第九章  圖形的相似2．平行線分線段成比例一、學生知識狀況分析     學生在本章前兩課時的學習中，通過對相似圖形的直觀感知，體會到可以用對應線段長度的比來描述兩個形狀相同的平面圖形的大小關(guān)系。從而認識了線段的比，成比例線段。通過對方格紙中成比例線段的探究，了解了合比性質(zhì)與等比性質(zhì)，并在探究活動中積累了一定的合作交流的經(jīng)驗，培養(yǎng)了提出問題與解決問題的能力。同時學生通過對合比性質(zhì)與等比性質(zhì)的演繹證明，也進一步發(fā)展了邏輯推理能力。二、教學任務分析本節(jié)課依舊采用前兩節(jié)在方格紙中探究的方式，引導學生得出平行線分線段成比例及其推論。平行線分線段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理論，是《課程標準》圖形的性質(zhì)及其證明中列出的九個基本事實之一。在知識技能方面，要求學生理解并掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會靈活應用。學生經(jīng)歷運用平行線分線段成比例及其推論解決問題的過程，在觀察、計算、討論、推理等活動獲取知識。讓學生經(jīng)歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數(shù)學思想，并體會數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法。進一步發(fā)展學生的說理和簡單推理的意識及能力；進一步體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。教學目標：（一）知識目標       理解并掌握平行線分線段成比例的基本事實及其推論，并會靈活應用。（二）能力目標        通過應用，培養(yǎng)識圖能力和推理論證能力。（三）情感與價值觀目標（1）、培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生活中的價值。（2）、在進行探索的活動過程中發(fā)展學生的探索發(fā)現(xiàn)歸納意識并養(yǎng)成合作交流的習慣。教學重點：平行線分線段成比例定理和推論及其應用。    教學難點：平行線分線段成比例定理及推論的靈活應用，平行線分線段成比例定理的變式。三、教學過程分析本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習設疑，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)平行線分線段成比例定理及其推論；第三環(huán)節(jié)：平行線分線段成比例定理及其推論的簡單應用；第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)．第一環(huán)節(jié)：復習設疑，引入新課內(nèi)容：教師提問：（1）什么是成比例線段？（2）你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3 ？目的：（1）復習成比例線段的內(nèi)容，回顧上節(jié)課通過方格紙?zhí)骄砍杀壤€段性質(zhì)的過程。（2）通過一個生活中的實例激發(fā)學生探究的欲望。效果：學生對不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3，這一問題很感興趣，急切想要知道解決辦法。第二環(huán)節(jié)：小組活動，探究定理    1. 探究活動一：   內(nèi)容：如圖（1）小方格的邊長都是1，直線a ∥b∥ c  ,分別交直線m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。                                                                                                                                          （１）計算   你有什么發(fā)現(xiàn)？（２）將ｂ向下平移到如下圖2的位置，直線ｍ，ｎ與直線ｂ的交點分別為A2，B2 。你在問題（１）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？如果將ｂ平移到其他位置呢？ 　                         (圖2）（３）在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的線段成比例嗎？      歸納：平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；    目的：讓學生通過觀察、度量、計算、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動，達到對平行線分線段成比例定理的意會、感悟。效果：學生在以前的學習中，尤其是本章前兩節(jié)的探究也是通過表格中的多邊形來完成的。所以學生有種熟悉感，并不感到困難。議一議：內(nèi)容：教師提問：1.如何理解“對應線段”？                2.平行線分線段成比例定理的符號語言如何表示？                3.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？若a ∥b∥ c ，則。   由比例的性質(zhì)還可以得到：，，等。     目的：讓學生在探究得出結(jié)論的基礎上，對平行線分線段成比例定理的有進一步的理解。