2022-2023學(xué)年遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知，由集合的包含關(guān)系可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，即，解得，即，因為，且，則，所以，.故選：B.2．“ ”的一個充分條件是（    ）A． B．  C． D．【答案】D【分析】解不等式直接證明，或舉特例判斷.【詳解】根據(jù)得為任意實數(shù)，所以A錯；由，得，當(dāng)且時，有；當(dāng)且時，有，不滿足題意，所以B錯；因為滿足，也滿足，不滿足題意，所以C錯；因為，所以，所以能推出，滿足題意，D 正確.故選： D.3．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷，可得答案.【詳解】由題意知，，所以，故選：D.4．函數(shù)在上的圖象的大致形狀是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的奇偶性以及在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD選項，且當(dāng)時，，，則，排除B選項.故選：A.5．質(zhì)數(shù)也叫素數(shù)，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家馬林-梅森曾對“”（p是素數(shù)）型素數(shù)進(jìn)行過較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學(xué)界將“”（p是素數(shù)）形式的素數(shù)稱為梅森素數(shù)．已知第12個梅森素數(shù)為，第14個梅森素數(shù)為，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為（    ）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【答案】C【分析】近似化簡，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，令，兩邊同時取常用對數(shù)得，∴，∴，結(jié)合選項知與最接近的數(shù)為.故選：C.6．若為奇函數(shù)，則實數(shù)a，b的值分別為（    ）A．e，1 B．，1 C．e， D．，【答案】C【分析】由和是方程的兩個根得出的值，再由奇函數(shù)的定義得出的值.【詳解】，當(dāng)時，，所以和是方程的兩個根，所以，即，因為，所以，即，即.故選：C7．已知實數(shù)a，b滿足，，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為相同的形式，然后構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算即可化簡求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，又因為，即，構(gòu)造函數(shù)，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，即存在唯一的實數(shù)，使得，所以，所以，即，所以，故選：C.8．已知函數(shù)，，若有6個零點，則a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)圖象，進(jìn)行分析，最多有兩個零點，根據(jù)最多4個零點，用數(shù)形結(jié)合討論各種情況，根據(jù)一元二次方程根的分布即可得出結(jié)果.【詳解】由題可得函數(shù)圖象，當(dāng)或時，有兩個解；當(dāng)時，有4個解；當(dāng)時，有3個解；當(dāng)時，有1個解；因為最多有兩個解.因此，要使有6個零點，則有兩個解，設(shè)為，.則存在下列幾種情況：①有2個解，有4個解，即或，，顯然，則此時應(yīng)滿足，即 ，解得，②有3個解，有3個解，設(shè)即，，則應(yīng)滿足，無解，舍去，綜上所述，的取值范圍為.故選：B.  【點睛】方法點睛：解決復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)問題的時候，常用數(shù)形結(jié)合分析，分析各種情況后，往往會用到零點的存在性定理或根的分布情況來確定參數(shù)的取值范圍. 二、多選題9．（多選題）已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項，若且，則以下結(jié)論正確的有（   ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公比，可知，A正確；由于不確定和的正負(fù)，所以不能確定和的大小關(guān)系；根據(jù)題意可知等差數(shù)列的公差為負(fù)，所以可判斷出C不正確，D正確．【詳解】對A，等比數(shù)列的公比，和異號， ，故A正確；對B，因為不確定和的正負(fù)，所以不能確定和的大小關(guān)系，故B不正確；對C D ，和異號，且且，和中至少有一個數(shù)是負(fù)數(shù)，又， ，故D正確，一定是負(fù)數(shù)，即 ，故C不正確.故選：AD.10．下面命題正確的是（    ）A．不等式的解集為B．不等式的解集為C．不等式在時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍為【答案】ACD【分析】解含參數(shù)的不等式判斷AB；分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)求出最小值判斷C；利用二次函數(shù)零點分布求出m的范圍判斷D作答.【詳解】對于A，不等式化為，解得，則原不等式的解集為，A正確；對于B，不等式化為，解得，不等式的解集為，B錯誤；對于C，不等式在時恒成立，當(dāng)時，成立，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，則，所以實數(shù)m的取值范圍為，C正確；對于D，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個零點，則當(dāng)在上有等根時，，解得，當(dāng)在上只有1個根時，，解得，或或，解得，于是，所以實數(shù)m的取值范圍為，D正確.故選：ACD11．函數(shù)和有相同的最大值b，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點的橫坐標(biāo)依次為，，，則下列說法正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)最大值的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、指數(shù)與對數(shù)恒等式進(jìn)行求解即可.【詳解】對于AB，，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于是有，，因此選項AB正確，對于CD，兩個函數(shù)圖像如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設(shè)，且，由，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，即，因為，所以選項C錯誤，D正確，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合等式是解題的關(guān)鍵.12．已知函數(shù)，下列選項正確的是（    ）A．當(dāng)有三個零點時，的取值范圍為B．是偶函數(shù)C．設(shè)的極大值為，極小值為，若，則D．若過點可以作圖象的三條切線，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】由可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，結(jié)合求出的值，可判斷C選項；設(shè)切點橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出方程有三個不等的實根，可知，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，令可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，令，可得，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，A對；對于B選項，，該函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)是偶函數(shù)，B對；對于C選項，，令，可得，列表如下：減極小值增極大值減所以，，，所以，，解得，C錯；對于D選項，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，所以，曲線在處的切線方程為，將點的坐標(biāo)代入切線方程得，整理可得，令，其中，則，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減若過點可以作圖象的三條切線，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，合乎題意，D對.