章末復習課第一章　空間向量與立體幾何知識網(wǎng)絡內(nèi)容索引空間向量及其運算 一1.空間向量的運算主要包括空間向量的加減、數(shù)乘運算以及坐標運算，一般與共面定理，共線定理以及空間向量基本定理綜合考查.2.掌握基本的運算及共面、共線定理以及空間向量基本定理，重點提升數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng).1(2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項中，正確的是√√又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，因此D正確，其余兩個都不正確.空間向量的數(shù)乘運算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的.(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個向量是否與已知的兩個不共線的向量共面，特別地，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使反思感悟 (1)在空間直角坐標系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點P在z軸上，且滿足 ，則P點坐標為A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0，－3)√設P(0,0，z)，(2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，利用空間向量證明位置關系 二1.主要考查利用直線的方向向量與平面的法向量，判定、證明空間中的直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直.2.掌握直線的方向向量與平面的法向量，理解并記憶判定平行與垂直的公式，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng). 在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點.(1)求證：BM∥平面PAD；以A為坐標原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)，又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由.假設平面PAD內(nèi)存在一點N，使MN⊥平面PBD.從而MN⊥BD，MN⊥PB，利用空間向量證明或求解立體幾何問題時，首先要選擇基底或建立空間直角坐標系轉(zhuǎn)化為其坐標運算，再借助于向量的有關性質(zhì)求解(證).反思感悟 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求證：AC⊥BC1；在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，因為AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).(2)請說明在AB上是否存在點E，使得AC1∥平面CEB1.假設在AB上存在點E，使得AC1∥平面CEB1，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，所以在AB上存在點E，使得AC1∥平面CEB1，這時點E為AB的中點.利用空間向量求空間角 三1.主要考查利用直線的方向向量與平面的法向量，求直線與直線所成的角，直線與平面的夾角，平面與平面所成的角.2.掌握并理解利用直線的方向向量與平面法向量求角的公式，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng). 已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝3，M，N分別是棱BB1，BC上的點，且BM＝2，BN＝1，建立如圖所示的空間直角坐標系.求：(1)異面直線DM與AN所成角的余弦值；由題意知，A(0,0,0)，D(2,0,0)，M(0,4,2)，N(1,4,0)，C1(2,4,3), (2)直線DM與平面AMN所成角的正弦值.設平面AMN的法向量為n＝(x，y，z)，取x＝4，y＝－1，z＝2，故平面AMN的一個法向量為n＝(4，－1,2)，反思感悟(1)在建立空間直角坐標系的過程中，一定要依據(jù)題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標系，這樣才會容易求得解題時需要的坐標.(2)直線和平面所成的角、兩個平面的夾角類問題有兩種思路：轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角、利用平面的法向量. 如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點.(1)求證：GF∥平面ADE；方法一　如圖，取AE的中點H，連接HG，HD，因為G是BE的中點，由四邊形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.方法二　如圖，取AB的中點M，連接MG，MF.由G是BE的中點，可知GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因為GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因為GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)求平面AEF與平面BEC所成角的余弦值.方法一　如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點作BQ∥EC.因為BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因為AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B為坐標原點，分別以BE，BQ，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Bxyz，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1).設n＝(x，y，z)為平面AEF的法向量.取z＝2，得n＝(2，－1,2).方法二　同方法一.利用空間向量計算距離 四1.空間距離的計算思路(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量 在直線l上的投影向量為 ＝a，則點P到直線l的距離為 (如圖)(利用勾股定理和向量夾角公式轉(zhuǎn)化易得).(2)設平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為 (如圖).2.通過利用向量計算空間的角，可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數(shù)學運算能力. 在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點D到平面ABC的距離.如圖所示，以AD的中點O為原點，以OD，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標系，設n＝(x，y，z)為平面ABC的一個法向量，利用坐標法證明幾何問題的思路(1)建立平面直角坐標系；(2)設出各點的坐標；(3)列出代數(shù)等式，并化簡；(4)驗證結論成立.反思感悟利用向量法求點面距，只需求出平面的一個法向量和該點與平面內(nèi)任一點連線表示的向量，代入公式求解即可.√以點A為坐標原點，分別以直線AB，AD，AA1 為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖，易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，

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