2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市封開縣廣信中學(xué)高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：C.2．北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”很受歡迎，現(xiàn)工廠決定從20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10個北京2022年冬奧會會徽中，采用比例分配分層隨機抽樣的方法，抽取一個容量為n的樣本進行質(zhì)量檢測，若“冰墩墩”抽取了4只，則n為（    ）A．3 B．2 C．5 D．9【答案】D【分析】利用分層抽樣中的比例列出方程，求出答案.【詳解】，解得：故選：D3．為了得到函數(shù) y＝sin的圖象，只需把函數(shù) y＝sin的圖象（    ）A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】根據(jù)圖像左右平移對解析式的影響即可作答.【詳解】將 y＝sin的圖象向右平移個單位長度得到y＝sin ＝sin的圖象，故選：D．4．如圖，某四邊形的斜二測直觀圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，則原四邊形的面積為A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可求出斜二測圖形的面積，再結(jié)合原圖的面積與斜二測圖形面積的關(guān)系即可求解.【詳解】原圖的面積是斜二測圖形面積的倍．該四邊形的斜二測圖形面積為，故原圖面積為．【點睛】按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：．5．已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中錯誤的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由面面垂直的判定定理可判定A正確；根據(jù)，則直線和平行或異面，可判定B錯誤的；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可判定C正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可判定D正確.【詳解】由題意，是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，因為，，所以，又，所以.故選項A正確；因為，所以直線和平行或異面.故選項B錯誤；因為，，所以，又，所以.故選項C正確；因為，所以由面面垂直的性質(zhì)定理，可得.故選項D正確.故選：B.6．如圖所示，中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可【詳解】因為點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，所以,故選：A7．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，據(jù)說阿基米德對這個圖最引以為自豪，則該圓柱的體積與球的體積之比為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題先找出圓柱底面和高分別與內(nèi)切球的半徑的關(guān)系，然后根據(jù)公式進行推理運算即可【詳解】由題意,圓柱底面半徑等于球的半徑,圓柱的高,則,故選：C.8．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此求得進而求得的大小.根據(jù)三角恒等變換化簡，由此求得取值范圍.【詳解】依題意，由正弦定理得，所以，由于三角形是銳角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角函數(shù)值域的求法，屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（    ）A． B．C．復(fù)數(shù)的實部為 D．復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點在第二象限【答案】BD【分析】因為復(fù)數(shù)滿足，利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡為，再逐項驗證判斷.【詳解】因為復(fù)數(shù)滿足，所以所以，故A錯誤； ，故B正確；復(fù)數(shù)的實部為 ，故C錯誤；復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點在第二象限，故D正確.故選：BD【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，代數(shù)運算以及幾何意義，還考查分析運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．已知向量，其中，下列說法正確的是（    ）A．若，則；B．若與夾角為銳角，則；C．若，則在方向上投影向量為；D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示直接求解可判斷A；注意向量同向不滿足題意可判斷B；根據(jù)投影向量的定義直接求解，可判斷C；根據(jù)性質(zhì)可知與同向，然后可判斷D.【詳解】若，則，解得，A正確；若與夾角為銳角，則，解得，又當，，此時，與夾角為0，故B錯誤；若，則，因為在方向上投影為，與同向的單位向量為，所以在方向上投影向量為，C正確；若，則與同向，由上可知，此時，D正確.故選：ACD11．為響應(yīng)自己城市倡導(dǎo)的低碳出行，小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時間（單位：分鐘），得到下列兩個頻率分布直方圖：基于以上統(tǒng)計信息，則正確的是（    ）  A．騎車時間的中位數(shù)的估計值是22分鐘B．騎車時間的眾數(shù)的估計值是21分鐘C．坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值是19分鐘D．坐公交車時間的方差估計值大于騎車時間的方差的估計值【答案】BCD【詳解】對于A，騎車時間在，的頻率為，騎車時間在，的頻率為，騎車時間的中位數(shù)的估計值是分鐘，故A錯誤；對于B，騎車時間的眾數(shù)的估計值是分鐘，故B正確；對于C，坐公交車時間在的頻率為，坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值是，故C正確；對于D，坐公交車時間的平均數(shù)的估計值為：，方差騎車時間的平均數(shù)的估計值為：，方差故坐公交車時間的方差估計值大于騎車時間的方差的估計值，故D正確．故選：BCD．12．如圖，在三棱錐中，、、分別為棱、、的中點，平面，，，，則（    ）A．點與點到平面的距離相等B．直線與直線垂直C．三棱錐的體積為18D．