2022-2023學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：A.2．已知，若，則的最小值為（    ）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】利用基本不等式“1的代換”求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，若，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B .3．已知的解集為，求的解集（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系求的關(guān)系，再根據(jù)一元二次不等式解法求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>的解集為，所以，且為方程的根，所以，，所以，，所以不等式可化為，所以，所以的解集為，故答案為：B4．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華歲庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的值的情況，即可判斷答案.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，， ，則 ，圖象在x軸上方，故A錯(cuò)誤，當(dāng) 時(shí)， ，則，圖象在x軸下方，故錯(cuò)誤,結(jié)合函數(shù)的奇偶性可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，符合題意的圖象只有C中圖象，故選：C．5．使，的否定為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知命題的否定為假命題，則命題為真命題，求出真命題成立的情況下的取值范圍，再由選項(xiàng)即可判斷出充分不必要條件.【詳解】由題使，的否定為假命題，知，為真命題，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以是為真命題的充要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的充分不必要條件.故選：D.6．在天文學(xué)中，常用星等，光照度等來描述天體的明暗程度.兩顆星的星等與光照度滿足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等為，天狼星的光照度是織女星光照度的4倍，據(jù)此估計(jì)織女星的星等為（參考數(shù)據(jù)）（    ）A．2 B．1.05 C．0.05 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得答案.【詳解】解：設(shè)天狼星的星等為，光照度為，織女星的星等為，光照度為，因?yàn)樘炖切堑墓庹斩仁强椗枪庹斩鹊?/span>4倍，所以，因?yàn)閮深w星的星等與光照度滿足星普森公式，所以，解得.所以，織女星的星等為故選：C7．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于，然后利用誘導(dǎo)公式即可求解【詳解】因?yàn)?/span>，所以．故選：A8．設(shè)都是正數(shù)，且，則下列等式正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化，再利用對(duì)數(shù)換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算求解作答.【詳解】因?yàn)?/span>都是正數(shù)，設(shè)，則，即有，顯然，所以，即，A正確；，B不正確；，C不正確；，D不正確.故選：A 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．若的終邊上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，則B．若是第一象限角，則是第一或第三象限角C．對(duì)，恒成立D．若，，則【答案】ABD【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)象限角的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和任意角的三角函數(shù)可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榻?/span>的終邊上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，由任意角的三角函數(shù)可得：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>是第一象限角，即，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第-象限角；所以是第一或第三象限角，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，則，所以，又因?yàn)?/span>，所以為鈍角，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10．若，且，在下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.【詳解】對(duì)于A，∵，，∴，故A正確，對(duì)于B，，，∴，故B正確，對(duì)于C，令，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若，則滿足的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，然后分、解不等式，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，且，由可知，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)， ，可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：BC.12．已知函數(shù)，以下說法正確的有（    ）A．若的定義域是，則B．若的定義域是，則C．若恒成立，則D．若，則的值域不可能是【答案】CD【分析】利用一元二次不等式的解集與系數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；分析可知對(duì)任意的，，列出關(guān)于的各種情況，可判斷B選項(xiàng)；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求出的值，可判斷C選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則關(guān)于的不等式的解集為，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則對(duì)任意的，，所以，或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，即，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>，若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則，顯然是不可能的，D對(duì)故選：CD 三、填空題13．已知是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為          【答案】2【分析】解方程，再檢驗(yàn)得解.【詳解】解：依題意，，得或，當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)在上不是減函數(shù)，所以舍去.當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)在上是減函數(shù)．所以.故答案為：14．，則          .【答案】1【分析】根據(jù)齊次式，利用弦切互化即可求解.【詳解】，故答案為：115．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為      ．【答案】【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，得出關(guān)于的不等式，求解即可得出不等式的解集．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>則，故函數(shù)為偶函數(shù).任取，且則因?yàn)?/span>，所以所以，即故函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則在區(qū)間為減函數(shù)．又由函數(shù)為偶函數(shù)，得則由，得，即所以，即，整理得，解得故不等式的解集為．故答案為：．16．符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)：，在下列命題正確的是        ．①；②當(dāng)時(shí)，；③函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>；④函數(shù)是增函數(shù)，奇函數(shù)．【答案】①②③【分析】由題意可得表示數(shù)的小數(shù)部分，可得，當(dāng)時(shí)，，即可判斷正確結(jié)論．【詳解】表示數(shù)的小數(shù)部分，則①正確，當(dāng)時(shí)，，②正確，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，③正確，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，即有不為增函數(shù)，由，，可得，即有不為奇函數(shù)，④錯(cuò)誤．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，以及函數(shù)值的求法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題． 四、解答題17．計(jì)算下面兩式的結(jié)果(1)若，求的值．(2)化簡(jiǎn)求值：．【答案】(1)；(2) ． 【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，兩次平方，即可求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1），則所以，（2）原式.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為(1)求的值；(2)先化簡(jiǎn)再求值：【答案】(1)，，(2) 【分析】(1)根據(jù)任意角的定義可得：，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，進(jìn)而求解；(2)利用誘導(dǎo)公式將式子化簡(jiǎn)為，結(jié)合（1）的結(jié)論，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題知： .因?yàn)?/span>，所以 又因?yàn)?/span>為第二象限角，所以.則.（2）原式＝=   .19．已知．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)或(2)見解析 【分析】（1）直接將代入，根據(jù)一元二次不等式即可得解集，（2）將與1比較，分類討論即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，或，不等式解集為：或；（2）不等式可化為．①當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得；③當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．20．世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車主要分三類：純電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力電動(dòng)汽車和燃料電池電動(dòng)汽車.這3類電動(dòng)汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國(guó)的電動(dòng)汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重新塑造全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬元），且；已知每輛車售價(jià)5萬元，由市場(chǎng)調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】(1);(2)100（百輛），2300萬元. 【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)收入-總成本，即可求得（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分段求得函數(shù)的最大值，比較大小可得答案.【詳解】（1）由題意知利潤(rùn)收入-總成本，所以利潤(rùn)  ,故2022年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為 .（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)， 即時(shí)取得等號(hào)；綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為100（百輛）時(shí)，取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為2300萬元．21．已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求、的值；(2)證明在上為減函數(shù)；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3) 【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可求得的值，再利用奇函數(shù)的定義可求得的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明結(jié)論成立；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都成立，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，則，解得，由奇函數(shù)的定義可得，所以，，即，則，可得.（2）證明：由（1）得 ，任取、，且，則，則，，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).（3）解：根據(jù) （1）（2）知，函數(shù)是奇函數(shù)且在上為減函數(shù).不等式恒成立，即恒成立，也就是對(duì)任意的都成立，即對(duì)任意的都成立，則，解得，即的范圍是.22．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1，設(shè)．(1)求a、b的值；(2)若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【答案】(1)(2) 【分析】（1）由二次函數(shù)在上的單調(diào)性最大值和最小值，從而求得；（2）用分離參數(shù)法化簡(jiǎn)不等式為，然后令換元，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，從而得參數(shù)范圍．【詳解】（1），對(duì)稱軸，在上單調(diào)遞增，所以，解得；（2）由（1）知化為，即，令，則，因?yàn)?/span>，所以，問題化為，記，對(duì)稱軸是，因?yàn)?/span>，所以，所以． 

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