2022-2023學年遼寧省阜新市第二高級中學高二下學期第一次階段考試數(shù)學試題 一、單選題1．現(xiàn)有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（    ）A．7種 B．9種 C．14種 D．70種【答案】C【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可【詳解】分為三類:從國畫中選，有2種不同的選法;從油畫中選，有5種不同的選法;從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5+2+7= 14(種)不同的選法;故選：C2．在等差數(shù)列中，，則（    ）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的等差中項計算即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等差數(shù)列，結合等差數(shù)列的性質得，，則，所以.故選：B.3．在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)組合的基本概念求解.【詳解】在50件產品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有.故選:A.4．的展開式中的常數(shù)項為（    ）．A．－120 B．120 C．－60 D．60【答案】D【分析】先求出展開式的通項，令即得解.【詳解】的展開式中的項為，令，解得，所以的展開式中的常數(shù)項為.故選：D．5．盒中裝有除顏色外完全相同的3個紅球、2個白球．甲從中隨機取出兩個球，在已知甲取出的有紅球的條件下，他取出兩個紅球的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設事件A為“甲取出的有紅球”，事件B為“取出兩個紅球”，求出，，由條件概率公式可求.【詳解】設事件A為“甲取出的有紅球”，事件B為“取出兩個紅球”，則，,則.故選：B.6．某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈，汽車在這三處遇到綠燈的概率分別是，則汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把汽車在三處遇兩次綠燈的事件M分拆成三個互斥事件的和，再利用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式計算得解.【詳解】汽車在甲、乙、丙三處遇綠燈的事件分別記為A，B，C，則，汽車在三處遇兩次綠燈的事件M，則，且，，互斥，而事件A，B，C相互獨立，則，所以汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為.故選：D7．已知隨機變量服從二項分布，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二項分布的概率公式計算．【詳解】．故選：D．8．一個盒子里裝有大小、材質均相同的黑球10個，紅球12個，白球4個，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則等于的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由古典概型概率公式分別求得和，即可判斷等式表示的意義．【詳解】由條件，知隨機變量X服從參數(shù)為，，的超幾何分布，其中X的取值范圍為，且，，，.故選：B. 二、多選題9．（多選）下列數(shù)列是等差數(shù)列的是（    ）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…【答案】AC【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷即可【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的定義可知A，C中的數(shù)列是等差數(shù)列，而BD中，從第2項起，后一項與前一項的差不是同一個常數(shù)，故選：AC．10．下列說法正確的是（    ）A．某班4位同學從文學、經濟和科技三類不同的圖書中各任選一類，不同的結果共有64種B．用1，2，3三個數(shù)字可以組成9個三位奇數(shù)C．從集合中任取2個元素組成集合，則集合中含有元素的概率為D．兩個男生和兩個女生隨機排成一列，則兩個女生不相鄰的概率是【答案】CD【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理依次計算每個選線的結果即可得到最后的答案【詳解】對于A，第1位同學可以從三類不同的圖書中任選一類，有3種選法，同理，其他的3位同學也都各有3種選法，則不同的選書方法有種，故A錯誤；對于B，個位可以放1，3，十位和百位都可以放1，2，3，所以有個奇數(shù)，故B錯誤；對于C，從集合中任取2個元素可得到集合的個數(shù)為，含有的個數(shù)為，其概率，故C正確；對于D，兩個女生和兩個男生隨機排成一列，總的排法有種，兩個女生不相鄰的排法有種，所以兩個女生不相鄰的概率，故D正確故選：CD．11．下列關于正態(tài)分布的命題正確的是（    ）A．正態(tài)曲線關于軸對稱B．當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”C．設隨機變量，則等于2D．當一定時，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移【答案】BD【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的定義與性質，判斷ABD選項的正誤；根據(jù)方差的性質，計算即可判斷C是否正確.【詳解】正態(tài)曲線關于直線對稱，故A不正確；當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”，故B正確；隨機變量，則的值等于1，故C不正確；當一定時，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移，D正確．故選：BD．12．關于及其展開式，下列說法正確的是（    ）A．該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是B．該二項展開式中第六項為C．該二項展開式中不含有理項D．當時，除以100的余數(shù)是1【答案】AD【分析】根據(jù)賦值法即可判斷A，根據(jù)通項特征即可判斷BC，根據(jù)二項式展開式的特征即可求解D.【詳解】展開式的第項為.對于A，當時，得到常數(shù)項為.