2022-2023學年山東省臨沂市羅莊區(qū)高一下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．復數(shù)的虛部是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的概念直接求解即可【詳解】因為復數(shù)為，所以它的實部為；虛部為.故選：D.2．=（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式，可直接求得答案.【詳解】 ，故選:B3．與向量平行的單位向量為（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】與向量平行的單位向量為，計算得到答案.【詳解】與向量平行的單位向量為，即或.故選：C.4．要得到函數(shù)的圖象，需（    ）A．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標不變）B．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍（縱坐標不變）C．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位．D．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的規(guī)律可得答案.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標不變），得到的圖象，故A錯誤；將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍（縱坐標不變），得到的圖象，故B 錯誤；將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位得到圖象，故C錯誤；D. 將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位得到的圖象，故D正確.故選：D.5．在中，，．若點滿足，則（ ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A． 6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因為，所以.故選：A.7．八卦是中國文化的基本哲學概少，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形ABCDEFGH，其中給出下列結(jié)論（    ）  ①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量（其中為與同向的單位向量）．其中正確結(jié)論為（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】利用正八邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運算及投影向量的定義逐一分析運算即可.【詳解】對①：為正八邊形，則與的夾角為，①錯誤；對②：，平分，則，②錯誤；對③：∵，則，③正確；對④：∵，即與的夾角為，    ∴向量在向量上的投影向量為，④錯誤.故選：C.8．已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為.若，，則的形狀是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】由三角形的內(nèi)角和定理、誘導公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化簡已知條件，可求角，由三角形的面積公式和平面向量數(shù)量積的定義可求角，再由三角形的內(nèi)角和求角，即可判斷的形狀，進而可得正確選項.【詳解】因為，所以，即，由正弦定理可得：，因為，所以，因為，所以，所以，可得，所以，解得，因為，所以，即，所以，可得，所以，所以的形狀是正三角形，故選：C. 二、多選題9．設(shè)有下面四個命題，其中的假命題為（    ）A．若復數(shù)滿足，則 B．若復數(shù)滿足，則C．若復數(shù)，滿足，則 D．若復數(shù)，則【答案】BC【分析】根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)，即可判定A正確；取，可判定B不正確；取，可判斷C不正確；根據(jù)復數(shù)的運算法則，可判定D正確.【詳解】對于A中，設(shè)復數(shù)，可得，因為，可得，所以，所以A正確；對于B中，取，可得，所以B不正確；對于C中，例如：，則，此時，所以C不正確；對于D中，設(shè)，由，可得，即，可得，所以D正確.故選：BC.10．下列各式中，值為的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式即可判斷A；根據(jù)兩角和的正切公式即可判斷B；根據(jù)兩角和的余弦公式即可判斷C；根據(jù)二倍角的正弦公式即可判斷D.【詳解】對于A，，故A符合題意；對于B，，故B符合題意；對于C，，故C不符合題意；對于D，，故D符合題意.故選：ABD.11．有下列說法，其中錯誤的說法為（    ）．A．若∥，∥，則∥B．若，則是三角形的垂心C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．若∥，則存在唯一實數(shù)使得【答案】AD【分析】分別對所給選項進行逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，當時，與不一定共線，故A錯誤；對于選項B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正確；對于選項C，兩個非零向量，，若，則與共線且反向，故C正確；對于選項D，當，時，顯然有∥，但此時不存在，故D錯誤.故選：AD【點睛】本題考查與向量有關(guān)的命題的真假的判斷，考查學生對基本概念、定理的掌握，是一道容易題.12．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（       ）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【答案】BC【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角形的性質(zhì)，可判斷A、B的正誤，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導公式，可判斷C的正誤，根據(jù)數(shù)量積公式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：若，由正弦定理邊化角得，所以，即，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B：若，由正弦定理角化邊得，根據(jù)三角形內(nèi)大邊對大角可得，角，故B正確；對于C：若為銳角三角形，則，所以，因為在上為增函數(shù)，所以，故C正確；對于D：由題意得，所以，即角A為銳角，但無法得到角B、C是否為銳角，所以不能得到為銳角三角形，故D錯誤.