2023-2024學(xué)年新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第三師圖木舒克市第一中學(xué)高二上學(xué)期分班考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案.【詳解】由題意，.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義可得出答案.【詳解】由，可得所以故選：B3．設(shè)，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以.所以.故選：B.4．函數(shù)的圖象可能為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，則函數(shù)為偶函數(shù)，排除BC選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，排除D選項(xiàng).故選：A.5．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想可以表述為“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，如：.在不超過(guò)12的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出不超過(guò)12的質(zhì)數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概率求解作答.【詳解】不超過(guò)12的質(zhì)數(shù)有，任取兩個(gè)不同數(shù)有，共10個(gè)，其中和為偶數(shù)的結(jié)果有，共6個(gè)，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，和為偶數(shù)的概率為.故選：B6．已知向量滿足，則（    ）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B 7．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8，衰減速度為12，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.5.則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【分析】由已知求得衰減系數(shù)，然后根據(jù)已知模型列不等式求解．【詳解】由已知，得，所以，則有，即，即，即，因此G至少為36.故選：A.8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為正方體內(nèi)部及其表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形的周長(zhǎng)是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】證明出平面，平面，確定過(guò)點(diǎn)的截面與正方體各棱的交點(diǎn)，可知截面圖形是邊長(zhǎng)為的正六邊形，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】連接、、、、、、，如下圖所示：  因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則，平面，平面，，，平面，平面，，同理可得，，平面，同理可證平面，設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直于的平面為平面，則與平面、平面都平行，平面，平面平面，平面平面，，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，同理可知，平面分別與棱、、、交于中點(diǎn)，易知六邊形為正六邊形，且其邊長(zhǎng)為，因此，滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形的周長(zhǎng)是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體截面周長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于利用正方體的幾何性質(zhì)，找出體對(duì)角線的垂面，進(jìn)而確定截面與垂面平行，并以此作出截面. 二、多選題9．若是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】由平面向量的有關(guān)定義、性質(zhì)、數(shù)量積與向量間的關(guān)系逐一判斷即可得解．【詳解】對(duì)于A，若，則向量長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，不能得到，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，若，則，所以，得，故D選項(xiàng)正確.故選：CD10．如圖為國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，則（    ）    A．2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出均呈增長(zhǎng)趨勢(shì)B．2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為27535C．2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差大于人均消費(fèi)支出的極差D．2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出占人均可支配收入的比例均大于80%【答案】BC【分析】根據(jù)圖表逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由圖知2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，但人均消費(fèi)支出2020年比2019年少，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由圖可知2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：2017~2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為，人均消費(fèi)支出的極差為，因?yàn)?/span>，所以人均可支配收入的極差大于人均消費(fèi)支出的極差，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：2022年全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出占人均可支配收入的比例為，小于80%，故D不正確.故選：BC.11．已知函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（    ）A．B．函數(shù)在 上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱D．若，則的最小值為【答案】BD【分析】首先利用函數(shù)的值求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故，由于，所以，所以，故，所以；對(duì)于A：由于，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于，故，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則的最小值為，故D正確．故選：BD．12．下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（    ）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過(guò)的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.  三、填空題13．已知向量，若，則         ．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.14．已知函數(shù)，則            ．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：1 15．已知圓錐的頂點(diǎn)為，為底面圓直徑，，，則圓錐的側(cè)面積為         ．【答案】【分析】根據(jù)題意求得圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)?/span>，，所以，圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.16．已知，方程有四個(gè)不同的根，且滿足，則的取值范圍為：           .【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)的對(duì)稱性、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以有，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：  要想方程有四個(gè)不同的根，必有，此時(shí)有，且，所以，則有，即，所以，令，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，則，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)方程根的問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，再利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解. 四、解答題17．如圖所示，在三棱錐中，，．  (1)求二面角的余弦值；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二面角得定義即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)，再利用三棱錐體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）  取的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，，∴，，∴為二面角的平面角，在中，，，∴，∴二面角的余弦值為．（2）由（1）得，，，平面，平面，∴平面∵ ，∴.18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式，判斷在上的單調(diào)性并證明；(2)解不等式．【答案】(1)，，增函數(shù)；證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求得函數(shù)解析式，再由單調(diào)性的定義證明單調(diào)性；（2）利用奇偶性變形不等式，然后由單調(diào)性化簡(jiǎn)后求解．【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，．函數(shù)在上為增函數(shù)；證明如下：任意，且，則，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，所以，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．（2）由題意，不等式可化為，即解不等式，所以，所以，解得所以該不等式的解集為．19．“一切為了每位學(xué)生的發(fā)展”是新課程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用選科模式，賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考模式下，學(xué)生是否選擇物理為高考考試科目對(duì)大學(xué)專業(yè)選擇有著非常重要的意義．某校為了解高一年級(jí)600名學(xué)生物理科目的學(xué)習(xí)情況，將他們某次物理測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這600名學(xué)生中物理測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的頻數(shù)，并且補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)學(xué)校建議本次物理測(cè)試成績(jī)不低于分的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，若學(xué)校希望高一年級(jí)恰有65％的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，試求的估計(jì)值．（結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)頻數(shù)為，作圖見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的小矩形面積之和為1求得成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的頻率，再求頻數(shù)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖；（2）根據(jù)恰有65％的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，先確定a所在區(qū)間，再求解.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的頻率為:，所以這600名學(xué)生中物理成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的頻數(shù)為，補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示：（2）學(xué)生物理測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>的頻率為，物理測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>的頻率為．故要使高一年級(jí)恰有65％的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，則，且，解得．20．已知，函數(shù)．(1)求圖象的對(duì)稱中心及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)，計(jì)算的值．【答案】(1)，Z ，.(Z)(2)2022 【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算以及三角恒等變形求得函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間； （2）利用函數(shù)的周期性求解可得答案.【詳解】（1）由已知得，令Z ，解得，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，，令Z，解得， ，所以單調(diào)遞增區(qū)間為(）；（2），該函數(shù)周期為，所以，，，，，因?yàn)楹瘮?shù)周期為，且，所以，而，所以.21．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若(1)求角A的大??；(2)若，求中線AD長(zhǎng)的最大值（點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)）．【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和得正弦公式即可求出結(jié)果；(2)利用余弦定理求出，再利用平面向量關(guān)系化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理可得：,即，,因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>,所以.（2）由（1）得，則，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，所以,兩邊平方可得：,則，所以，中線AD長(zhǎng)的最大值為.22．如圖所示，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，在底面上的射影為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．  (1)求證：平面；(2)求直線與所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）取中點(diǎn)，連，利用已知結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、判定證明平面，再證得即可作答.（2）由（1）的信息，作出線面角，再借助直角三角形求解作答.【詳解】（1）在三棱柱中，取中點(diǎn)，連，依題意，平面，而平面，則，又是正三角形，即有，，平面，于是平面，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則，即四邊形是平行四邊形，有，則四邊形是平行四邊形，有，所以平面．（2）由（1）知，，，平面，則平面，而平面，于是平面平面，平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作于，則平面，連，因此是直線與平面所成的角，正的邊長(zhǎng)為2，則，又，，于是，，又，因此，所以直線與平面所成的角的正弦值為． 

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