?專題05 解析幾何
解析幾何一般作為解答題21題或者是22題形式出現(xiàn)。一般作為壓軸題或者是次壓軸題出現(xiàn)，難度較大。
1 與原有關(guān)問題（蒙日圓，阿氏圓等）
2 面積問題
3 齊次化解決直線定點(diǎn)問題
4 一般的定值問題
5 非對稱問題
6 探究性問題
7 切線問題與阿基米德三角形問題
8 極點(diǎn)極限與調(diào)和點(diǎn)列，蝴蝶模型問題
9 不聯(lián)立問題
10 與其他知識點(diǎn)交叉問題

蒙日圓定理的內(nèi)容：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為蒙日圓，其半徑等于橢圓長半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根，具體結(jié)論及證明如下：
結(jié)論一：曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓：．
結(jié)論二：雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓．
結(jié)論三：拋物線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．

題型一： 與原有關(guān)問題（蒙日圓，協(xié)同圓等）
例題1 已知橢圓0)．稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為．
(1)求橢圓的方程及其“準(zhǔn)圓”方程．
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明．
②求證：線段的長為定值．

【解析】(1)依題意可得，∴，
∴．．
(2)證明：①由(1)題可得，設(shè)切線方程為：．
聯(lián)立，消去可得，整理可得．
∴，解得．
∴設(shè)直線PM：，直線．∴，即．
②設(shè)，直線．
則，消去可得．
即．
∴．整理得．
同理，設(shè)切線的斜率為，則有．∴．∴在“準(zhǔn)圓”上．∴，∴．∴為“準(zhǔn)圓”的直徑．∴為定值，．


1 ．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下著名結(jié)果：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)，距離之比為且的點(diǎn)的軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓．
(1)已知兩定點(diǎn)，，若動點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)已知，是圓上任意一點(diǎn)，在平面上是否存在點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
(3)已知是圓上任意一點(diǎn)，在平面內(nèi)求出兩個定點(diǎn)，，使得恒成立．只需寫出兩個定點(diǎn)，的坐標(biāo)，無需證明．

解析：(1)4； (2)證明見解析，.

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)P的軌跡方程為，求出，，求出最小值即得解；
（2）設(shè)，兩圓方程相減可得MN的方程為，即得解.
（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題設(shè)條件有，
所以有，
化簡得.
所以
，
由題知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)， |QM|最小，
即四邊形面積取得最小值4.
（2）
解；設(shè)，由幾何性質(zhì)，可知M，N兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，
此圓的方程為，
而直線MN是此圓與圓的相交弦所在直線， 相減可得MN的方程為，
所以直線MN恒過定點(diǎn).

題型二：面積問題
1 ．已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程；
(2)已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.
【答案】(1)（）(2)
【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動.
， ，
動點(diǎn)在右側(cè)，有，同理有，
∵四邊形的面積為8，∴，即 ，
所以所求軌跡C方程為（）.
（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，

，，在曲線C上，過點(diǎn)T直線與曲線C有兩個交點(diǎn)，
則或，同時(shí)或，解得或.??
，解得或（舍去）.
時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得.
直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得，
，
點(diǎn)Q到直線的距離??，
.
方法二： ，
，
，則，
.


1 已知橢圓離心率為，經(jīng)過的左焦點(diǎn)斜率為1的直線與軸正半軸相交于點(diǎn)，且.
(1)求的方程；
(2)設(shè)M，N是上異于的兩點(diǎn)，若，求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由已知，可得，.可得，
因?yàn)樾甭蕿?，所以，
因?yàn)?，所以，則，則，
于是的方程為；
（2）由（1）知，因?yàn)?，所以不垂直于軸.
設(shè)直線，代入得.
當(dāng)時(shí)，
設(shè)，，則，①
因?yàn)?，所以，?br /> 即，根據(jù)，，
故，可得
.
將①代入上式可得.
因?yàn)?，整理得，則，解得，
直線經(jīng)過定點(diǎn)，.
因?yàn)椋?br /> 所以面積.
設(shè)，則，則，，
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，則，
所以當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值.

