8.4 平行線的判定定理一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生技能基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生對平行線的判定已經(jīng)比較熟悉，也有了初步的邏輯推理能力，對簡單的證明步驟有較清楚的認識，這為今天的學(xué)習(xí)奠定了一個良好的基礎(chǔ)．活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在以往的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生對動手操作、猜想、說理、討論等活動形式比較熟悉，本節(jié)課主要采取學(xué)生分組交流、討論等學(xué)習(xí)方式，學(xué)生已經(jīng)具備必要的基礎(chǔ)． 二、教學(xué)任務(wù)分析在以前的幾何學(xué)習(xí)中，主要是針對幾何概念、運算以及幾何的初步證明（說理），在學(xué)生的頭腦中還沒有形成一個比較系統(tǒng)的幾何證明體系，本節(jié)課安排《平行線的判定定理》旨在讓學(xué)生從簡單的幾何證明入手，逐步形成一個初步的、比較清晰的證明思路，為此，本課時的教學(xué)目標(biāo)是：1.熟練掌握平行線的判定公理及定理；2.能對平行線的判定進行靈活運用，并把它們應(yīng)用于幾何證明中．通過經(jīng)歷探索平行線的判定方法的過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式．3.通過學(xué)生畫圖、討論、推理等活動，給學(xué)生滲透化歸思想和分類思想． 三、教學(xué)過程分析本節(jié)課的設(shè)計分為四個環(huán)節(jié)：情景引入——探索平行線判定方法的證明——反饋練習(xí)——反思與小結(jié)． 第一環(huán)節(jié)：情景引入活動內(nèi)容：回顧兩直線平行的判定方法師：前面我們探索過直線平行的條件．大家來想一想：兩條直線在什么情況下互相平行呢？生1：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就叫做平行線．生2：兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行．生3：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補兩直線平行．師：很好．這些判定方法都是我們經(jīng)過觀察、操作、推理、交流等活動得到的．上節(jié)課我們談到了要證實一個命題是真命題．除公理、定義外，其他真命題都需要通過推理的方法證實．我們知道：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”是定義．“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”是公理．那其他的三個真命題如何證實呢？這節(jié)課我們就來探討．活動目的：回顧平行線的判定方法，為下一步順利地引出新課埋下伏筆．教學(xué)效果：由于平行線的判定方法是學(xué)生比較熟悉的知識，教師通過對話的形式，可以使學(xué)生很快地回憶起這些知識． 第二環(huán)節(jié)：探索平行線判定方法的證明活動內(nèi)容：① 證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．師：這是一個文字證明題，需要先把命題的文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和符號語言．所以根據(jù)題意，可以把這個文字證明題轉(zhuǎn)化為下列形式：如圖，已知，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且∠1與∠2互補，求證：a∥b．如何證明這個題呢？我們來分析分析．師生分析：要證明直線a與b平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證明．這時從圖中可以知道：∠1與∠3是同位角，所以只需證明∠1=∠3，則a與b即平行．因為從圖中可知∠2與∠3組成一個平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因為已知條件中有∠2與∠1互補，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代換可以知道：∠1=∠3．師：好．下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫．（在書寫的同時說明：符號“∵”讀作“因為”，“∴”讀作“所以”）證明：∵∠1與∠2互補（已知）   ∴∠1+∠2=180°（互補定義）∴∠1=180°－∠2（等式的性質(zhì)）∵∠3+∠2=180°（平角定義）∴∠3=180°－∠2（等式的性質(zhì)）∴∠1=∠3（等量代換）∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命題稱為：直線平行的判定定理．這一定理可簡單地寫成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．注意：（1）已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依據(jù)．用來證明新定理．（2）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”．