2022-2023學年新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團第三師圖木舒克市第一中學高一下學期3月月考數(shù)學試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，根據(jù)集合的并集運算即可求得答案.【詳解】由題意可得， ，則，故選：A2．不等式的解集為（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】由，可得所以或，所以不等式的解集為或.故選：C.3．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐項檢驗即可求解.【詳解】因為奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且在定義域內(nèi)有恒成立，特別地，若在時有定義，則有，對于A，的定義域為，不滿足要求，故A錯誤；對于B，因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以是奇函數(shù)，故B正確；對于C，因為，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為，，即，所以不是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：B.4．關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)向量相等的定義、共線向量的定義和性質(zhì)依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，當時，方向可能不同，未必成立，A錯誤；對于B，若，則反向，，B正確；對于C，只能說明長度的大小關(guān)系，但還有方向，無法比較大小，C錯誤；對于D，當時，，，此時未必共線，D錯誤.故選：B.5．已知角的終邊過點，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】故選：C6．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】引入中間值，與1比較大小，與0比較大小即可.【詳解】因為，，，所以．故選：B.7．在中，已知，，，則等于（    ）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理解三角形即可，要注意角度的取值范圍．【詳解】根據(jù)正弦定理有，所以，又在中，有，且，則，所以．故選：C．8．我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽．如圖，大正方形是由個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點，則（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形，利用向量的分解可得解.【詳解】如圖所示，過點分別作，，分別交，于點，，則，，所以，，，，由已知得，則在中，，所以，，即，，所以，，即，，所以，故選：A. 二、多選題9．已知向量，，則正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則 D．若向量是與同向的單位向量，則【答案】ABD【分析】根據(jù)向量坐標的線性運算及向量的模的坐標表示即可判斷A；根據(jù)向量共線的坐標表示即可判斷B；若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，列出不等式組，即可判斷C；若向量是與同向的單位向量，則，從而可判斷D.【詳解】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，即，解得，且，故C不正確；對于D，若向量是與同向的單位向量，則，故D正確.故選：ABD.10．（多選）判斷下列三角形解的情況，有且僅有一解的是（   ）A．，，； B．，，；C．，，； D．，，.【答案】AD【分析】由正弦定理解三角形后可得結(jié)論.【詳解】對于A，由正弦定理得：，，，即，，則三角形有唯一解，A正確；對于B，由正弦定理得：，，，即，或，則三角形有兩解，B錯誤；對于C，由正弦定理得：，無解，C錯誤；對于D，三角形兩角和一邊確定時，三角形有唯一確定解，D正確.故選：AD11．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知F，E分別是靠近C，D的四等分點，則下列結(jié)論正確的是（    ）  A． B．C． D．【答案】AD【分析】結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運算與數(shù)量積運算，對選項逐一判斷即可.【詳解】對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，錯誤；對選項D：，正確.故選：AD12．已知向量，若為銳角，則實數(shù)可能的取值是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用向量的減法法則及向量減法的坐標表示，根據(jù)已知條件及向量的數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合向量共線的條件即可求解.【詳解】因為，所以.因為為銳角，所以，解得.當時，，解得.當為銳角時，實數(shù)的取值范圍是.所以實數(shù)可能的取值是，.故選：BD. 三、填空題13．的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，則的面積為         ．【答案】/【分析】由題意可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值，利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由可得：，則，由余弦定理可得，因此，.故答案為：.14．已知，則的夾角為      .【答案】【分析】根據(jù)，可得，結(jié)合數(shù)量積的運算律求出夾角的余弦值，即可得解.【詳解】，設(shè)的夾角為，因為，所以，所以，故的夾角為.故答案為：.15．如圖，小李開車在一條水平的公路上向正西方向前進，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛1200m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為45°，則此山的高度為      m【答案】【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由題，作出空間圖形如下，則有,因為到達B處仰角為45°，所以，在中，，由正弦定理可得解得m，所以m，故答案為: .16．如圖所示，扇形的弧的中點為，動點分別在上（包括端點），且，，，則的取值范圍      ．【答案】【分析】連接、和，根據(jù)題意得到為平行四邊形，設(shè)，其中，根據(jù)向量的運算法則，求得，，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，連接、和，因為且為的中點，可得為平行四邊形，所以，設(shè)，其中，因為，可得，，在中，可得，在中，可得，又因為且，所以，所以，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的對稱軸為，且在在上單調(diào)遞減，在在上單調(diào)增，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，即函數(shù)的最大值為，所以的取值范圍.故答案為：. 四、解答題17．已知．(1)化簡；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用誘導公式及弦切互化公式化簡即可；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.【詳解】（1）.（2）∵，且，∴，∴.18．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且(1)求角；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換的公式化簡求解即可；（2）先利用正弦定理找到邊的關(guān)系，然后根據(jù)條件利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）已知，由正弦定理得，，顯然，所以有，得，因為角為內(nèi)角，所以.（2）由正弦定理可知，由（1）可知，因為，由余弦定理可得，，所以有，，解得，.19．如圖所示，是△ABC的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，，求的值；【答案】(1)；(2)3. 【分析】（1）利用向量的線性運算的幾何表示，將用表示，進而即得；（2）由，將用表示，利用三點共線即得.【詳解】（1）因，所以，又因為的中點，所以，所以，又，所以；（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點共線，所以，即.20．已知平面向量，且，(1)若，且，求向量的坐標；(2)若，求在方向的投影向量（用坐標表示）.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）設(shè)，利用平面向量的共線定理及坐標表示即可求解；（2）利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求解在方向的投影向量即可.【詳解】（1）解：設(shè)，，，又，，或，或.（2）解：，，設(shè)與的夾角為.故，在上的投影向量為.21．已知函數(shù)，在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A；(2)若b=3，c=2，點D為BC邊上靠近點C的三等分點，求AD的長度．【答案】(1).(2). 【分析】（1）運用三角恒等變換化簡函數(shù)，再運用特殊角的三角函數(shù)值解方程即可.（2）方法一：在△ABC中運用余弦定理求得BC及，再在中運用余弦定理可求得AD的值.方法二：運用平面向量基本定理可得，兩邊同時平方運用數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以．所以，即．又，所以．（2）如圖所示，方法一：在△ABC中，由余弦定理可得，則．又點D為BC邊上靠近點C的三等分點，所以．又在△ABC中，，在中，由余弦定理可得，所以．方法二：因為點D為BC邊上靠近點C的三等分點，所以．等式兩邊同時平方可得．所以，即．22．由于疫情原因，經(jīng)濟活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響．李克強總理在考察山東煙臺一處老舊小區(qū)時提到，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機．某商場準備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營冷飲生意．已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點處有一個路燈，經(jīng)測量點到區(qū)域邊界、的距離分別為，，（為長度單位）．設(shè)計者準備過點修建一條長椅（點、分別落在、上，長椅的寬度及路燈的粗細忽略不計），以供購買冷飲的人休息． (1)求點到點的距離；(2)求點到點的距離；(3)為優(yōu)化經(jīng)營面積，當等于多少時，該三角形區(qū)域面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值．【答案】(1)(2)(3)當時，三角形區(qū)域面積取最小值． 【分析】（1）連接、，計算出，利用余弦定理可求得的長；（2）計算出，可得出，利用正弦定理可求得的長，再利用勾股定理可求得的長；（3）利用三角形的面積公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面積的最小值.【詳解】（1）解：連接、，在中，因為，，則，由余弦定理可得：，所以，.（2）解：在中，由余弦定理可得，．在中，，由正弦定理可得，解得．在直角中，，所以，.（3）解：因為，．因為，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，． 

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