題型三：齊次化解決定值定點(diǎn)問題
1 已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).
【答案】(1) .(2)證明見解析.
解題方法一：試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).
又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.
因此，解得.
故C的方程為.
（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，
如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.
則，得，不符合題設(shè).
從而可設(shè)l：（）.將代入得

由題設(shè)可知.
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.
而

.
由題設(shè)，故.
即.
解得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即，
所以l過定點(diǎn)（2，）
解題方法二：齊次化處理：


1．已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，
故橢圓方程為：.
將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．
設(shè)，因?yàn)閯t，即．
代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．
又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．
故存在，使得．

題型四：一般的定值定點(diǎn)問題
1．已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為為上一點(diǎn)，且．
(1)求的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與交于異于的兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，過作，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及的長度；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)， 為定值
【詳解】（1）由題意，
在雙曲線中，漸近線方程為，
由條件可知．根據(jù)雙曲線的定義可知，，
∴，則，∴．
（2）由題意及（1）得，
在中，，∴點(diǎn)在雙曲線的左支上，
當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，
聯(lián)立，整理得，
，則，
，∵為的中點(diǎn)，且，
∴，則，
∴，
整理得，解得或，驗(yàn)證均滿足．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過點(diǎn)，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過定點(diǎn)，符合題意．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，
可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，
所以直線的方程為：，
則直線過定點(diǎn)．∵，
∴是以為斜邊的直角三角形，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，則當(dāng)為該圓的圓心時(shí)，
為該圓的半徑，即，故存在點(diǎn)，使得為定值．


1 已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定值為2
【詳解】（1）雙曲線的兩頂點(diǎn)為，所以，，即，
將代入的方程可得，，故的方程為．
（2）依題意，可設(shè)直線，，．
與聯(lián)立，整理得，
所以，，解得，且，
，，所以． （*）
又，所以的坐標(biāo)為，
由可得，，
從而可得的縱坐標(biāo)
，
將（*）式代入上式，得，即．
所以，，
將（*）式代入上式，得．

類型五 非對稱問題
1 已知橢圓的長軸長為6，離心率為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.
（1）（2）
（1）由題意，可得，，，
聯(lián)立解得，，，.
（2）如圖，由（1）知，
方程為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，∵，根據(jù)對稱性可得，聯(lián)立，整理得，∴，∵，∴，
即，聯(lián)立解得，，
∵，，∴，
∴，∴，
∴直線的方程為，即.


1 已知橢圓過點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．

（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
（2）①當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識得，所以．②當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線，由題意，直線l不過和點(diǎn)，所以．設(shè)，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．直線的斜率存在．．當(dāng)時(shí)，
．同理．．
因?yàn)?，所以?br />
類型六 探究性問題
1 ．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上且不在軸上，直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為A，B，直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為C，D．
(1)設(shè)直線和的斜率分別為，，求的值；
(2)問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率，，，滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解析：(1)(2)存在，或
（1）設(shè)，，則，
所以；
（2）假設(shè)直線l上存在點(diǎn)，．
設(shè)設(shè)，，
∴，
同理，由，得
得或，當(dāng)時(shí)，由（1）得，，，，得，
當(dāng)時(shí)，由（1）得，或，，，，得．
所以或．


1 在直角坐標(biāo)平面中，的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩動點(diǎn)滿足，向量與共線.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與（1）的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
(3)若為點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(2)(3)存在；理由見解析
【詳解】（1）設(shè)，由知，是的重心，.
且向量與共線，在邊的中垂線上，
，
又，化簡得，即所求的軌跡方程是.
（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線方程為，
代入得，
，且，解得.
，則或，
，則的取值范圍是.
（3）設(shè)，則，即.
當(dāng)軸時(shí)，，即，故猜想.
當(dāng)不垂直軸時(shí)，，
.
與同在內(nèi)，.故存在，使恒成立.

