2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及余弦的兩角和公式，即可求解．【詳解】．故選：B．2．下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)，適合；最小正周期為，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上不單調(diào)，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上為增函數(shù)，不適合.故選A3．已知，，且則在上的投影數(shù)量為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得，從而求得，再由投影數(shù)量的定義直接計算即可．【詳解】，，，即，，在上的投影數(shù)量為．故選：D．4．古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，且黃金分割率的值也可以用表示，則（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】利用正弦的二倍角公式、三角平方關(guān)系可得答案.【詳解】.故選：B.5．已知，將圖象上橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變時），得到求的圖象.的部分圖象如圖所示（，分別是函數(shù)的最高點和最低點），其中，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用恒等變換得到，結(jié)合題干條件和向量數(shù)量積得到，結(jié)合，得到，最小正周期，求出的值.【詳解】，因為D，C分別為函數(shù)的最高點和最低點，所以，由可得：，從而，所以，過點C作CE⊥x軸于點E，則，且由三線合一可知，為AB中點，CE平分∠ACB，故，所以，函數(shù)最小正周期，即，解得：故選：B6．已知，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件結(jié)合向量數(shù)量積的運算和三角恒等變換可得，再由誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求得．【詳解】因為，且，所以，所以，所以，所以，故選：B7．已知函數(shù)，給出下列4個結(jié)論：①的最小值是；②若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；③將的函數(shù)圖象橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則；④若存在互不相同的，，，使得，則其中所有正確結(jié)論的序號是（    ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②【答案】A【分析】化簡得到，，①正確，時，，②正確，，時不相等，③錯誤，，解得，④正確，得到答案.【詳解】，對①：當(dāng)時，，正確；對②：，則，時，，正確；對③：，時，，不相等，錯誤；對④：，，，則，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，解得，正確.故選：A8．在四邊形ABCD中，，作于點H．若，則（    ）A． B．10 C． D．12【答案】D【分析】設(shè)AC與BD交于點O，由已知可得，則，且即可求結(jié)果.【詳解】設(shè)AC與BD交于點O，因為，所以．又于點H，且，所以，所以．故選：D 二、多選題9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（    ）A．B．在上單調(diào)遞增C．的解集為D．將的圖像向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)圖象易得與周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)解析式，即可判斷A；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性代入驗證即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可判斷C；根據(jù)平移變換求出變換后的函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性即可判斷D.【詳解】解：由圖可得，，所以，所以，所以，將點代入得，，即，又，所以，所以，故A正確；當(dāng)，則，所以函數(shù)在上不單調(diào)遞，故B錯誤；若，則，所以，即，所以的解集為，故C正確；將的圖像向左平移個單位長度，可得函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故D錯誤.故選：AC.10．下列計算正確的有（    ）A．B．C．在處取得最大值，則D．已知，，且，則【答案】ABD【分析】A選項根據(jù)和兩角差的正切公式求解；B選項補(bǔ)上一個后，可反復(fù)利用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；C選項利用輔助角公式求解，D選項利用向量的運算化簡，然后利用同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系求解.【詳解】對于A， ，故A正確；對于B， ，故B正確；對于C，，其中，當(dāng)，即時，取得最大值，此時，故C錯誤；對于D，，則，邊同時平方可得：，故，故D正確．故選：ABD11．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時秒經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列結(jié)論正確的是（    ）    A．B．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增C．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減D．當(dāng)秒時，【答案】BCD【分析】利用周期求出點終邊對應(yīng)的角，根據(jù)三角函數(shù)的定義得，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷各個選項即可．【詳解】因為，所以，，又因為旋轉(zhuǎn)一周用時秒，所以角速度，所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義，，對于選項A：由解析式可知，故A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故B正確；對于選項C：當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故C正確；對于選項D：當(dāng)時，，此時，所以，故，故D正確．故選：BCD．12．已知平面向量，，則的可能值為（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】AB【分析】先對平方得到，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】因為，，所以；設(shè)，作出簡圖，易知，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最大值6；當(dāng)直線經(jīng)過點時，有最小值；所以.故選：AB. 三、填空題13．已知向量滿足，與的夾角為，則        ．【答案】【分析】結(jié)合模長、數(shù)量積公式、化簡即可求解.【詳解】由，因為，與的夾角為，所以，，故.故答案為：14．已知，且，則         ．【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式求的值，再利用二倍角公式求的值.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以.故答案為：.15．“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月牙泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點間距離為米.