故選：BC 三、填空題13．已知復數(shù)z的虛部為1，且為純虛數(shù)，則            ．【答案】【分析】由純虛數(shù)的定義列方程求出復數(shù)的實部，再由模的公式求.【詳解】因為復數(shù)的虛部為1，故可設(shè)，所以，由為純虛數(shù)可得且，所以，所以.故答案為：.14．            ．【答案】/【分析】利用誘導公式及兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】.故答案為：.15．如圖，邊長為2的菱形ABCD的對角線相交于點O，點P在線段BO上運動，若，則的最小值為            ．  【答案】【分析】根據(jù)向量共線以及數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】由得，設(shè)，所以，故當時，取最大值，故答案為：16．已知△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且，若△ABC的面積為，則的取值范圍為            ．【答案】【分析】由三角形面積公式，由已知條件結(jié)合余弦定理可得，然后由正余弦的平方和為1，可求得，從而可求得，則可得，，則利用三角函數(shù)恒等變換公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.【詳解】∵，∴，∵，由余弦定理可得，∴，解得，∴，∵，∴，.所以，∵，∴，∴.因此，.故答案為： 四、解答題17．已知復數(shù)、是方程的解．(1)的值；(2)若復平面內(nèi)表示的點在第三象限，為純虛數(shù)，其中，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用韋達定理可求得的值；（2）求出復數(shù)，利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的概念可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，解之即可.【詳解】（1）解：對于方程，，所以，方程有兩個不等的虛根，因為復數(shù)、是方程的解，由韋達定理可得，，因此，.（2）解：由可得，因為復平面內(nèi)表示的點在第三象限，則，所以，為純虛數(shù)，且，所以，，解得.18．已知三點，，，P為平面ABC上的一點，且，．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標表示即可求出；（2）設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示由，求出，然后由，根據(jù)向量相等列出方程組，解出即可．【詳解】（1）由，，，得，所以；（2）設(shè)，則，由，解得，所以，因為，即，所以，解得，所以19．已知，為銳角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系化弦為切計算可得；（2）首先求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，最后由利用兩角差的正切公式計算可得.【詳解】（1）由，得；（2）因為為銳角，則，所以，故，因為，為銳角，則，又，所以，故，則.20．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．問題：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 ．(1)求B；(2)若D為AC的中點，，，求△ABC的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）3種選法都要先根據(jù)正弦定理，將邊化為角，結(jié)合三角恒等變換即可得；（2）為的中點，所以，兩邊平方，再根據(jù)余弦定理即可得．【詳解】（1）若選①，由正弦定理可得，因為，所以，即，因為，所以，所以，則；若選②，則，由正弦定理可得，又，所以，即，因為，則；若選③，則，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，因為，則；（2）因為為的中點，所以，因為，所以，即，解得或（舍去），所以．21．如圖，在平面四邊形中，，，，，．  (1)求的值；(2)求的長．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的方程，解出的長，判斷出為等腰三角形，即可求得的值；（2）計算出的值，以及，利用兩角和的正弦公式求出的值，再利用正弦定理可求得的長.【詳解】（1）解：在中，，，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，則，故為等腰三角形，故.（2）解：由（1）知，，又因為，則，因為，則為銳角，且，所以，，在中，由正弦定理，可得.22．已知函數(shù)，直線，是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為．(1)求的表達式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程，在區(qū)間上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換可得，根據(jù)對稱性及周期求出，從而得到的表達式；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得，再根據(jù)函數(shù)與在區(qū)間上有且只有兩個交點，由正弦函數(shù)的圖象可得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1），由題意知，最小正周期，又，所以，∴；（2）將的圖象向右平移個個單位后，得到的圖象，再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，所以，令，∵，∴，在上有且只有兩個實數(shù)解，即函數(shù)與在區(qū)間上有且只有兩個交點，即函數(shù)與在區(qū)間上有且只有兩個交點，由正弦函數(shù)的圖象可知，      所以． 

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