 點 可以是棱 的中點B. 線段 的最大值為
C. 點 的軌跡是正方形D. 點 軌跡的長度為

16. 在正三棱柱 中，若 ，，則點 到平面 的距離為
A. B. C. D.

17. 如圖所示是正方體分割后的一部分，它的另一部分為下列圖形中的
A. B.
C. D.

18. 已知平面 截一球面得圓 ，過圓心 且與 成 二面角的平面 截該球面得圓 ．若該球面的半徑為 ，圓 的面積為 ，則圓 的面積為
A. B. C. D.

19. 有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為 ，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過 ，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是
A. B. C. D.

20. 如圖，模塊 均由 個棱長為 的小正方體構(gòu)成，模塊 由 個棱長為 的小正方體構(gòu)成．現(xiàn)從模塊 中選出三個放到模塊 上，使得模塊 成為一個棱長為 的大正方體．則下列選擇方案中，能夠完成任務的為
A. 模塊 B. 模塊 C. 模塊 D. 模塊

二、填空題（共5小題；）
21. 一個棱柱至少有 個面；面數(shù)最少的一個棱錐有 個頂點；頂點最少的一個棱臺有 條側(cè)棱．

22. 已知 是同一個球面上的四點，且每兩點之間的距離都等于 ，則該球的半徑是 ，球心到平面 的距離是

23. 下列說法中，正確說法的序號是 ．
① 棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形；
② 底面是矩形的四棱柱是長方體；
③ 有一個面為多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
④ 直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐．

24. 如果三棱錐 的底面 是正三角形，頂點 在底面 上的射影是 的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結(jié)論：
①正三棱錐所有棱長都相等；
②正三棱錐至少有一組對棱（如棱 與 ）不垂直；
③當正三棱錐所有棱長都相等時，該棱錐內(nèi)任意一點到它的四個面的距離之和為定值；
④若正三棱錐所有棱長均為 ，則該棱錐外接球的表面積等于 ；
⑤若正三棱錐 的側(cè)棱長均為 ，一個側(cè)面的頂角為 ，過點 的平面分別交側(cè)棱 ， 于 ，，則 周長的最小值等于 ．
以上結(jié)論正確的是 （寫出所有正確命題的序號）．

25. 在三棱錐 中，側(cè)棱 兩兩垂直， 、 、 的面積分別為 、 、 ，則三棱錐 外接球的表面積為 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 判斷下列說法是否正確．如果正確，請說明理由；如果不正確，請舉一個反例．
（1）有兩個相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱．
（2）正四棱柱是正方體．
（3）底面是正多邊形的棱錐是正棱錐．

27. 如圖所示是一個三棱臺 ，如何用兩個平面把這個三棱臺分成三部分，使每一部分都是一個三棱錐?

28. 如圖，以直角梯形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是圓臺嗎?