其中外岸為半圓形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游客步行的路程為       米.【答案】【解析】如圖，作出月牙湖的示意圖，由題意可得，可求的值，進(jìn)而由圖利用扇形的弧長公式可計算得解.【詳解】如圖，是月牙湖的示意圖，是的中點，連結(jié)，可得，由條件可知， 所以，所以，，所以月牙泉的周長.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題抽象出圖象，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析問題.16．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是           .【答案】【分析】將代入的解析式，求φ的值, 結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列關(guān)于ω的不等式組，即可得解.【詳解】由題意得，∴，又，∴，∴，∵的圖象過點，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴作出的大致圖象如圖所示，其中為在y軸左邊的第一個零點，為在y軸右邊的第一個極大值點，∴，∴，得，∴，得，∴ ω的取值范圍是.故答案為： 四、解答題17．已知，其中為銳角，若與夾角為90°，(1)求的值(2)求的值【答案】(1)(2) 【分析】（1）依題意可得，即可得到，從而求出，再利用誘導(dǎo)公式將式子化簡，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，代入計算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；【詳解】（1）解：因為與夾角為，所以，即，即，即，又，，即，所以，又為銳角，所以，所以（2）解：18．在①函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，且圖象關(guān)于原點對稱；②向量，，，；③函數(shù).在以上三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中空格位置，并解答.已知______，函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)若，且，求的值；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)，． 【分析】（1）若選條件①，根據(jù)函數(shù)的周期性求出，再根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則及函數(shù)的對稱性求出，即可得到函數(shù)解析式，再求出的值，最后代入計算可得；若選條件②，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)周期性求出，即可得到函數(shù)解析式，再求出的值，最后代入計算可得；若選條件③，利用兩角和的正弦公式及二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)周期性求出，即可得到函數(shù)解析式，再求出的值，最后代入計算可得；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的定義域令和，即可求出函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；【詳解】（1）解：若選條件①：由題意可知，，，，，又函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以，，，，，，，，，，．若選條件②：因為，，，，所以又，，．，，，；若選條件③：，又，，．，，，；（2）解：由，，解得，，令，得，令，得，函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，．19．已知，，，.(1)求的值；(2)求的值：(3)求的值.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）同角三角函數(shù)平方關(guān)系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.（2）由誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方關(guān)系求，最后應(yīng)用差角余弦公式求，結(jié)合角的范圍求.【詳解】（1）由題設(shè)，，，∴，，又.（2）.（3）由，則，由，則，∴，，又，，則，∴，而，故.20．已知函數(shù)（）．（1）求的最小正周期及對稱軸方程（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，并分別寫出相應(yīng)的的值．【答案】（1），對稱軸.；（2）時，；時，．【分析】（1）三角函數(shù)問題，一般先把函數(shù)化為的形式，用二倍角公式和兩角和與差的正弦（余弦）公式可化，然后再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)可得；（2）利用正弦函數(shù)的最大值和最小值可求得的最大值最小值，但要結(jié)合題中給出的的范圍．【詳解】解：（1），所以的最小正周期為．由，可得.所以對稱軸；（2）∵，所以，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．21．某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設(shè)計如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點為半圈上一點（異于，），點在線段上，且滿足.已知，，設(shè).（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果； （2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時，取得最大值，并求該最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)，達(dá)到最大，最大值為【解析】（1）設(shè)，則在直角中，，，計算得到，計算最值得到答案.（2）計算，得到，得的最值.【詳解】（1）設(shè)，則在直角中，，.在直角中，，.，，所以當(dāng)，即，的最大值為.（2）在直角中，由，可得.在直角中，，所以，，所以，所以當(dāng)，達(dá)到最大值.【點睛】本題考查了利用三角函數(shù)求最值，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的應(yīng)用能力.22．已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；(2)記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時的值；(3)由（1）中函數(shù)的圖象（縱坐標(biāo)不變）橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象，已知，，問在的圖象上是否存在一點P，使得.若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在點，使得. 【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式求出，從而得到的伴隨向量；（2）根據(jù)向量得到，利用利用湊角法得到；（3）先求出，再設(shè)出P點坐標(biāo)，利用向量垂直關(guān)系得到方程，變形整理后得到，根據(jù)等式左右兩邊的取值范圍，得到當(dāng)且僅當(dāng)時，和同時等于，此時.【詳解】（1），故；（2）由題意得：，故，由于，所以，所以，所以.（3），所以，假設(shè)存在點，使得，則即，因為，所以，所以，又因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，和同時等于，此時，故在函數(shù)的圖象上存在點，使得. 

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