類型七 切線問題與阿基米德三角形問題
拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個三角形又常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救俗钤缋帽平乃枷胱C明 如下結(jié)論：
拋物線與阿基米德三角形定理：
拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二．
下面來逐一介紹阿基米德三角形的一些推論:
如圖，已知是拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過作拋物線的切線
、分別交拋物線于、兩點(diǎn)，為 中點(diǎn)，則：
1.若過焦點(diǎn)，則的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．
2.阿基米德三角形底邊上的中線平行于坐標(biāo)軸，即．
3.過拋物線的焦點(diǎn)
4.
5.阿基米德三角形面積的最小值為
1 如下圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．
（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為；
（?。┣笞C：平行于軸；
（ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（Ⅰ）（?。┳C明見解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）僅存在一點(diǎn)適合題意.
【分析】
（Ⅰ）（?。┰O(shè)出的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，結(jié)合是線段的中點(diǎn)進(jìn)行化簡，得到兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，由此證得平行于軸.
（ⅱ）利用列方程，解方程求得，進(jìn)而求得拋物線方程.
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)坐標(biāo)求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此進(jìn)行分類討論求得點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】
（Ⅰ）（?。┳C明：由題意設(shè)，，，，．
由得，則，所以，．
因此直線的方程為，
直線的方程為．
所以，①．②
由①、②得，因此，即，也即.所以平行于軸．
（ⅱ）解：由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：
，，所以，是方程的兩根，
因此，，又，
所以．
由弦長公式的．
又，所以或，
因此所求拋物線方程為或．
（Ⅱ）解：設(shè)，由題意得，
則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的方程為，
由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，
代入得．
若在拋物線上，則，
因此或．
即或．
（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．
（2）當(dāng)，對于，此時(shí)，，
又，，所以，
即，矛盾．
對于，因?yàn)椋藭r(shí)直線平行于軸，
又，
所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，
所以時(shí)，不存在符合題意得點(diǎn)．
綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題目


如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為．（Ⅰ）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程；
y
x
B
A
O
M

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．
由得，得，
所以，．
因此直線的方程為，直線的方程為．
所以，①
．②由①、②得，
因此，即．所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，
將其代入①、②并整理得：
，，
所以是方程的兩根，
因此，，又，
所以．由弦長公式得．
又，所以或，
因此所求拋物線方程為或．
（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，
則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，
代入得．若在拋物線上，則，
因此或．即或．
（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．
（2）當(dāng)，對于，此時(shí)，
，又，，
所以，
即，矛盾．對于，因?yàn)椋藭r(shí)直線平行于軸，
又，所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，
所以時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)，綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題



類型八 極點(diǎn)極限 調(diào)和點(diǎn)列 蝴蝶模型
1. 極點(diǎn)和極線的幾何定義
如圖,為不在圓錐曲線上的點(diǎn), 過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn), 連接交于, 連接交于, 我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn), 稱直線為點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線. 直線交圓錐曲線于兩點(diǎn), 則為圓錐曲線的兩條切線. 若在圓錐曲線上, 則過點(diǎn)的切線即為極線.

(1) 自極三角形：極點(diǎn) 一一極線；極點(diǎn) 一一極線 極點(diǎn) 一一極線; 即中, 三 個頂點(diǎn)和對邊分別為一對極點(diǎn)和極線, 稱為“自極三角形”.
(2) 極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況
(1)當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的極線, 就是切線;

(2)當(dāng)四邊有一組對邊平行時(shí), 如：當(dāng)時(shí), 和的交點(diǎn)落在無窮遠(yuǎn)處; 點(diǎn)的極線 和點(diǎn)的極線 滿足:
2. 極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義
對于定點(diǎn)與非退化二次曲線 過點(diǎn)作動直線與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn) , 那么點(diǎn)關(guān)于線段的調(diào)和點(diǎn)的軌跡是什么?
可以證明: 點(diǎn)在一條定直線 上，如下圖. 我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于曲線的極點(diǎn); 相應(yīng)地, 稱直線為點(diǎn)關(guān)于曲線的極線.