故選：ABD.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題. 三、填空題13．已知，，且，則的最小值是           .【答案】/4.5【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意取值條件.【詳解】由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值是.故答案為：14．已知，若與的值域相同，則實數(shù)a的取值范圍是      .【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的值域，進(jìn)而由題設(shè)條件得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時，；當(dāng)時，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，因為與的值域相同，所以.故答案為：15．若為奇函數(shù)，則的表達(dá)式可以為      .【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義探討函數(shù)的特性，再求出解析式作答.【詳解】函數(shù)中，必有，即或，而函數(shù)是奇函數(shù)，即恒成立，因此對定義域內(nèi)任意實數(shù)有成立，即成立，于是函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，取，所以的表達(dá)式可以為.故答案為：16．已知定義在上的函數(shù)滿足，且關(guān)于對稱，當(dāng)時，.若，則      .【答案】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由已知可得出，求出、的值，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】因為函數(shù)關(guān)于對稱，則，即，所以，，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，又因為，則，即，所以，。則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，又因為當(dāng)時，，則，①在等式中，令可得，即，②聯(lián)立①②可得，，故當(dāng)時，，所以，.故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求函數(shù)在上的最小值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的切線方程即可求得參數(shù)值；（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.【詳解】（1）由已知可得．又，所以．（2）由（1）可知，，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)在上的最小值為．18．已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項公式.(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；（2）先利用（1）結(jié)果求出，再利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求和即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；（2）由題意得，時，,當(dāng)時，，∴.19．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求時的解析式；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求的解析式；（2）由（1）得，應(yīng)用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求在對應(yīng)區(qū)間上的值域，即可得答案.【詳解】（1）令，則，故，而，所以，則.（2）由（1）知：，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時；當(dāng)，單調(diào)遞增，則；綜上，函數(shù)值域為.20．為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近期投放市場．根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計每枚該紀(jì)念章的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表上市時間x/天2632市場價y/元1486073(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③，④中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系（無需說明理由），并利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低市場價；(2)記你所選取的函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)選擇，該紀(jì)念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元(2). 【分析】（1）從題表的單調(diào)性入手，選出，再用待定系數(shù)法求解；（2）不等式變形為在上恒成立，只需，分與兩種情況，求出相應(yīng)的函數(shù)最小值，列出不等式，求出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1）由題表知，隨著時間的增大，的值隨的增大，先減小后增大，而所給的函數(shù)，和在上顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，故選擇． 把，，分別代入，得，解得，∴，．又，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，y有最小值，且．故當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元；（2）原不等式可以整理為：，，因為對，都有不等式恒成立，則．（i）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時， ．∴，解得，不符合假設(shè)條件，舍去．（ii）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，故，只需．整理得：，∴（舍去），綜上，實數(shù)k的取值范圍是．21．已知函數(shù)，.(1)若的定義域為，值域為R，求a的值：(2)在條件（1）下，當(dāng)，時，總滿足，求c的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由定義為，可得恒成立；由值域為可得，能取到內(nèi)任意實數(shù)，即可得的值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求解【詳解】（1）因為的定義域為，所以且，恒成立，又因為值域為，所以能取到內(nèi)任意實數(shù)，故；（2）因為，所以，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以在,上單調(diào)遞減，，則題目可轉(zhuǎn)化為： 恒成立，即，因此，故故的取值范圍為22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.【答案】(1)結(jié)論見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類探討的正負(fù)作答.（2）等價變形給定等式，結(jié)合時函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得則，由得，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，兩邊取對數(shù)得，即，由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，時，恒成立，因此當(dāng)時，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，又，則有，則，所以.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù). 

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