平面截三棱錐所得的截面面積為12【答案】AD【分析】證明面，點與點到平面的距離相等，再由點與點到平面的距離相等可判斷A；證明平面，假設(shè)，則平面，而過點有且只有一條直線與平面垂直可判斷B；計算三棱錐的體積可判斷C；取的中點，連接，，計算截面四邊形的面積可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：因為、分別為棱、的中點，所以，因為面，面，所以面，所以點與點到平面的距離相等，因為是線段的中點，所以點與點到平面的距離相等，所以點與點到平面的距離相等，故選項A正確；對于B：因為平面，面，所以，因為，即，，所以平面，因為、分別為棱、的中點，所以，所以平面，因為平面，所以，因為平面，面，所以，因為，所以平面，因為面，所以，假設(shè)，，則平面，而過點有且只有一條直線與平面垂直，假設(shè)不成立，所以直線與直線不垂直，故選項B不正確；對于C：因為、分別為棱、的中點，所以，且，因為平面，所以平面，因為為的中點，，所以，所以，故選項C不正確.對于D：取的中點，連接，，則四邊形即為所求截面.因為分別為，的中點，所以且，同理可得且，所以且，，所以四邊形為矩形，，所以截面面積為，故選項D正確；故選：AD. 三、填空題13．已知平面向量，，若，則實數(shù)        ．【答案】【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示，求解即可.【詳解】由題知，因，則，解得.故答案為：14．已知函數(shù),則的最小正周期是        ．【答案】【分析】利用三角恒等變換對函數(shù)進行化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性即可求解.【詳解】解：因為，所以的最小正周期是故答案為：.15．如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點與．現(xiàn)測得，，，并在點測得塔頂的仰角為，則塔高為      ．【答案】20【分析】這是解三角形的應(yīng)用問題，利用正弦定理解三角形即可.【詳解】在中，，，所以，又，在中，由正弦定理有： ，解得BC= 在直角中，因為，所以.  故答案為：20.16．在△ABC中，已知，最大邊與最小邊的比為，則該三角形中最大角的正切值是          ．【答案】【分析】由題意結(jié)合正弦定理及三角恒等變換即可得解.【詳解】由題意，b不為最大邊，也不為最小邊，不妨設(shè)a為最大邊，c為最小邊，由題意有，即，整理得，.故答案為:  四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位.(1)求及；(2)若，求的共軛復(fù)數(shù).【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則即可求出，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算可得，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】（1），，，，．（2）由，所以.18． 已知，，．求：(1)與的夾角．(2)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）把展開，代入已知數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的公式求出夾角的余弦公式，即可得夾角； （2）由，利用向量數(shù)量積計算.【詳解】（1），，，，即，．又的取值范圍為， ．（2）可得．19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，將化為，再根據(jù)三角形的內(nèi)角關(guān)系結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；（2）由，，利用正弦定理求得變，結(jié)合三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：（1）∵，由正弦定理得，，.∴，∴，.∴，而，∴，∴，又，∴；.（2），..由正弦定理得，，.∴.20．如圖，中，，是邊長為1的正方形，平面平面，若、分別是、的中點．（1）求證：平面；（2）求證：面；（3）求和面所成角的大?。?/span>【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）連接，證明，利用線面平行的判定定理即可求證；（2）由勾股定理證明，由面面垂直證明平面，可得，由線面垂直的判定定理即可求證；（3）由（2）知即為和面所成角，在中求即可求解.【詳解】（1）連接，因為四邊形為正方形，是的中點，可知是的中點，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，（2）在中，設(shè)，則，所以，所以，因為平面平面，平面平面，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，所以面，（3）因為面，所以即為和面所成角，在中，，，，所以，所以，所以和面所成角的.21．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一點，且，為棱的中點．(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）依題意可得，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可證明平面平面；（2）根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，求出四邊形的面積，根據(jù)是的中點，即可求解．【詳解】（1）證明：由題意，，，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：設(shè)的中點為，連接，，所以是等腰三角形，，即是梯形底邊上的高，，由題意知，，所以，是的中點，到底面的距離為，四棱錐的體積為；綜上，四棱錐的體積為．22．某城市戶居民的月平均用水量（單位：噸），以分組的頻率分布直方圖如圖．  (1)求直方圖中的值；并估計出月平均用水量的眾數(shù)．(2)求月平均用水量的中位數(shù)及平均數(shù)；(3)在月平均用水量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取22戶居民，則應(yīng)在這一組的用戶中抽取多少戶？【答案】(1)x=0.075；眾數(shù)為(2)中位數(shù)為6.4；平均數(shù)為(3)4(戶) 【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，即可求，根據(jù)最高矩形數(shù)據(jù)的中點求眾數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；（3）按照這一組所占比例，計算抽取的戶數(shù).【詳解】（1）根據(jù)頻率和為1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，解得x=0.075；由圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為[6，8)，所以眾數(shù)為；（2）[2，6)內(nèi)的頻率之和為(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；設(shè)中位數(shù)為y，則0.45+(y?6)×0.125=0.5，解得y=6.4，∴中位數(shù)為6.4；平均數(shù)為（3）月平均用電量為的用戶在四組用戶中所占的比例為，∴月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取22×=4(戶)． 

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