29. 已知正六棱錐底面邊長為 ，高為 ，求底面面積、側(cè)棱長和斜高．

30. 一個圓臺的母線長為 ，兩底面面積分別為 和 ，求：
（1）圓臺的高；
（2）將圓臺還原為圓錐后，圓錐的母線長．
答案
1. D【解析】題中描述的三棱錐可能是正三棱錐，也可能不是，比如下圖中的三棱錐 .
2. C
3. A【解析】由圓柱的定義和有關(guān)概念可知，A 正確；
矩形的任意一條邊所在的直線都可以作為旋轉(zhuǎn)軸形成圓柱，C 錯誤；
圓柱的母線必須在側(cè)面上且垂直于底面，所以 B 不正確；
矩形繞任意直線旋轉(zhuǎn)不一定形成圓柱，因此 D 錯誤．
4. C【解析】設球半徑為 ，截面圓半徑為 ，則 ，， ．
5. A
6. C【解析】提示：找 的中點 ，聯(lián)結(jié) 、 ，
容易得 ，，所以 ，所以①成立；
顯然 ，所以②成立；
三角形 是等邊三角形，顯然 和 不垂直，所以③不成立．
7. B
8. D【解析】正五棱柱中，上底面中的每一個頂點均可與下底面中的兩個頂點構(gòu)成對角線，所以一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有 條．
9. D【解析】因為在正方體內(nèi)放八個半徑為 的球，所以，這 個球的球心組成一個新的正方體，連接棱長是 的正方體的對角線，則在對角線上有 個小球中的兩個還有最后放入的小球三個球依次相切，所以，最后放入的小球的直徑等于新形成的棱長為 的小正方體的對角線減去兩個球的半徑，所以，小球的直徑是 ． 所以，小球的半徑是 ．
10. C
11. B【解析】由題意可知，此幾何體如圖所示，底面為一個直角三角形，高為 ，最長的棱為正方體的主對角線，長為 ．
12. A【解析】命題①中的“各側(cè)面都是全等的等腰三角形”并不能保證底面是正多邊形，也不能保證頂點在底面上的射影是底面的中心，
故不是正棱錐，如圖（1）中的三棱錐 ，可令 ，，則此三棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐；
命題②中的“側(cè)棱都相等”并不能保證底面是正多邊形，如圖（2）中的三棱錐 ，可令 ，，，三條側(cè)棱都相等，但它不是正三棱錐；
命題③中的“底面是正方形的棱錐”，其頂點在底面上的射影不一定是底面的中心，如圖（3），從正方體中截取一個四棱錐 ，底面是正方形，但它不是正四棱錐；
命題④中的“正四面體”是正三棱錐．三棱錐中共有 個面，所以三棱錐也叫四面體．四個面都是全等的正三角形的正三棱錐也叫正四面體；
命題⑤中的“頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是底面多邊形的外心”，說明了底面是一個正多邊形，符合正棱錐的定義．
13. D
14. B【解析】提示：找 的中點 ，聯(lián)結(jié) 、 ，容易得知 ，，所以 ，從而 ，所以 ，，，而 ，所以四邊形 的面積 ．
15. D
【解析】A選項：若 為 中點，， 為 中點，
而 ，
，
所以 ．
所以此時 與 不垂直，即 與 不垂直，故A選項錯誤．
B選項：作出與 垂直面 ，， 為 中位線，
此時 ，，
所以 ．
故 ．
此時 最大值于 或 取到，為 （），
又點 在正方體表面而非頂點，故B選項錯．
C選項：，故不是正方形，故C選項錯.
D選項：長度為 ，故D選項正確．
16. B【解析】利用等體積代換法：由 ，可求點 到平面 的距離．
17. B
18. D【解析】如圖所示，設球的半徑為 ，由圓 的面積為 知，
球心 到圓 的距離
在 中，，所以
故圓 的半徑
所以圓 的面積為
19. C【解析】底層正方體邊長為 ，每個面的面積為 ；
第二層正方體邊長為 ，每個面的面積為 ；
第三層正方體的邊長為 ，每個面的面積為 ；

第 層正方體的邊長為 ，每個面的面積為 ；
則該塔形的表面積為 ．
解 ，得 ．
20. A
【解析】觀察模塊 ⑥ 可知，模塊 ⑤ 補模塊 ⑥ 中間一層，于是模塊⑥只缺最上面的一層的 塊，模塊 ① 補模塊 ⑥ 最上面一層的左邊及前面 塊，模塊 ② 補模塊 ⑥ 上面的右后角，如此便能夠成為一個棱長為 的大正方體．
21. ，，
22.
【解析】如圖 是球心， 是球的內(nèi)接正四面體，棱長為 ，點 為點 在面 上的射影，則 是 的重心， 是球的半徑， 是球心到平面 的距離，我們按照其中的幾何量關(guān)系求出 和 即可．
23. ①
24. ③④⑤
【解析】①正三棱錐所有側(cè)棱長都相等，底邊長都相等，故不正確；
②正三棱錐頂點 在底面 上的射影是 的中心，故對棱（如棱 與 ）垂直，故不正確；
③當正三棱錐所有棱長都相等時，該棱錐內(nèi)任意一點到它的四個面的距離之和等于此正四面體的高，為定值，故正確；
④若正三棱錐所有棱長均為 ，則該棱錐外接球半徑為 ，表面積等于 ，正確；
⑤若正三棱錐 的側(cè)棱長均為 ，一個側(cè)面的頂角為 ，過點 的平面分別交側(cè)棱 ， 于 ，，則 周長的最小值等于 ，故正確．
25.
【解析】由題意，可求得 ，，．
三棱錐 中，側(cè)棱 兩兩垂直，可補成長方體，兩者的外接球是同一個．長方體的對角線就是球的直徑，求得直徑為 ，所以外接球的表面積為 ．
26. （1） 正確．
（2） 不正確．
（3） 不正確．
27. 過 ，， 三點作一個平面，再過 ，， 作一個平面，就把三棱臺 分成三部分，形成的三個三棱錐分別是 ，， .
28. 不一定是提示：如圖，在直角梯形 中，，．以 為軸旋轉(zhuǎn)形成一個圓臺，以 為軸旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱和圓錐的組合體'以 為軸旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱挖去一個圓錐的組合體，以 為軸旋轉(zhuǎn)形成一個圓臺挖去一個小圓錐后和另一個圓錐的組合體．
29. 底面面積為 ，側(cè)棱長為 ，斜高為 ．
30. （1） 圓臺的軸截面是等腰梯形 （如圖所示）．
由已知可得 ，
又由題意知腰長 ．
所以高
（2） 如圖所示，延長 ，，，交于點 ，
設截得此圓臺的圓錐的母線長為 ，則由 ，可得 ，解得 ．
即截得此圓臺的圓錐的母線長為 ．

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