一般地, 對于圓錐曲線 設(shè)極點(diǎn), 則對應(yīng)的極線為

【注】替換規(guī)則為:
(1) 橢圓的三類極點(diǎn)極線
(1)若極點(diǎn)在橢圓外, 過點(diǎn)作橢圓的兩條?線, 切點(diǎn)為, 則極線為切點(diǎn)弦所在直線

(2)若極點(diǎn)在橢圓上, 過點(diǎn)作橢圓的切線, 則極線為切線;
(3)若極點(diǎn)在橢圓內(nèi), 過點(diǎn)作橢圓的弦, 分別過作橢圓切線, 則切線交點(diǎn)軌跡為極
線
由此可得橢圓極線的幾何作法:

(2) 對于雙曲線, 極點(diǎn)對應(yīng)的極線為
(3) 對于拋物線, 極點(diǎn)對應(yīng)的極線為.
3. 極點(diǎn)和極線的性質(zhì)
(1) 引理: 已知橢圓方程為, 直線的方程為, 點(diǎn)不與原點(diǎn)重合. 過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上，則“點(diǎn)在直線上"的充要條件是調(diào)和分割 , 即.


1 設(shè)橢圓 過點(diǎn) , 且左焦點(diǎn)為 .
(1) 求敉圓 的方程; (2) 當(dāng)過點(diǎn) 的動直線 于橢圓 相交于兩不同點(diǎn) 時(shí), 在線段 上取點(diǎn) , 滿足, 證明：點(diǎn) 總在某定直線上.
【答案】 (1) (2) 見解析.
【解析】（1）由題意得：，解得，所求橢圓方程為.
(2) 解法 1: 定比點(diǎn)差法
設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為
由題設(shè)知 均不為零, 記 , 則 且
又 四點(diǎn)共線, 從而
于是 ,
從而: (1) (2)
又點(diǎn) 在橢圓 上，即:
(3)
(4)
(1)+(2) , 并結(jié)合(3)(4)得 ,
即點(diǎn) 總在定直線 上.
解法 2：構(gòu)造同構(gòu)式
設(shè)點(diǎn) ,
由題設(shè)知 均不為零, 記 ,
又 四點(diǎn)共線, 可設(shè)
于是 (1), (2)
由于 在橢圓 上, 將(1)(2)分別代入 的方程 ,
整理得: (3)
(4)
(4)-(3)得: ,
即點(diǎn) 總在定直線 上.
解法 3：極點(diǎn)極線
由 可得 ,
說明點(diǎn) 關(guān)于桞圓調(diào)和共軛, 點(diǎn) 在點(diǎn) 對應(yīng)的極線上,
此極線方程為 , 化簡得 .
故點(diǎn) 總在直線 上.



如圖, 過直線 上的點(diǎn) 作橢圓 的切線 和 , 切點(diǎn)分別為 , 連結(jié) .
(1) 當(dāng)點(diǎn) 在直線 上運(yùn)動時(shí), 證明：直線 恒過定點(diǎn) ;
(2) 當(dāng) 時(shí), 定點(diǎn) 平分線段 .

【答案】見解析.【解析】解法 1: 常規(guī)解法
(1) 證明：設(shè) .
則橢圓過點(diǎn) 的切線方程分別為: .
因?yàn)閮汕芯€都過點(diǎn) , 則有: .
由兩點(diǎn)確定一條直線知, 式(1)就是直線 的方程,




故直線 恒過定點(diǎn) .


