2022-2023學(xué)年重慶市第八中學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】A：由于為零向量，不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底；B，C，，不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底；D，與不共線，可以作為平面內(nèi)的所有向量的基底.【詳解】A：由于為零向量，不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底；B：因為，則，不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底；C：因為，則，不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底；D：因為，即與不共線，可以作為平面內(nèi)的所有向量的基底.故選：D2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在（        ）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】A【分析】先求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，進而可得其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，觀察可得點的位置.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，又，不可能成立，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第四象限.故選：A.3．已知平面向量，滿足，，，則（        ）A．2 B．5 C．10 D．【答案】B【分析】先求出，再通過計算可得的值.【詳解】，，，.故選：B.4．若函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（        ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】先利用求出函數(shù)的周期，利用周期性轉(zhuǎn)化代入即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以函數(shù)的周期為，所以.又因為，所以，當(dāng)時，，所以，所以，即.故選：D.5．在中，，，，為邊上的高，若，則（        ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形面積結(jié)合余弦定理可求得，可得，再利用向量的線性運算表示出和比較，即可求得答案.【詳解】由題意可知,為邊上的高，故,由余弦定理得，故，所以,則，結(jié)合，可得，故選：C6．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動．若線長為l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，取，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長約為（        ）cm．（精確到0.1cm）A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7【答案】B【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的最小正周期為，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列出方程，即可求解.【詳解】因為線長為l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：cm）與時間（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是， ，且取，又因為沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，所以函數(shù)的最小正周期為，即，解得，即線長約為cm.故選：B.7．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（        ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及當(dāng)時，，判斷函數(shù)單調(diào)性，作出其大致圖像，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，解不等式，即可求得答案.【詳解】由題意是定義在R上的奇函數(shù)，故，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，且過點，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且過點，作出函數(shù)的大致圖像如圖：則由可得或，解得或，即的解集為，故選：D8．如圖，在等腰梯形ABCD中，下底BC長為2，底角C為，腰AB長為，為線段上的動點，設(shè)的最小值為，若關(guān)于a的方程有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍為（        ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義以及向量數(shù)量積的運算律，可得出，推出.代入整理可得題意可轉(zhuǎn)化為，即方程在上有兩個不相等的實根.設(shè)，根據(jù)根的分布情況得出不等式組，求解不等式組，即可得出答案.【詳解】因為，由題意，，，，設(shè)，，則，，所以，.當(dāng)時，有最小值，所以.由題意知，，即方程在上有兩個不相等的實根，設(shè)，所以有，即，解得.故選：C. 二、多選題9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，．則（        ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)正弦定理得到，A正確，，，B錯誤，根據(jù)余弦定理得到，C錯誤，計算面積得到D正確，得到答案.【詳解】對選項A：，則，即，，，，故，，故，正確；對選項B：根據(jù)正弦定理：，即，，，故，則，錯誤；對選項C：根據(jù)余弦定理：，即，解得，或（舍去），錯誤；對選項D：，正確.故選：AD10．主動降噪耳機工作的原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲，設(shè)噪聲聲波曲線函數(shù)為，降噪聲波曲線函數(shù)為，已知某噪聲的聲波曲線函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（        ）A．B．C．曲線的對稱軸為，D．將圖象向左平移個單位后得到的圖象【答案】ABC【分析】根據(jù)題意得到A正確，根據(jù)周期得到，根據(jù)得到，根據(jù)得到，B正確，計算對稱軸得到C正確，根據(jù)平移法則得到D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：，正確；對選項B：，故，，且 在的單調(diào)遞減區(qū)間上，，則，，故，又，故，，正確；對選項C：，由，解得，，正確；對選項D：圖像向左平移個單位得到：，錯誤.故選：ABC11．設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（        ）A．若，則 B．若，則的最大值為C． D．【答案】ACD【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算及復(fù)數(shù)的概念判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算及復(fù)數(shù)的模判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示及向量的不等式，即可判斷D.