1.能運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);2.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)
名師點(diǎn)睛二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念,特別地, (a+b)n(a>0,b>0)的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)即對(duì)應(yīng)的各二項(xiàng)式系數(shù);(a-b)n(a>0,b>0)的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值即對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù).
過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(2)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)相同.(　　)2.結(jié)合教材內(nèi)容,說(shuō)明楊輝三角的主要特點(diǎn).
提示(1)在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等.(2)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和,即
探究點(diǎn)一 “楊輝三角”的理解
【例1】在如圖所示的三角形數(shù)陣中,從第3行開始,每一行除1以外,其他每一個(gè)數(shù)字都是其上一行的左、右兩個(gè)數(shù)字之和.若在此數(shù)陣中存在某一行,滿足該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)字之比為4∶5∶6,則這一行是第　　　　行.?
規(guī)律方法　“楊輝三角”問題解決的一般方法
變式訓(xùn)練1以下排列的數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的幾何排列,在我國(guó)南宋時(shí)期楊輝所著的《詳解九章算法》一書中曾列出過(guò).那么,第9行第8個(gè)數(shù)是　　　　　.?
探究點(diǎn)二 求二項(xiàng)展開式中系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)
【例2】在( )8的展開式中,(1)求系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng);(2)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(3)求系數(shù)最大的項(xiàng);(4)求系數(shù)最小的項(xiàng).
解得5≤r≤6.故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).
(2)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng),即為第5項(xiàng),
(3)由(1)知,展開式中的第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大,而第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù),第7項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù),
規(guī)律方法　二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)若n的值較小,可以借助二項(xiàng)式定理將(a+b)n(n∈N+)展開,根據(jù)展開式各項(xiàng)的特征找到系數(shù)最大的項(xiàng).若n的值較大,且b>0,可以設(shè)Tr是系數(shù)最大的
變式訓(xùn)練2在(x-1)11的展開式中,系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為　　　.?
角度1求二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和【例3】已知( )n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64,則n等于(　　)A.4B.5C.6D.7
規(guī)律方法　求二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和的求解方法
(2)對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(duì)(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.
變式訓(xùn)練3若(x+3y)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于(7a+b)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和,則n的值為　　　　.?
解析 (7a+b)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為 .令(x+3y)n中x=y=1,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為4n.由題設(shè)知,4n=210,即22n=210,解得n=5.
角度2求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和【例4】若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.
解 (1)令x=0,則a0=-1;令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27=128,①所以a1+a2+…+a7=129.
(2)令x=-1,得-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,②由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7=16 512,∴a1+a3+a5+a7=8 256.
(3)由①+②得2(a0+a2+a4+a6)=128+(-4)7=-16 256,∴a0+a2+a4+a6=-8 128.
變式探究本題中已知條件不變,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.
解 由于(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0中,a0,a2,a4,a6均為負(fù)值,而a1,a3,a5,a7均為正值,因此|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a7-a6+a5-a4+…-a0.由(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,可得(1-3x)7=-(3x-1)7=-a7x7-a6x6-…-a1x-a0.令x=-1得47=a7-a6+a5-a4+…-a0,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=16 384.
規(guī)律方法　求二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)的和與差的方法技巧若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),偶次項(xiàng)系
1.知識(shí)清單:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):對(duì)稱性、單調(diào)性、二項(xiàng)式系數(shù)的和.2.方法歸納:觀察、歸納法求解“楊輝三角”有關(guān)的問題,賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和、二項(xiàng)式系數(shù)的和,解方程組法求解展開式的奇次項(xiàng)、偶次項(xiàng)系數(shù)的和(差),解不等式組法求解展開式中系數(shù)的最大(小)項(xiàng).3.注意事項(xiàng):二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值與n的奇偶性有關(guān),求二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)的和與差時(shí)要注意根據(jù)所求式子的特征準(zhǔn)確賦值.
1.已知(a+b)n展開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n=(　　)A.4B.5C.6D.7
解析 第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故展開式共有5項(xiàng),則n=4.
2.在(x+y)n展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是(　　)A.第6項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第5、6項(xiàng)D.第6、7項(xiàng)
解析 因?yàn)檎归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等,所以 ,所以n=10.則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng).
3.已知當(dāng)n=1,2,3,4,5,6時(shí),(a+b)n(n∈N+)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)表示形式如下圖,判斷圖中λ與μ的值分別是(　　)A.5,9B.5,10C.6,10D.6,9
解析 結(jié)合題意可得λ=3+3=6,μ=4+6=10,故選C.
4.已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a0+a1+a2+…+an=16,則自然數(shù)n=(　　)A.6B.5C.4D.3
解析 因?yàn)?1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a0+a1+a2+…+an=16,令x=1,則(1+1)n=2n=a0+a1+a2+…+an=16,所以n=4.故選C.
5.(2x-1)6展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為　　　;各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為　　　　.?
解析 在二項(xiàng)式中,令x=1,得各項(xiàng)系數(shù)和為1.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64.

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4.4 二項(xiàng)式定理

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