由此可得, 此時(shí) 截圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為點(diǎn) 的橫坐標(biāo), 即

代入(3)式可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)恰好為點(diǎn) 的縱坐標(biāo),
即

這就是說, 點(diǎn) 平分線段 .
解法 2:
(1) 動點(diǎn) 在定直線 上, 則相應(yīng)的切點(diǎn)弦過定點(diǎn), 可知定點(diǎn) 必為極點(diǎn),
于是只需求極點(diǎn)即可:
由 , 得到極點(diǎn)坐標(biāo) , 即為所求定點(diǎn).
(2) 由橢圓內(nèi)一點(diǎn)極線方向與以極點(diǎn)為中點(diǎn)弦的方向相同, 也即 與極線方向共軛, 即得結(jié)論 (2).
蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.這個命題最早出現(xiàn)在1815年,由.霍納提出證明.

【蝴蝶定理】是中弦的中點(diǎn),過點(diǎn)的兩條弦,連接交于兩點(diǎn),則 是線段的中點(diǎn).
問題中的圖形酷似圓中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".
蝴蝶定理還可以推廣到橢圓,甚至雙曲線與拋物線中.



例題 .如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的焦距等于其長半軸長,為橢圓的上、下頂點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn),直線交于點(diǎn).求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3

【答案】(1) (2)見解析.
【解析】(1)由題意可知: ,又,
有,故橢圓的方程為: .
(2)由題意知直線的斜率存在,設(shè)其方程為,
聯(lián)立直線方程和橢圓方程得,消去得,
設(shè),則
又三點(diǎn)共線,則 ,即.
構(gòu)造式子: ,則.
又


解之,得.故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3.

類型九 不聯(lián)立問題
1 已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面積．
解析：（1）設(shè)，由點(diǎn)都在雙曲線上，得
，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，
由得. ②
由得. ③
由②-③，得，從而，即的斜率為.



1 已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
解析：（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.
（2）設(shè)，依題意知，
因?yàn)?，所以?br /> 整理得
同理得
相減可得即直線恒過定點(diǎn).
又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．

類型十 與其他知識點(diǎn)交叉問題
某電廠冷卻塔的外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.如圖所示，已知它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為，選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.

(1)求此雙曲線的方程；
(2)定義：以（1）中求出的雙曲線的實(shí)軸為虛軸，以的虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫做的共軛雙曲線，求雙曲線的方程；
(3)對于（2）中的雙曲線?的離心率分別為?，寫出與滿足的一個關(guān)系式，并證明.
【答案】(1)(2)(3)
（1）以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)雙曲線的方程為，由題意知，所以，
，，所以
，，所以，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）以（1）中求出的雙曲線的實(shí)軸為虛軸，以的虛軸為實(shí)軸的雙曲線為
.
（3）與滿足的一個關(guān)系式為，證明如下，
雙曲線的半焦距，
所以雙曲線的離心率為，
雙曲線的半焦距，
所以雙曲線的離心率為，
所以，
所以與滿足的一個關(guān)系式為.




1 在平面直角坐標(biāo)系中，對于直線和點(diǎn)、，記，若，則稱點(diǎn)、被直線分隔，若曲線與直線沒有公共點(diǎn)，且曲線上存在點(diǎn)、被直線分隔，則稱直線為曲線的一條分隔線．
(1)判斷點(diǎn)是否被直線分隔并證明；
(2)若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是的分隔線．
【答案】(1)點(diǎn)被直線分隔(2)(3)證明見解析

(1)解：把點(diǎn)、分別代入可得，
所以點(diǎn)、被直線分隔．
(2)解：聯(lián)立，可得，根據(jù)題意，此方程無解，故有，
所以．
當(dāng)時(shí)，對于直線，曲線上的點(diǎn)和滿足，即點(diǎn)和被分隔．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
(3)證明：設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，
故曲線的方程為①．
對任意的，不是上述方程的解，即軸（即）與曲線沒有公共點(diǎn)．
又曲線上的點(diǎn)、對于軸（即）對稱，滿足，
即點(diǎn)和被軸分隔，所以軸，即為曲線的分隔線．
若過原點(diǎn)的直線不是軸，設(shè)為，代入，
可得，
令，
當(dāng)時(shí)，，
所以在有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解，，即與有公共點(diǎn)，
所以不是的分隔線．
所以通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是的分隔線，即．

