2022-2023學(xué)年遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解.【詳解】解：，復(fù)數(shù)的虛部為．故選：．2．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式變形后，再弦化切可得結(jié)果.【詳解】.故選：B3．正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】由三視圖得原圖形的形狀，結(jié)構(gòu)，得邊長(zhǎng)后可得周長(zhǎng)．【詳解】作出原圖形如下圖所示：由三視圖知原圖形是平行四邊形，如圖，，，，，所以平行四邊形的周長(zhǎng)是．故選：A．  4．已知向量，滿足，，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求得，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>.又，所以.所以，因?yàn)?/span>，所以與的夾角為.故選：C5．?dāng)€尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由側(cè)面為等邊三角形，結(jié)合面積公式求解即可..【詳解】設(shè)底面棱長(zhǎng)為，正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則側(cè)面為等邊三角形，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為.故選：D6．如圖，函數(shù)（，，）的部分圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)分別為，Q，R，且線段RQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則等于（    ）  A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】利用線段RQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)求出Q，R的坐標(biāo)，求出周期,寫出的解析式，計(jì)算的值即可.【詳解】設(shè)， 線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,，解得，，解得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)五點(diǎn)法畫圖，令，解得，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得，..故選：A7．如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（    ）  A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，結(jié)合勾股定理余弦定理等求解即可.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，  設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，  當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.   同理可求：，因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得：.故選：D.8．已知中，，D，E是線段BC上的兩點(diǎn)，滿足，，，，則BC長(zhǎng)度為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得出，由兩邊平方可求得然后在中利用余弦定理可求得答案.【詳解】如圖，記,，，，，，即，，，，即，，在中，,.故選：C. 二、多選題9．下列命題正確的是（    ）A．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，，則△ABC是等腰三角形B．已知，，則C．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，則的值為D．在△ABC中，，AB＝2，BC＝4，則BC邊上的高為【答案】BCD【分析】由已知可得A＝B或，可判斷A；求得，可求判斷B；求得，可判斷C；先根據(jù)余弦定理求出b＝4，然后利用等面積法即可求出BC邊上的高．【詳解】解：對(duì)于A，∵，∴2A＝2B或，∴A＝B或，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，，∴，∴，∴，故B正確；在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，則，故C正確；在△ABC中，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，則c＝2，a＝4，因?yàn)?/span>，所以，整理得，解得b＝4，（負(fù)值舍去），因?yàn)?/span>，，設(shè)BC邊上的高為h，則，，解得，故D正確.故選：BCD．10．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓交于點(diǎn)，射線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度后交該圓于點(diǎn)B，記點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為．則下列說法正確的是（    ）．A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．若，，則【答案】BD【分析】由題意確定，由此可求得判斷A；結(jié)合正弦函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性可判斷BC；由可得，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系可判斷D.【詳解】由題意可知，而，故，故，則，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)取最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，由于的最小正周期為，故和不同，C錯(cuò)誤；若，，即，因?yàn)?/span>，故，則，D正確，故選：BD11．在學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)后，為了鍛煉實(shí)踐能力，某同學(xué)搞了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點(diǎn)處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，由于受到地勢(shì)的限制，他又選了點(diǎn)，，，使點(diǎn)，，共線，點(diǎn)位于點(diǎn)的正西方向上，點(diǎn)位于點(diǎn)的正東方向上，測(cè)得，，，，并經(jīng)過計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是（    ）A． B．的面積為C． D．點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上【答案】AC【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；對(duì)于，先求出，，，再根據(jù)，，即可判斷；對(duì)于，根據(jù)三角形的面積公式求解即可，即可判斷；對(duì)于，在中，由正弦定理，即可判斷；對(duì)于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，即可判斷．【詳解】對(duì)于，因?yàn)?/span>，點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，所以，，，又，，，，在，中，，，所以，故A正確；對(duì)于，的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正確；對(duì)于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，所以，故D錯(cuò)誤，故選：．12．已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，c =2．則下列結(jié)論正確的是（    ）A．△ABC的周長(zhǎng)最大值為6B．的最大值為C．D．的取值范圍為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式即可求解周長(zhǎng)的最大值；B選項(xiàng)，先利用向量的數(shù)量積計(jì)算公式和余弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等變換得到，結(jié)合B的取值范圍即可求出的最大值；C選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)中的正弦定理進(jìn)行求解即可；D選項(xiàng)，用進(jìn)行變換得到，結(jié)合A的取值范圍即可得到的取值范圍．