1.理解組合與組合數(shù)的概念,正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系;2.會(huì)推導(dǎo)組合數(shù)公式,并會(huì)應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算;3.理解組合數(shù)的性質(zhì),并能應(yīng)用性質(zhì)求值、化簡(jiǎn)和證明.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)
一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)不同的元素,　　　　　地構(gòu)成一組,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.?
過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(　　)(2)組合概念中的“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素”,即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出.(　　)2.一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的排列與組合的區(qū)別是什么?
提示排列要求取出的元素要有順序的排成一組,而組合只要求取出后構(gòu)成一組即可,不要求順序.
過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)不同元素的組合數(shù)與從5個(gè)不同元素中取出2個(gè)不同元素的組合數(shù)相同.(　　)
(2)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名組成一組,有3種不同的選法.(　　)2.如何理解組合與組合數(shù)這兩個(gè)概念?
提示同“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念一樣,“組合”與“組合數(shù)”也是兩個(gè)不同的概念,“組合”是指“從n個(gè)不同元素中取m(m≤n)個(gè)元素合成一組”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事;“組合數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).例如,從3個(gè)不同元素a,b,c中取出兩個(gè)元素的組合為ab,ac,bc,其中每一種都叫一個(gè)組合,這些組合共有3個(gè),則組合數(shù)為3.
探究點(diǎn)一 組合概念的理解
【例1】判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).(1)10個(gè)人相互寫一封信,一共寫了多少封信?(2)10個(gè)人相互通一次電話,一共通了多少次電話?(3)從10個(gè)人中選3人去開會(huì),有多少種選法?(4)從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表,有多少種選法?
解 (1)是排列問(wèn)題,因?yàn)榘l(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的,排列數(shù)為
(2)是組合問(wèn)題,因?yàn)榧着c乙通一次電話,也就是乙與甲通一次電話,沒(méi)有順序區(qū)別,組合數(shù)為 =45.
(3)是組合問(wèn)題,因?yàn)槿ラ_會(huì)的3個(gè)人之間沒(méi)有順序的區(qū)別,組合數(shù)為 =120.
(4)是排列問(wèn)題,因?yàn)?個(gè)人擔(dān)任哪一科的課代表是有區(qū)別的,排列數(shù)為 =720.
規(guī)律方法　區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,關(guān)鍵是看它有無(wú)“順序”,有順序就是排列問(wèn)題,無(wú)順序就是組合問(wèn)題.要判定它是否有順序的方法是:先將元素取出來(lái),看交換元素的順序?qū)Y(jié)果有無(wú)影響,有影響就是“有序”,也就是排列問(wèn)題;沒(méi)有影響就是“無(wú)序”,也就是組合問(wèn)題.
變式訓(xùn)練1(多選題)下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的是(　　)A.把當(dāng)日動(dòng)物園的4張門票分給5個(gè)人,每人至多分一張,而且票必須分完的分配方法B.從2,3,5,7,11這5個(gè)質(zhì)數(shù)中,取2個(gè)數(shù)分別作為分子和分母構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù),能構(gòu)成不同的分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)C.從9名學(xué)生中選出4名參加一個(gè)聯(lián)歡會(huì)的選法D.2022年元旦期間,某班10名同學(xué)互送賀年卡表示新年的祝福,送出賀年卡的張數(shù)
解析 由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動(dòng)物園的門票),不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人,這和順序無(wú)關(guān),因此選項(xiàng)A是組合問(wèn)題;由于選出的2個(gè)數(shù)作分子或分母,結(jié)果是不同的,因此選項(xiàng)B是排列問(wèn)題;由于只考慮選出4名學(xué)生,不需要考慮排列他們的順序,因此選項(xiàng)C是組合問(wèn)題;甲寫給乙賀年卡與乙寫給甲賀年卡是不同的,所以與順序有關(guān),因此選項(xiàng)D是排列問(wèn)題.
分析 先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn),再利用組合數(shù)公式展開計(jì)算
分析 式子中涉及字母,可以用階乘式證明.
規(guī)律方法　關(guān)于組合數(shù)計(jì)算公式的選取
探究點(diǎn)三 組合問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用
【例3】在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,某學(xué)校有12人通過(guò)了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn).在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.分析 根據(jù)題意分別對(duì)不同問(wèn)題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問(wèn)題,運(yùn)用間接法求解會(huì)簡(jiǎn)化思維過(guò)程.
解 (1)任意選5人,則有 =792種不同的選法
(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有 =36種不同的選法.
(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有 =126種不同的選法.
變式探究若本例條件不變,甲、乙、丙三人至多有2人參加,有多少種不同的選法?
解 (方法1　直接法)甲、乙、丙三人至多2人參加,可分為三類:
規(guī)律方法　常見(jiàn)的含限制條件組合問(wèn)題的解法(1)特殊元素:若要選取的元素中有特殊元素,則要以有無(wú)特殊元素,特殊元素的多少作為分類依據(jù).(2)含有“至多”“至少”等限制語(yǔ)句:要分清限制語(yǔ)句中所包含的情況,可以此作為分類依據(jù),或采用間接法求解.(3)分類討論思想:解題的過(guò)程中要善于利用分類討論思想,將復(fù)雜問(wèn)題分類表達(dá),逐類求解.
變式訓(xùn)練3某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名參加某項(xiàng)義診活動(dòng),其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家.問(wèn):(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種?(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?
1.知識(shí)清單:(1)組合的概念;(2)組合數(shù)的計(jì)算方法;(3)組合數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納:公式法求解與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算,直接法、間接法、分類討論法求解“在”與“不在”,“至少”與“至多”型組合問(wèn)題.3.注意事項(xiàng):不能準(zhǔn)確計(jì)算組合數(shù),涉及含參數(shù)的組合數(shù)計(jì)算,不能準(zhǔn)確求出參數(shù)的取值范圍,“至少”與“至多”型組合問(wèn)題,分類討論不全面.
1.以下四個(gè)問(wèn)題,屬于組合問(wèn)題的是(　　)A.從3個(gè)不同的小球中,取出2個(gè)排成一列,有多少種排法?B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌,有多少種排法?C.在電視節(jié)目中,主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星,有多少種選法?D.從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地,有多少種方法?
解析 A,B,D選項(xiàng)均與順序有關(guān),只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星,與順序無(wú)關(guān),是組合問(wèn)題.
2.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的6個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中取3個(gè)球,則共有(　　)種不同的取法.
解析 根據(jù)題意,一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的6個(gè)白球和2個(gè)黑球,共8個(gè)球,從中取3個(gè)球,有 種取法.故選D.
A.3B.5C.3或5D.15
解析 由組合數(shù)的性質(zhì)得,n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5.故選C.
4.6個(gè)朋友聚會(huì),每?jī)扇宋帐?次,一共握手　　　　　次.?
解析 每?jī)扇宋帐?次,無(wú)順序之分,是組合問(wèn)題,故一共握手 =15次.

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4.3 組合

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