2022-2023學(xué)年遼寧省阜新市第二高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若集合，集合，則（    ）A．{5，8} B．{4，5，6，8} C．{3，5，7，8} D．{3，4，5，6，7，8}【答案】D【分析】根據(jù)并集的概念和運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由，得.故選：D2．計(jì)算（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及特殊角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，可直接得出結(jié)果.【詳解】.故選：B.3．設(shè)向量，，若∥，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．2 B．3 C．-4 D．6【答案】A【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示，即可得解.【詳解】向量，，且∥，，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量平行求參數(shù)問(wèn)題，熟記向量平行的坐標(biāo)表示是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．若一個(gè)扇形的半徑為2，圓心角為，則該扇形的弧長(zhǎng)等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求圓心角的弧度數(shù)，再由弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng).【詳解】∵圓心角為，∴ 圓心角的弧度數(shù)為，又扇形的半徑為2，∴  該扇形的弧長(zhǎng)，故選：B.5．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.【詳解】由推不出，反之，由可以推出所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是充分條件和必要條件的判斷，較簡(jiǎn)單.6．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接使用余弦二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：B7．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，，所以.故選：B.8．已知函數(shù)，則A．32 B． C．16 D．【答案】B【解析】根據(jù)自變量符合的范圍代入對(duì)應(yīng)的解析式即可求得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題9．設(shè)，，，為實(shí)數(shù)，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷，利用特殊值判斷BC，利用作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】由可得，，A正確；時(shí)，，B不正確；時(shí)，，C不正確；因?yàn)?/span>，所以，所以 所以 ，D正確；故選：AD.10．設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，用數(shù)乘向量的結(jié)果是向量即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，用向量共線(xiàn)的知識(shí)即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，由向量垂直的公式即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，用向量的計(jì)算公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)于B選項(xiàng)， 表示與共線(xiàn)的向量， 表示與共線(xiàn)的向量，但與不一定共線(xiàn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：AB.11．已知函數(shù)，則（    ）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BCD【分析】利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)的正誤；計(jì)算的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，，故函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到，D對(duì).故選：BCD.12．函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）  A．=B．若把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)C．D．【答案】ABCD【分析】由函數(shù)圖象求得，利用函數(shù)圖象平移寫(xiě)出解析式并判斷其奇偶性即可得答案.【詳解】由圖知：且，則，故.由，即，，即，，故，，故A、C、D正確；把圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為是奇函數(shù)，故B正確；故選：ABCD 三、填空題13．方程組 的解集是          .【答案】【分析】求解方程組即可.【詳解】由兩式相減得，得，所以方程組的解集為.故答案為：.14．擲一顆均勻的骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率為        【答案】【詳解】擲一顆均勻的骰子，則擲的點(diǎn)數(shù)只可能是其中的一種，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，屬于古典概率記“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”為事件，則包含的結(jié)果有共種結(jié)果，由古典概率公式可得15．已知正數(shù)a?b，，則的最小值為          ．【答案】8【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），故的最小值為，故答案為：16．已知函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，且，則函數(shù)的零點(diǎn)共有        個(gè).【答案】2【詳解】因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，則，解得，又，所以，故，令，，所以，故有2個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)睛：本題涉及函數(shù)零點(diǎn)，方程，圖像等概念和知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.一般討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，都要轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題或兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，本題由于涉及函數(shù)為初等函數(shù)，可以考慮方程來(lái)解決，轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，同時(shí)注意偶函數(shù)性質(zhì)在本題中的應(yīng)用. 四、解答題17．已知．（1）求的值．（2）求的值．【答案】（1）-3；（2）.【分析】（1）利用商數(shù)關(guān)系運(yùn)算即可得解；（2）轉(zhuǎn)化等式為，再由商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】解：（1）．（2）．18．設(shè)，(1)求與的夾角的余弦值；(2)求在方向上的投影；【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）由向量的數(shù)量積可得，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；（2）在方向上的投影為，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.試題解析：(1)，，.(2)，在方向上的投影為.點(diǎn)睛：平面向量的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用. 利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù).19．有一個(gè)容量為60的樣本(60名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī))，分組情況如下表：分組頻數(shù)3612  頻率    0.3  (1)補(bǔ)全表中所剩的空格；(2)畫(huà)出頻率分布直方圖和頻率分布折線(xiàn)圖.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）分別計(jì)算各分?jǐn)?shù)段的頻率與頻數(shù)，再補(bǔ)表格即可；（2）分別計(jì)算各分?jǐn)?shù)段的頻率除以組距的值，然后畫(huà)出頻率分布直方圖和頻率分布折線(xiàn)圖即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為，頻數(shù)為；的頻數(shù)為.填表如下.分組頻數(shù)36122118頻率0.050.10.20.350.3（2）計(jì)算的，的，的，的，的.畫(huà)出的頻率分布直方圖和頻率分布折線(xiàn)圖如圖所示.  20．已知求，的值.【答案】，.【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出和，再利用差角的余弦公式以及兩角和的正弦公式代入計(jì)算即可. 【詳解】∵，且，∴；又∵，且，∴.∴.21．求函數(shù)，的值域.【答案】【分析】換元法，設(shè)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.注意新元的取值范圍.【詳解】設(shè),則， 所以函數(shù)值域?yàn)?/span>【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的值域.形如的三角函數(shù)，可先設(shè)，化為關(guān)于的二次函數(shù)求值域(最值)22．已知二次函數(shù)的最小值為1,且.(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1) ；(2) .【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)有最小值,可以設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程,根據(jù)可以求出所設(shè)解析式的參數(shù).(2)求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,根據(jù)題意可得不等式組,解不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)的最小值為1,所以設(shè),因?yàn)?/span>,所以；(2)由(1)可知：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：,因?yàn)?/span>在區(qū)間上不單調(diào),所以有,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,考查了二次函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題. 

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