【詳解】對(duì)于A，由余弦定理得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則△ABC周長(zhǎng)，所以△ABC周長(zhǎng)的最大值為6，故A正確；對(duì)于B，由，又由正弦定理得，則，，所以，因?yàn)?/span>，所以，則的最大值為，即的最大值為，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C，結(jié)合B選項(xiàng)得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AB．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)相關(guān)的取值范圍問題，常常利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)及三角恒等變換進(jìn)行求解，或者將角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式進(jìn)行求解． 三、填空題13．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，，則      ．【答案】2【分析】由正弦定理可得：，代入即可得出答案【詳解】由正弦定理可得：，則.故答案為：.14．已知正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則正四棱臺(tái)的高為          .【答案】【分析】取上、下底面的中心，過點(diǎn)作，再利用條件和正四棱臺(tái)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，在正四棱臺(tái)中，分別取上、下底面的中心，連，因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以，過點(diǎn)作，垂足為，則易知且，在Rt中，，，所以，故正四棱臺(tái)的高為.  故答案為：.15．已知復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為         ．【答案】6【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)(為實(shí)數(shù))，則復(fù)數(shù)滿足的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)，則表示的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，所求最大值為.故答案為：6.16．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若向量，，且，則      【答案】【分析】由正弦定理邊化角結(jié)合余弦定理可得，由垂直向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合余弦定理可求得，結(jié)合內(nèi)角和為，即可得出答案.【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，即，又由余弦定理，所以，則或．因?yàn)?/span>A，，且，所以，故．因?yàn)?/span>，所以，結(jié)合正弦定理得，即，由余弦定理可得，則，則有，解得．故答案為：. 四、解答題17．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）由正三棱柱、線面垂直性質(zhì)可得CC1⊥BC，求出CD，即可得側(cè)棱長(zhǎng)；（2）利用棱柱表面積的求法求正三棱柱的表面積.【詳解】（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根據(jù)正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC?面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1的中點(diǎn)，故側(cè)棱長(zhǎng)為2.（2）底面積為S1=2S△ABC=2×2×=2，側(cè)面積為S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面積為S=S1 +S2=12+2.18．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得的共軛復(fù)數(shù)，代入中，化簡(jiǎn)求得對(duì)應(yīng)的實(shí)部與虛部，再由純虛數(shù)的定義即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）將代入中化簡(jiǎn)，求得復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再由第二象限點(diǎn)的特點(diǎn)，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，又為純虛數(shù)，，解得.（2），因?yàn)閺?fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以的取值范圍是.19．已知(1)若，求函數(shù)的值域；(2)在，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且的面積為，當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，由正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）由已知可得，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理求，進(jìn)而求周長(zhǎng).【詳解】（1）由題意，函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，可得，∴，故，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>．（2）由（1）得，所以，因?yàn)?/span>，得，所以，解得，又，可得，由余弦定理得，因?yàn)?/span>，所以，所以的周長(zhǎng)為．20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．滿足．(1)求角B的大小；(2)設(shè)，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用正弦定理和誘導(dǎo)公式求解即可.（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，兩角和的正弦定理結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理得，,可得，因?yàn)?/span>，故，則，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（ⅰ）則，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，則，則，，則.21．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)設(shè)AD是BC邊上的高，且，求面積的最小值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用二倍角公式和角的正余弦公式化簡(jiǎn)求解作答.（2）利用三角形面積公式化簡(jiǎn)得，再利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】（1）在中，由及二倍角公式，得，即，整理得，因此，即，而，所以.（2）由（1）及已知，得，即有，由余弦定理得，即，因此，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以面積的最小值為.22．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足，．(1)求角B的值；(2)求BC的取值范圍．【答案】(1)條件選擇見解析，(2) 【分析】（1）根據(jù)所選條件，采用正余弦定理或者三角形面積公式一一計(jì)算即可（2）根據(jù)題意，選擇①②③求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）選①：，即 ，由正弦定理可得： ，整理得 ，所以，即，又，所以,得到，又，所以.選②： ，由正弦定理可得： ，整理得 ，即，又由余弦定理，所以，又，所以.選③： ，根據(jù)條件得，得到 ，又，所以.綜上，無論選擇哪個(gè)條件，（2）設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得 ，因?yàn)?/span>，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是. 

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