1．（2022·北京海淀·?？寄M預(yù)測）橢圓C：的右頂點(diǎn)為，離心率為
(1)求橢圓C的方程及短軸長；
(2)已知：過定點(diǎn)作直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，過E作AB的平行線交直線DB于點(diǎn)F，設(shè)EF中點(diǎn)為G，直線BG與橢圓的另一點(diǎn)交點(diǎn)為M，若四邊形BEMF為平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）由題意可得，，所以，
，短軸長所以橢圓C的方程：；
（2）設(shè)直線AD的方程：，即，，，
由，消去y，整理得，
則，所以，，
則直線BD的方程：，令，則，所以，所以，
，
則直線BG的斜率





，
所以直線BG的斜率為，所以直線BG的方程：，
因此，則，解得或，
所以，當(dāng)BEMF為平行四邊形時(shí)，G為BM的中點(diǎn)，則，所以

2．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接AB，交y軸于點(diǎn)P．


(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)證明：存在相異于點(diǎn)P的定點(diǎn)T，使得恒成立，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，并求出面積的最小值．
【答案】(1)；
(2)證明見解析，，8.
【詳解】（1）設(shè)，，，的斜率必存在，設(shè)
與拋物線聯(lián)立可得，∴，
可知：.
∵，∴
∵，∴，則
∴，即.
（2）由，可知：，
當(dāng)與x軸平行時(shí)，，
∴存在點(diǎn)T在y軸上，設(shè)，，
∴TP為的角平分線，有，
∴，
∵，
∴，∴，
∴存在，使得：恒成立，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，面積的最小值為8.

3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物的準(zhǔn)線.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿足：，設(shè)中點(diǎn)為.
（i）求直線的斜率；
（ii）設(shè)面積為，求的最大值.
【答案】(1)(2)（i）0；（ii）48
【詳解】（1）設(shè)直線與軸交于.
由幾何性質(zhì)易得：與相似，
所以，
，
即：，解得：.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）設(shè)
（i）由題意，中點(diǎn)在拋物線上，即，
又，將代入，
得：，
同理：，
有，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
所以直線的斜率為0.
（ⅱ）因?yàn)椋?br /> 所以點(diǎn)，
此時(shí)，
，
，
所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，有，即，代入上式可得：
，
由，
所以時(shí)，取到最大價(jià).
所以的最大值為48.

4．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線．，為C上兩點(diǎn)，且，分別在第一、四象限．直線與x正半軸交于，與y負(fù)半軸交于．
(1)若，求橫坐標(biāo)的取值范圍；
(2)記的重心為G，直線，的斜率分別為，，且．若，證明：λ為定值．
【答案】(1)(2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)，
∵，∴，即，∴，
直線的方程為：，
整理可得，，令，則，
即橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）的重心為，，
∴，又，且，
∴，化簡得，，
∵，
∴，
.
即，所以λ為定值．

5．（2023河北·校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，斜率為的直線與相切于點(diǎn)，且與不垂直，為的中點(diǎn).
（1）若，求；
（2）若直線過，求.
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）∵拋物線Γ：（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），
∴拋物線Γ的方程為．
由直線的斜率為，且過F（0，1），得的方程為，
代入，化簡得，
設(shè)，
則，
．
∵=，∴；
（2）設(shè)P（，），
將Γ的方程化為y=，求導(dǎo)得y′=，
∵斜率為的直線與Γ相切于點(diǎn)P，∴=，則P（2，），
由（1）知 =4，且Q為AB的中點(diǎn)，易得Q（2，+1），
∵直線PQ過（0，2），∴，
整理得，
∵與不垂直，∴，
則-2=0，即=．

6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，，直線，交于點(diǎn).已知當(dāng)軸時(shí)，.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.
【答案】(1)(2)證明見解析
【詳解】（1）由題知，，點(diǎn)在橢圓C上，則，解得，
所以橢圓C的方程為；
（2）證明：∵，且點(diǎn)A在x軸上方
∴設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
由，得，∴或（舍），
∴
同理，所以，
由，得
∴
∴
又點(diǎn)B在橢圓C上，∴，則
∴
同理：，所以
∴
又，
∴
∴點(diǎn)P在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.

