理解平方差公式的幾何背景及其推導過程
牢記平方差公式，并熟練運用于計算與巧算
Q：如圖，求綠色部分的的面積？（請用多種方法求解）
法一：S綠=a2-b2
法二：S綠=(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
則：(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2
即：(a+b)(a-b)=a2-b2
【平方差公式】(a +b)(a -b)=a2-b2
記憶口訣：一同一反，平方相減
【特征總結(jié)】①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
計算：（1）(xy+4)(xy-4)； （2）(-2a+7b)(-2a-7b)
【分析】（1）相同項：xy相反項：4與-4
把xy看作整體，則可以用平方差公式
【解答】（1）原式=(xy)2-42=x2y2-16
【分析】（2）相同項：-2a相反項：7b與-7b
把-2a、7b分別看作整體，則可以用平方差公式
【解答】（2）原式=(-2a)2-(7b)2=4a2-49b2
計算：(a+b+c)(a+b-c)
【解答】法一：用多項式的乘法法則原式=a2+ab-ac+ba+b2-bc+ca+cb-c2=a2+b2-c2+2ab
【分析】相同項：(a+b)相反項：c與-c
把(a+b)看作整體，則可以用平方差公式
【解答】法二：用平方差公式原式=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2=a2+b2-c2+2ab
【拓展公式】(a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab
【注意點】①公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；②對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．
【乘法公式】平方差公式也叫做乘法公式，在計算時可以直接使用
例1、將正方形的南北方向增加3m，東西方向縮短3m，則改造后的長方形面積與原來相比（　　）A．減少9m2 B．增加9m2 C．保持不變 D．無法確定
【分析】設原來正方形的邊長為am，則其面積為a2m2，改造后的長方形面積為(a+3)(a-3)=(a2-9)m2，∴改造后的長方形面積與原來相比減少了9m2．
【平方差公式的幾何背景】
例2、下列等式成立的是（　?。〢．(-x-1)(-x-1)=x2-2x+1 B．(-x+1)(-x+1)=-x2-2x+1C．(1+x)(-x+1)=1-x2 D．(-x+1)(-x-1)=-x2-1
【分析】A．(-x-1)(-x-1)=(-x-1)2 =(x+1)2 =x2+2x+1 ，A錯誤；B．(-x+1)(-x+1)=(-x+1)2=(x-1)2=x2-2x+1，B錯誤；
【平方差公式的直接計算】
C．相同項：1，相反項：x與-x，(1+x)(-x+1)=12-x2，C正確；D．相同項：-x，相反項：1與-1，(-x+1)(-x-1)=(-x)2-12=x2-1，D錯誤．
例3、先化簡，再求值：(2a+3b)(-2a+3b)+(a+b)2+(a-b)2，其中a=1，b=-2．
【分析】(2a+3b)(-2a+3b)+(a+b)2+(a-b)2=9b2-4a2+[a2+2ab+b2+(a2-2ab+b2)]=9b2-4a2+(2a2+2b2)=-2a2+11b2，當a=1，b=-2時，原式=-2×12+11×(-2)2=42．
例4-1、計算：997×1003
【利用平方差公式巧算】
【分析】997×1003=(1000-3)×(1000+3)=10002-32=1000000-9=999991
例4-2、計算：(a+3b)2(a-3b)2
【分析】原式=[(a+3b)(a-3b)]2=(a2-9b2)2=a4-18a2b2+81b4
例4-3、計算：(3a-b)(3a+b)(9a2+b2)
【分析】原式=(9a2-b2)(9a2+b2)=81a4-b4
例5、已知a-b=2，則a2-b2-4b的值為（　?。〢．5 B．4 C．2 D．1
【平方差公式的逆用——求值】
【分析】∵a-b=2，∴a2-b2-4b=(a+b)(a-b)-4b=2(a+b)-4b=2a+2b-4b=2(a-b)=2×2=4．
例6、計算：(a+2b)2-(a-2b)2
【分析】原式=[a+2b+(a-2b)]·[a+2b-(a-2b)]=2a·4b=8ab
【平方差公式的逆用——巧算】
把(a+2b)、(a-2b)分別看作整體，則可以逆用平方差公式
例7、計算：(2x+3+y)(2x+3-y)
【分析】原式=(2x)2+32-y2+2·2x·3=4x2+9-y2+12x=4x2-y2+12x+9
把2x看作整體，則可以用(a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab這個公式
【平方差公式】 (a+b)(a-b)=a2-b2 記憶口訣：一同一反，平方相減【特征總結(jié)】 ①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)； ②右邊是相同項的平方減去相反項的平方【拓展公式】 (a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab【注意點】 ①公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式； ②對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．

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9.4 乘法公式

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