2022-2023學(xué)年遼寧省阜新市第二高級中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在等差數(shù)列中，，，則（    ）A．19 B．18 C．17 D．20【答案】C【分析】利用已知條件列方程組求出，從而可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得，所以，故選：C.2．在等差數(shù)列中，已知，那么等于（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】設(shè)首項為，公差為，由已知有，所以可得的值．【詳解】解：為等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，由已知有，，即．故選：A．3．已知為等比數(shù)列則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知由等比數(shù)列的通項公式即可求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得，，，解得.故選：A.4．在等差數(shù)列{an}中，若a4＝5，則數(shù)列{an}的前7項和S7＝（    ）A．15 B．20 C．35 D．45【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，即可直接計算求得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，故可得.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，屬簡單題.5．在數(shù)列中，若，，則（    ）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】根據(jù)題意，為等比數(shù)列，用基本量求解即可.【詳解】因為，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故.故選：C6．等差數(shù)列的前項和為，滿足：，則（    ）A．72 B．75 C．60 D．100【答案】B【分析】由，可得，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，化簡得，所以，故選：B7．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（    ）A．5 B．10 C．4 D．【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則 =5. 故選：A8．已知等比數(shù)列的前項和是，則下列說法一定成立的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】分析：由，可得，分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時和時，由不等式的性質(zhì)均可得到.詳解：當(dāng)時，，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，，即；當(dāng)時，，，即；當(dāng)時，，，即；當(dāng)時，，綜上可得當(dāng)時，，故選C.點睛：本題考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式以及不等式的性質(zhì)，意在考查分類討論思想與計算能力，屬于中檔題. 二、多選題9．已知等差數(shù)列的首項為1，公差為，若81是該數(shù)列中的一項，則公差可能的值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，寫出d和n滿足的等式，再驗證滿足條件的d，得出結(jié)論.【詳解】，，，和都為正整數(shù)，時，，故選項A正確；當(dāng)時，，不成立，故選項B錯誤；時，，故選項C正確；時，，故d選項D正確．故選：ACD．10．已知數(shù)列的前項和為，且，，則（    ）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列【答案】AD【分析】依題意可得，即可得到是遞減的等差數(shù)列；【詳解】解：因為，所以，又，所以是由為首項，為公差的等差數(shù)列，因為公差小于，所以是遞減數(shù)列；故選：AD11．對于公差為1的等差數(shù)列{an}，a1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，b1＝2，則下列說法正確的是（　?。?/span>A．an＝nB．bn＝2n﹣1C．?dāng)?shù)列{lnbn}為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列{anbn}的前n項和為（n﹣1）2n+1+2【答案】ACD【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，可判斷A、B、C選項；由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可判斷D選項．【詳解】由公差為1的等差數(shù)列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正確；由公比為2的等比數(shù)列{bn}，b1＝2，可得bn＝2×2n﹣1＝2n，故B錯誤；由lnbn＝ln2n＝nln2，可得數(shù)列{lnbn}是首項和公差均為ln2的等差數(shù)列，故C正確；設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Sn，Sn＝1×2+2×22+...+n×2n，2Sn＝1×22+2×23+...+n×2n+1，上面兩式相減可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n×2n+1n×2n+1，所以Sn＝2+（n﹣1）×2n+1，故D正確．故選：ACD．12．設(shè)數(shù)列前項和為，關(guān)于數(shù)列有下列命題，其中正確的命題是（    ）A．若則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若，則為等差數(shù)列C．若為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列D．若，是等比數(shù)列【答案】BD【分析】舉出反例，如，即可判斷A；根據(jù)與的關(guān)系，求得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等差數(shù)列的定義即可判斷B；舉出反例，如為，為偶數(shù)時，即可判斷C；根據(jù)與的關(guān)系，求得數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可判斷D；【詳解】對于A，若，則既是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，故A錯誤；對于B，由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，適合上式，所以，則為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，故B正確；對于C，若為等比數(shù)列，如為，為偶數(shù)時，，由等比數(shù)列中沒有0這一項，所以不成等比數(shù)列，故C錯誤；對于D，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，適合上式，所以，則，所以數(shù)列是以2為首項，-1為公比的等比數(shù)列，故D正確.故選：BD. 三、填空題13．若等比數(shù)列滿足，，則      ．【答案】112【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可.【詳解】，故，解得，故．故答案為：11214．已知等差數(shù)列的前n項和為，等差數(shù)列的前n項和為，且，求        .【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式結(jié)合已知可求得結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列的前n項和為，等差數(shù)列的前n項和為，且，所以，故答案為：15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n+1，則an=    .【答案】【分析】當(dāng)n=1時，a1=S1=3;當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1，從而求解【詳解】解:當(dāng)n=1時，a1=S1=3;當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此時，當(dāng)n=1時，2n=2≠3.所以an=故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列與的關(guān)系，要注意成立的條件.16．若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且＝n2＋n，則a1＋＋…＋＝        ．【答案】2n2＋2n【解析】先根據(jù)遞推式求出數(shù)列{an}的通項公式，則數(shù)列的通項公式也可求得，再利用等差數(shù)列的求和公式求和即可.【詳解】當(dāng)n＝1時，＝2?a1＝4，又＋＋…＋＝n2＋n　①，所以當(dāng)n≥2時，＋＋…＋＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n　②，①－②得＝2n，即an＝4n2，又a1＝4符合an＝4n2，所以an＝4n2，所以＝＝4n，所以a1＋＋…＋＝＝2n2＋2n.故答案為：2n2＋2n.【點睛】本題考查遞推式求通項公式，考查等差數(shù)列的求和公式，是基礎(chǔ)題. 四、解答題17．?dāng)?shù)列的通項公式是.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？【答案】(1)(2)是，第16項 【分析】（1）利用數(shù)列的通項公式能求出這個數(shù)列的第4項；（2）令，求出方程的解，即可判斷．【詳解】（1）解：數(shù)列的通項公式是．這個數(shù)列的第4項是：．（2）解：令，即，解得或（舍，是這個數(shù)列的項，是第16項．18．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．（1）求{an}的通項公式及前n項和Sn；（2）已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為前n項和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．【答案】（1）;（2）1010【詳解】（1）由題意可得數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故可得，由求和公式可得；（2）由題意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5，故. 19．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列前n項和，求n的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，得到公差為，結(jié)合，得到首項，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，列出方程，計算求出.【詳解】（1）因為，設(shè)數(shù)列的公差為，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，故，，所以，.（2）由（1）得，，所以，，又由，可得，即，解得或，又，故.20．用數(shù)學(xué)歸納法證明：.【答案】證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法，要先證明時，等式成立，再假設(shè)時，等式成立，進而求證時，等式成立即可．【詳解】證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即則當(dāng)時，左邊即時，等式也成立．所以對任意正整數(shù)都成立．21．已知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）詳見解析（2）.【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得到an，利用對數(shù)的運算法則即可得到bn；（2）利用（1）即可得到cn，再利用“錯位相減法”即可得到Sn．【詳解】（1）證明：∵數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴∵∴，∵，∴ ∴數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列.（2）解：∵，，，∴∴數(shù)列的前項和，∴∴，∴ .【點睛】用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.22．已知數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用，結(jié)合已知條件可求出通項公式，（2）由（1）得，然后利用裂項相消求和法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為滿足上式，所以，（2）由（1）得，所以 

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