2022-2023學(xué)年青海省西寧市海湖中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可知，復(fù)數(shù)的虛部為．故選：C．2．若三點(diǎn)共線，則（    ）A． B．5 C．0或 D．0或5【答案】D【分析】由題意可得，再利用向量共線求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，若三點(diǎn)共線，則，所以，解得或5．故選：D.3．已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則該三棱錐的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出圖形，求出底面積和側(cè)面積，即可求出三棱錐的表面積.【詳解】如圖，正三棱錐中，，取的中點(diǎn)，連接，則在上，且，又，所以，所以，則，所以，故三棱錐的表面積為.故選：D4．梯形ABCD，上底，腰，下底，以下底所在直線為軸，則由斜二側(cè)畫法畫出的直觀圖的面積為（　?。?/span>A． B． C． D．2【答案】A【分析】由題設(shè)結(jié)合斜二測畫法確定直觀圖對應(yīng)梯形上下底、高，即可求面積.【詳解】如下圖，若為等腰梯形的高，則，且  由斜二測畫法知：，且梯形的高為，所以直觀圖的面積為.故選：A5．已知平面平面，過平面內(nèi)的一條直線a的平面，與平面相交，交線為直線b，則a、b的位置關(guān)系是（    ）A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定【答案】A【分析】由已知可得出直線與直線在同一平面內(nèi)，且無公共點(diǎn)，即可判斷出位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面與平面無公共點(diǎn)，直線平面，直線平面，直線平面，直線平面，所以直線與直線在同一平面內(nèi)，且無公共點(diǎn)，故直線.故選：A.6．已知表示直線，表示平面，則下列推理正確的是 (　 )A．B．且C．D．【答案】D【詳解】選項(xiàng)A中，，則可能平行也可能相交，故A不正確；選項(xiàng)B中，，則可能且，也可能b在平面或內(nèi)，故B不正確；選項(xiàng)C中， ，根據(jù)面面平行的判定定理，再加上條件a∩b＝A，才能得出，故C不正確；選項(xiàng)D為面面平行性質(zhì)定理，故正確．選D．7．已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為、，高為，則該圓臺的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用臺體的體積公式可求得該圓臺的體積.【詳解】由題意可知，該圓臺的體積為.故選：C.8．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，如圖：則其外接球的半徑為球的表面積為；故選B．  二、多選題9．已知是邊長為2的等邊三角形，向量滿足，下列結(jié)論中正確的有（　?。?/span>A．是單位向量 B．∥C． D．【答案】ABD【分析】對于A，由可求出判斷，對于B，由代入化簡即可，對于C，對兩邊平方化簡即可，對于D，計(jì)算進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?/span>|，所以由，得，即是單位向量，所以A正確；因?yàn)?/span>，所以∥， 所以B正確；由得，即，所以， 所以C錯誤；因?yàn)?/span>，所以，所以， 所以D正確，故選：ABD10．已知正四棱臺上、下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，則（    ）A．正四棱臺的高為 B．正四棱臺的斜高為C．正四棱臺的表面積為 D．正四棱臺的體積為【答案】BCD【分析】由正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知其高即為對角面的等腰梯形的高，斜高即為側(cè)面等腰梯形的高，由上下底長度和腰長可確定AB正誤；根據(jù)棱臺表面積和體積的求法可確定CD正誤.【詳解】對于A，正四棱臺上下底面對角線長為，正四棱臺的高，A錯誤；對于B，正四棱臺的斜高，B正確；對于C，正四棱臺側(cè)面積為，上下底面面積分別為，正四棱臺的表面積，C正確；對于D，正四棱臺的體積，D正確.故選：BCD.11．已知在中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列命題正確的有（    ）A．若為銳角三角形，則B．若，，，則有兩解C．若，，則外接圓半徑為10D．若，，，則【答案】AB【分析】由結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性得可判斷A；由AB邊上的高為3，若，可判斷B；由正弦定理可判斷C；由正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>為銳角三角形，，所以，由正弦函數(shù)單調(diào)性得，A正確；對于B，因?yàn)?/span>，AB邊上的高為3，若，則有兩解，B正確；對于C，由正弦定理，可知，所以外接圓半徑為5，C不正確；對于D，由正弦定理，得，所以，D不正確．故選：AB．12．某工廠生產(chǎn)出一種機(jī)械零件，如圖所示零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，則下列說法正確的有（    ）A．該圓臺的高為B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的體積為D．一只螞蟻從點(diǎn)C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為10cm【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項(xiàng)；由梯形面積公式即可判斷B選項(xiàng)；由圓臺體積公式即可判斷C選項(xiàng)；由圓臺側(cè)面展開圖結(jié)合勾股定理即可判斷D選項(xiàng).【詳解】如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；圓臺的軸截面面積為，B正確；圓臺的體積為，C正確；將圓臺一半側(cè)面展開，如圖中，設(shè)為中點(diǎn)，圓臺對應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形，由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為8cm，底面半徑為4cm，側(cè)面展開圖的圓心角為，連接CP，可得∠COP＝90°，OC＝8，OP＝4＋2＝6，則，所以沿著該圓臺表面從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為10cm，故D正確． 