這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理．在初學(xué)證明時，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號內(nèi)．② 證明：內(nèi)錯角相等,兩直線平行．師：小明用下面的方法作出了平行線，你認為他的作法對嗎？為什么？（見相關(guān)動畫）生：我認為他的作法對．他的作法可用上圖來表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因為∠BEF與∠FEA組成一個平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE與∠FEA是同旁內(nèi)角．且這兩個角的和為180°，因此可知：CD∥AB．師：很好．從圖中可知：∠CFE與∠FEB是內(nèi)錯角．因此可知：“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”是真命題．下面我們來用規(guī)范的語言書寫這個真命題的證明過程．師生分析：已知，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯角，且∠1=∠2．求證：a∥b證明：∵∠1=∠2（已知）     ∠1+∠3=180°（平角定義）∴∠2+∠3=180°（等量代換）  ∴∠2與∠3互補（互補的定義）∴a∥b（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．這樣我們就又得到了直線平行的另一個判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．③ 借助“同位角相等，兩直線平行”這一公理，你還能證明哪些熟悉的結(jié)論呢？生1：已知，如圖，直線a⊥c,b⊥c．求證：a∥b．證明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定義）∴∠1=∠2（等量代換）∴b∥a（同位角相等，兩直線平行）生2：由此可以得到：“如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”的結(jié)論．師：同學(xué)們討論得真棒．下面我們通過練習(xí)來熟悉掌握直線平行的判定定理．活動目的：通過對學(xué)生熟悉的平行線判定的證明，使學(xué)生掌握平行線判定公理推導(dǎo)出的另兩個判定定理，并逐步掌握規(guī)范的推理格式．教學(xué)效果：由于學(xué)生有了以前學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識，對幾何證明題的格式有所了解，今天的學(xué)習(xí)只不過是將原來的零散的知識點以及學(xué)生片面的認識進行歸納，學(xué)生的認識更提高一步． 第三環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)活動內(nèi)容：課本第46頁的隨堂練習(xí)第一題活動目的：鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，讓教師能對學(xué)生的狀況進行分析，以便調(diào)整前進．教學(xué)效果：由于此題只是簡單地運用到平行線的判定的三個定理（公理），因此，學(xué)生都能很快完成此題． 第四環(huán)節(jié)：學(xué)生反思與課堂小結(jié)活動內(nèi)容：① 這節(jié)課我們主要探討了平行線的判定定理的證明．同學(xué)們來歸納一下完成下表：       ② 由角的大小關(guān)系來證兩直線平行的方法，再一次體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的關(guān)系；而應(yīng)用這些公理、定理時，必須能在圖形中準(zhǔn)確地識別出有關(guān)的角．③ 注意：證明語言的規(guī)范化．推理過程要有依據(jù)．活動目的：通過對平行線的判定定理的歸納，使學(xué)生的認識有進一步的升華，再一次體會證明格式的嚴(yán)謹，體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性．教學(xué)效果：學(xué)生充分認識到證明步驟的嚴(yán)密性，對平行線判定的三個定理有了更進一步的認識．課后作業(yè)：課本第47頁習(xí)題8.5  四、教學(xué)反思平行線是眾多平面圖形與空間圖形的基本構(gòu)成要素之一，它主要借助角來研究兩條直線之間的位置關(guān)系，即通過兩條直線與第三條直線相交所成的角來判定兩條直線平行與否，在教學(xué)中，要緊緊圍繞這些角（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）與平行線之間的關(guān)系展開．學(xué)生初學(xué)證明時，對于證明中的每一步的因果關(guān)系很茫然，有的學(xué)生盡管頭腦中對每一步的前因后果都比較清楚，但寫出來的證明過程前后沒有因果關(guān)系，這需要教師在學(xué)生剛接觸證明題時，再三強調(diào)這一點．對于初學(xué)者而言，為了更好地掌握推理方法，要保證推理有根有據(jù)，上一步的因與下一步的果的因果關(guān)系明確，保證證明過程層次分明、條理清楚． 

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4 平行線的判定定理

版本： 魯教版（五四學(xué)制）（2024）

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