【詳解】對于A：設(shè)，，、不同時為零，則，因為，所以，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)，，由，則，即，在復(fù)平面內(nèi)點表示以為圓心，為半徑的圓，則，故B錯誤；對于C：設(shè)，，，則，所以，，所以，所以，故C正確；對于D：由確定向量，確定向量，結(jié)合向量不等式可得，即恒成立，所以D正確．故選：ACD12．已知函數(shù)在上單調(diào)，且滿足，．若在有且僅有7個零點，則下列說法正確的是（        ）A．B．C．與在上有且僅有4個公共點D．在上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】確定的對稱中心為，對稱軸為，得到，根據(jù)零點個數(shù)得到，，A正確，B錯誤，確定得到C正確，計算單調(diào)區(qū)間得到D錯誤，得到答案.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)，，， ，故的對稱中心為，且，則，故，且，故的對稱軸為. 從而，且，故，，在上有且僅有7個零點，故，即 ，故，，又，所以，對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，則，，有4個解，正確；對選項D：由得，，即在，上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，錯誤.故選：AC 三、填空題13．已知的共軛復(fù)數(shù)為，則____________．【答案】/【分析】直接代入復(fù)數(shù)計算即可.【詳解】由已知得.故答案為：.14．在平面直角坐標(biāo)系中，角α以為始邊，角α的終邊過點，且，則____________．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求得答案.【詳解】由題意得角α的終邊過點，故，故，故答案為：15．已知，，，則的最大值為____________．【答案】/【分析】將化為，繼而將變形為，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由已知，，，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為.故答案為： .16．已知正六邊形的邊長為4，P為正六邊形所在平面內(nèi)一點，則的最小值為____________．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得的表達式，配方后即可求得答案.【詳解】如圖，以正六邊形的中心為坐標(biāo)原點，以為x軸，過點O作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)點，則,故，故當(dāng)，即P點坐標(biāo)為時，取到最小值為，故答案為：【點睛】方法點睛：建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算，求得的表達式即可求解最值. 四、解答題17．已知函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)若在區(qū)間上的最小值為2，求在該區(qū)間上的最大值．【答案】(1)(2)5 【分析】（1）先將函數(shù)變形為的形式，進而可得周期；（2）先利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，通過函數(shù)的最小值可得，進而可求最大值.【詳解】（1）由已知得，的最小正周期為；（2）當(dāng)時，，的最小值為，在該區(qū)間上的最大值為,當(dāng)，即時可以取到.18．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．(1)求A；(2)若的面積，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式化簡可得，進而求解；（2）結(jié)合題意和三角形面積公式得到，然后利用余弦定理得到，最后結(jié)合正弦定理即可求解.【詳解】（1）因為，由二倍角公式可得，，又因為，所以，則，所以.（2）由，得，則①，又，所以，②由①②可得：，將其代入②式可得：，由正弦定理可得：，則.19．如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于點C，點滿足，，設(shè)，，且．(1)用，表示；(2)若，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算，即可求得答案；（2）根據(jù)得，結(jié)合，可推出，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意得；（2）因為，所以，即，結(jié)合，可得，故，因為，故.20．如圖，在平面四邊形中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求．【答案】(1)6(2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求得，根據(jù)三角形面積公式即得答案.（2）設(shè)，利用正弦定理推出，結(jié)合二倍角公式求出，即可求得答案.【詳解】（1）在中，，,,由余弦定理可得,又，即，故， 所以.（2）設(shè)，則, ,在中，由正弦定理可得,即，即，于是，解得或（舍去）， 由于，所以，故.21．已知是奇函數(shù)．(1)設(shè)，求不等式的解集．(2)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)得到，再確定為奇函數(shù)，，題目轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)得到單調(diào)性得到答案.（2）設(shè)，根據(jù)單調(diào)性得到，，考慮，兩種情況，結(jié)合對稱軸分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值得到答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，，故，當(dāng)時，，，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足.故，故為奇函數(shù)，，，所以等價于，即，單調(diào)遞增，故，即，故解集為.（2），設(shè)，在是增函數(shù)，當(dāng)時，，且，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時，即，在上單調(diào)遞減，，綜上所述：.22．已知向量，其中，．(1)若，且，求向量在向量上的投影向量；(2)設(shè)、、是坐標(biāo)平面內(nèi)三點，，其，，．若為等邊三角形，求θ的所有可能值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、的值，可得出向量的坐標(biāo)，再利用投影向量的定義可求得向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；（2）求出向量、的坐標(biāo)，進而可求得向量、的坐標(biāo)，根據(jù)為等邊三角形可得出，，利用三角恒等變換可得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，求出的取值范圍，結(jié)合可求得角的取值.【詳解】（1）解：因為，，所以，，又因為，其中，，所以，，因為，則，由，解得，所以，，則，，所以，在方向上的投影向量為.（2）解：，，所以，，，因為為等邊三角形，所以，，所以，，所以，，，，，所以，，因為，所以，，因為，所以，，解得或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題第二問的關(guān)鍵在于計算出、的坐標(biāo)，抓住為等邊三角形這個條件，從邊和角這兩個層面進行分析，利用向量數(shù)量積這一工具，結(jié)合三角恒等變換求出三角函數(shù)值，再結(jié)合角的取值范圍得出答案. 

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