7．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．
【答案】(1)(2)證明見解析，定值為2
【詳解】（1）雙曲線的兩頂點(diǎn)為，所以，，即，
將代入的方程可得，，故的方程為．
（2）依題意，可設(shè)直線，，．
與聯(lián)立，整理得，
所以，，解得，且，
，，所以． （*）
又，所以的坐標(biāo)為，
由可得，，
從而可得的縱坐標(biāo)
，
將（*）式代入上式，得，即．
所以，，
將（*）式代入上式，得．

8．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．
(1)若，求；
(2)若，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．
【答案】(1)24(2)
【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，且其在拋物線內(nèi)部，設(shè)直線的方程為，
由，得，
設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個實(shí)數(shù)根，
所以
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
同理可得的坐標(biāo)為，，
于是，
又，所以．
（2）結(jié)合（1），
由拋物線的定義得，，
所以，
所以圓的半徑，
所以圓的方程為
化簡得，
同理可得圓的方程為，
于是圓與圓的公共弦所在直線的方程為，
又，則直線的方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離，
故當(dāng)時(shí)，取最小值．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答小問（2）的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義求得，，進(jìn)而可得，從而得到圓的半徑，可得到圓的方程，同理可得到圓的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解．

9．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點(diǎn)，直線：．
(1)證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；
(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意可知，因此，則橢圓方程為：
因?yàn)橛上タ傻?，?br /> 則該方程有兩個不相等的實(shí)根，所以直線與橢圓相交于兩點(diǎn)；
設(shè)為直線與橢圓的交點(diǎn)，則，，
直線的方程為，即，代入橢圓方程得，
所以，
整理得，
即，所以，
故是橢圓的切線.
（2）因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，由（1）可知在線段外，在線段內(nèi)，所以與的方向相同，與的方向相同，
要證，只需要，即證，
設(shè)，不妨設(shè)，
因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，所以等價(jià)于，即，
顯然，
設(shè)直線的方程為，即，
由，可得；
由可得，
從而可知，
因此

，
所以結(jié)論成立.



一、解答題
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過點(diǎn).
②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過定點(diǎn)

2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由 得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡得，
反之，若,可得MN過定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
??????由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
??????由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.

3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．
易知直線l的斜率存在，設(shè)，，
聯(lián)立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化簡得，，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化
不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)椋裕桑?）知，，
當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，
即，解得（負(fù)值舍去）
此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，
因?yàn)椋?，即?br /> 即，解得（負(fù)值舍去），
于是，直線，直線，
聯(lián)立可得，，
因?yàn)榉匠逃幸粋€根為，所以，，
同理可得，，．
所以，，點(diǎn)到直線的距離，
故的面積為．
［方法二］：
設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，
由，得，即，
聯(lián)立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整體點(diǎn)評】（2）法一：由第一問結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．

4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分.
【答案】(1)(2)見解析
【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價(jià)于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,則,
設(shè),
則條件③等價(jià)于,
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上，等價(jià)于；
條件②等價(jià)于；
條件③等價(jià)于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.

5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；
（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.
【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值
由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．
所以．
從而有．
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值
拋物線的焦點(diǎn)為，，
所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；
（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長求面積法
拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，
所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.
[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值
同方法一得到．
過P作y軸的平行線交于Q，則．
．
P點(diǎn)在圓M上，則
．
故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．
[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法
設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．
設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．
判別式，即，且．
拋物線C的方程為，即，有．
則，整理得，同理可得．
聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．
由弦長公式得．
點(diǎn)P到直線的距離為．
所以，
其中，即．
當(dāng)時(shí)，．