故選：BCD. 三、填空題13．已知向量，，且，則      ．【答案】1【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出答案.【詳解】根據(jù)題意，向量，，則．因?yàn)?/span>，所以，解得m＝1.故答案為：1．14．已知虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的虛部為，則      .【答案】【分析】對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)虛部為，得到，再計(jì)算，得到答案.【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部為，所以，得，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部求參數(shù)值，求復(fù)數(shù)的模長，屬于簡單題.15．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當(dāng)四邊形EFGH是菱形時，AE∶EB＝        .【答案】【詳解】因?yàn)?/span>AC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EF，AC平面ABC，所以EF∥AC，所以　①.同理可證　②.又四邊形EFGH是菱形，所以EF＝EH，由①②，得.又AC＝m，BD＝n，所以.故填：16．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且外接圓半徑為，若，則的面積為      ．【答案】【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理結(jié)合面積公式即可得出答案.【詳解】∵，且外接圓半徑R為，∴由正弦定理，可得，∵，∴由余弦定理，可得，解得，∴．故答案為：． 四、解答題17．如圖，已知平面，且，設(shè)在梯形中，，且.求證：共點(diǎn)．【答案】證明見解析【分析】設(shè)交于點(diǎn)，再根據(jù)若兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，即可得證.【詳解】如圖，梯形中，因?yàn)?/span>，所以與必交于一點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，則，又因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以共點(diǎn)．18．設(shè)向量、滿足，且．(1)求與夾角的大?。?/span>(2)求與夾角的大?。?/span>【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律有，結(jié)合已知模長和向量數(shù)量積的定義求夾角即可；（2）根據(jù)已知模長和數(shù)量積的運(yùn)算律求模長, 結(jié)合夾角公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)與的夾角為，，又，∴，∴，即，又，∴與的夾角為；（2）設(shè)與的夾角為，∵，又，，∴，又，∴與的夾角為．19．某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的．如果被截正方體的棱長是50cm，那么石凳的體積是多少？【答案】【分析】計(jì)算出正方體的體積和8個四面體的體積，相減后得到答案.【詳解】如圖所示，由題意知正方體的棱長為0.5m，  設(shè)正方體的體積為，則有．其中．∴這個石凳的體積為．20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A=，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面積．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式可將問題轉(zhuǎn)化為A,B兩角的三角函數(shù)求解；（Ⅱ）由正弦定理可求得，由可求得面積【詳解】（Ⅰ）△ABC中，∵，∴，又 ，∴=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．由正弦定理知：，∴，∴．21．點(diǎn)是所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，在上任取點(diǎn)，過和作平面交平面于．證明：．【答案】證明見詳解【分析】連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，可推得，進(jìn)而得到平面.然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得．【詳解】證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以是的中點(diǎn).又是中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.又平面平面，平面，所以．22．如圖所示，B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求【答案】⑴見證明；⑵ 1∶9【分析】（1）利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，證明MN∥平面ACD，MG∥平面ACD，再證明平面MNG∥平面ACD；（2）證明，其相似比為1∶3，可得結(jié)論．【詳解】⑴連接BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，則有且P，H，F分別為AC，CD，AD的中點(diǎn)．連接PF，FH，PH，有MN∥PF．又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD．同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD．(2)解 由(1)可知，又，∴．同理，，其相似比為1∶3．∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．【點(diǎn)睛】要證“面面平行”，只要證“線面平行”，只要證“線線平行”，故問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行． 

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