并掌握定理的符號語言，進一步發(fā)展推理能力。      效果：學生從幾何直觀上很容易找出“對應線段”。利用比例的性質(zhì)寫出成比例線段時，感覺結(jié)論很多，老師這時可以引導總結(jié)出成比例線段的特點，那就是都體現(xiàn)了“對應”二字。探究活動二：      內(nèi)容：如圖3，直線a ∥b∥ c ，分別交直線m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點C2，C3。（如圖4 ），圖4中有哪些成比例線段？                   （圖3）                         (圖4）推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。目的：讓學生脫離表格，不通過計算，運用平行四邊形的性質(zhì)推理得出平行線等分線段定理的推論。效果：學生已經(jīng)學習過特殊四邊形的性質(zhì)與證明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，進而得出推論。而且讓學生歸納表述結(jié)論，可培養(yǎng)學生的抽象概括能力及語言表達能力。進一步探究內(nèi)容：熟悉該定理及推論的幾種基本圖形         目的：加深對平行線分線段成比例定理及其推論的理解，發(fā)展學生的應用能力。效果：經(jīng)過這一環(huán)節(jié)的變式應用，學生能夠歸納出平行線分線段成比例定理及其推論的本質(zhì)特征。探究活動三：     內(nèi)容:直線l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC則圖中還有哪些線段相等？        思考：當平行線之間的距離相等時，對應線段的比是多少？   2.如何不通過測量，運用所學知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3?目的：讓學生體會平行線等分線段定理可看作是平行線分線段成比例定理的特例。解決課堂引入時提出的問題。效果：學生很容易得出此時的對應線段的比值為1，也為后面探究相似與全等的關(guān)系做了鋪墊。第三環(huán)節(jié)：靈活應用內(nèi)容：例1、如圖，在△ABC中，E、F分別是AB和AC上的點，且 EF∥BC, （1）.如果AE = 7, EB=5， FC = 4  ，那么AF的長是多少？ （2）.如果AB = 10,  AE=6，AF = 5  ，那么FC的長是多少？    課堂練習：1、如圖，已知l1//l2//l3, （1）在圖（1）中AB = 5,  BC = 7  ，EF=4，求DE的長。 （2）在圖（2）中DE = 6,  EF = 7  ，AB=5，求AC的長。        2、如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且 DE∥BC, （1）.如果AD = 3.2cm,  DB = 1.2cm  ，AE=2.4cm,那么EC的長是多少？ （2）.如果AB = 5cm,  AD=3cm，AC = 4cm  ，那么EC的長是多少？      目的：通過對平行線分線段成比例定理的簡單應用，規(guī)范書寫格式，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ罨瘜χR的理解。效果：由學生直觀操作得出的結(jié)論與簡單推理進行有機結(jié)合，是對探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，實現(xiàn)理性升華，培養(yǎng)語言表達能力。第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)：內(nèi)容：本節(jié)課你有哪些收獲？目的：通過師生反思評價，實理知識的系統(tǒng)歸納，對知識和方法進行總結(jié)，并通過作業(yè)和考題全面鞏固平行線分線段成比例定理及其推論。效果：學生都能歸納出：1、兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；2、平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)：    問題解決 3、4.  學法指導本節(jié)的難點也是平行線分線段成比例定理.平行線分線段成比例定理變式較多，學生在找對應線段時常常出現(xiàn)錯誤；另外在研究平行線分線段成比例時，常用到代數(shù)中列方程的方法，利用已知比例式或等式列出關(guān)于未知數(shù)的方程，求出未知數(shù)，這種運用代數(shù)方法研究幾何問題，學生接觸不多，也常常出現(xiàn)錯誤.在授課過程中要根據(jù)學生的個體差異，注意因材施教、分層教學，在教學中結(jié)合課本“想一想”、“議一議”、“做一做”等教學環(huán)節(jié)調(diào)動學生的潛能，為每一位學生創(chuàng)設施展才能的空間，讓學生學得輕松、愉快，培養(yǎng)學生的成就感，使每一位學生都能獲得不同程度的成功。同時把學生的活動貫穿于教學的整體過程中，提供學生學習合作、交流、探索、歸納的機會，使學生最大限度的動手、動口、動腦、同伴互助，讓學生通過實際感悟平行線分線段成比例定理及其推論的區(qū)別與聯(lián)系。   

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2 平行線分線段成比例

版本： 魯教版（五四學制）（2024）

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