6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．
（1）求C，的方程；
（2）設(shè)是C上的三個點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；
（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，
，
所以拋物線的方程為，
與相切，所以半徑為，
所以的方程為；
（2）[方法一]：設(shè)
若斜率不存在，則方程為或，
若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，
則過與圓相切的另一條直線方程為，
此時(shí)該直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，即不存在，不合題意；
若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)
則過與圓相切的直線為，
又，
，此時(shí)直線關(guān)于軸對稱，
所以直線與圓相切；
若直線斜率均存在，
則，
所以直線方程為，
整理得，
同理直線的方程為，
直線的方程為，
與圓相切，
整理得，
與圓相切，同理
所以為方程的兩根，
，
到直線的距離為：

，
所以直線與圓相切；
綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.
[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．
當(dāng)時(shí)，同解法1．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．
由直線與相切得，化簡得，
同理，由直線與相切得．
因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為．
所以直線與相切．
綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．

7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】(1) 因?yàn)椋?br /> 所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
如圖所示，設(shè),
設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,
化簡得.
則．
故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因?yàn)椋裕?br /> 化簡得，
所以，即．
因?yàn)?，所以?br /> [方法二] ：參數(shù)方程法
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，
則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．
設(shè)直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因?yàn)?，所以?br /> 由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．
設(shè),直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.

8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；
（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；
充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.
【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
（2）由（1）得，曲線為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，
所以，
所以
，
化簡得，所以，
所以或，所以直線或，
所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；
所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．

9．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明詳見解析.
【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.
（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)，命題得證.
【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：， ，
，
，
橢圓方程為：
（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法
證明：設(shè)，
則直線的方程為：，即：
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：
，解得：或
將代入直線可得：
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，
直線的方程為：，
整理可得：
整理得：
所以直線過定點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)．
故直線CD過定點(diǎn)．
[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合
設(shè)，則直線的方程為，即．
同理，可求直線的方程為．
則經(jīng)過直線和直線的方程可寫為．
可化為．④
易知A，B，C，D四個點(diǎn)滿足上述方程，同時(shí)A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．
故，可得或．
其中表示直線，則表示直線．
令，得，即直線恒過點(diǎn)．

10．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【答案】（1）；（2）詳見解析.
【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.
（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，
故橢圓方程為：.
(2)［方法一］：通性通法
設(shè)點(diǎn)，
若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
代入橢圓方程消去并整理得：，
可得，，
因?yàn)?，所以，即?br /> 根據(jù),代入整理可得：
，????????
所以，
整理化簡得，
因?yàn)椴辉谥本€上，所以，
故，于是的方程為，
所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，
由得：，
得，結(jié)合可得：，
解得：或（舍）.
此時(shí)直線過點(diǎn).
令為的中點(diǎn)，即，
若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，
若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.
［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系
將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．
設(shè)，因?yàn)閯t，即．
代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．
又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲線系
A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．
則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．
用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．
即．
對比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得

將①代入②③，消去并化簡得，即．
故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．
經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．
［方法四］：
設(shè)．
若直線的斜率不存在，則．
因?yàn)?，則，即．
由，解得或（舍）．
所以直線的方程為．
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．
令，則．
又，令，則．
因?yàn)?，所以?br /> 即或．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過．
綜上，直線恒過，所以．
又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動．
取線段的中點(diǎn)為，則．
所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．

11．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓：的一個頂點(diǎn)為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；
（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；
【詳解】（1）解：依題意可得，，又，
所以，所以橢圓方程為；
（2）解：依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直線的方程為，令，解得，
直線的方程為，令，解得，
所以



，
所以，
即
即
即
整理得，解得

12．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；
（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡可得，由柯西不等式即可求出最小值．
【詳解】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最大值是.
（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，
因?yàn)橹本€與直線交于,
則,同理可得,.則


，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最小值為.







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專題05 解析幾何-【大題小卷】沖刺2022年高考數(shù)學(xué)大題限時(shí)集訓(xùn)（全國通用）

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