又的展開式的各項系數(shù)和為，所以該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是，故A正確.對于B，該二項展開式中第六項為，故B錯誤.對于C，當時，對應的各項均為有理項，故C錯誤.對于D，當時，，因為，顯然是100的倍數(shù)，即能被100整除，所以當時，除以100的余數(shù)是，故D正確.故選:AD. 三、填空題13．在等差數(shù)列中，，公差，則的通項公式為          ．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式直接求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列通項公式可知.故答案為：14．已知數(shù)列滿足，且，則           .【答案】【分析】根據(jù)遞推式倒推即可解出．【詳解】因為，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案為：．15．的展開式中含項的系數(shù)為      ．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用二項展開式的通項公式可求得結果.【詳解】由題可知展開式的通項公式，令，此時，含的項為，所以含項的系數(shù)為．故答案為：16．已知的二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，則展開式中的系數(shù)為      ．【答案】720【分析】由偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，計算出，然后利用二項式展開式求特定項即可.【詳解】由偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，則有，所以展開式中的項為：，則展開式中的系數(shù)為：720.故答案為：720. 四、解答題17．已知函數(shù)，設數(shù)列的通項公式為.（1）求證.（2）是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？【答案】（1）證明見解析；（2）遞增數(shù)列，證明見解析.【分析】（1）結合指數(shù)函數(shù)的單調性以及不等式的性質即可證得；（2）證得，即可得出結論.【詳解】（1）由題意得，因為為正整數(shù)，所以，所以；（2）是遞增數(shù)列，證明：因為，所以，所以，所以是遞增數(shù)列.18．有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；(2)全體站成一排，女生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生互不相鄰．【答案】（1）3600（2）576（3）1440【詳解】分析：（1）根據(jù)特殊元素“優(yōu)先法”，由分步計數(shù)原理計算可得答案；(2) 根據(jù)“捆綁法”將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列即可；(3）利用“插空法”，先將4名女生全排列5個空位中任選3個空位排男生，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案.詳解：(1)甲為特殊元素．先排甲，有5種方法，其余6人有A種方法，故共有5×A＝3 600種方法．(2)(捆綁法)將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有A種方法，再將4名女生進行全排列，有A種方法，故共有A×A＝576種方法．(3)(插空法)男生不相鄰，而女生不作要求，所以應先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A種方法，故共有A×A＝1 440種方法．點睛：本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).19．已知，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求展開式各項系數(shù)和，一般用賦值法．令得結果；（2）由于展開式中的奇次冪的系數(shù)為負數(shù)，偶次冪的系數(shù)為正數(shù)，即求：，令得結果；（3）結合（1）（2）可得結果．【詳解】（1）令，得；（2）令，得∵展開式中的奇次冪的系數(shù)為負數(shù)，偶次冪的系數(shù)為正數(shù)，∴；（3）＝．20．在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎品．（1）顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)的分布列；（2）顧客乙從10張獎券中任意抽取2張．①求顧客乙中獎的概率；②設顧客乙獲得的獎品總價值為元，求的分布列．【答案】（1）答案見解析；（2）①；②答案見解析．【分析】（1）抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，則X的取值只有0，1兩種，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列；（2）①顧客乙中獎可分為互斥的兩類：所抽取的2張獎券有1張中獎和2張都中獎，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顧客乙中獎的概率；②由題意Y的可能取值為0，10，20，50，60，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量Y的概率分布列.【詳解】（1）抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故的取值只有0和1兩種情況，，，因此隨機變量的分布列為：01（2）①顧客乙中獎可分為互斥的兩類：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎，故所求概率；②隨機變量的所有可能取值為0，10，20，50，60，且，，，，，因此隨機變量的分布列為：01020506021．景泰藍（），中國的著名特種金屬工藝品之一，到明代景泰年間這種工藝技術制作達到了最巔峰，因制作出的工藝品最為精美而聞名，故后人稱這種瓷器為“景泰藍”．其制作過程中有“掐絲”這一環(huán)節(jié)，某大型景泰藍掐絲車間共有員工10000人，現(xiàn)從中隨機抽取100名對他們每月完成合格品的件數(shù)進行統(tǒng)計．得到如下統(tǒng)計表：每月完成合格品的件數(shù)頻數(shù)10453564女員工人數(shù)3221753（1）若每月完成合格品的件數(shù)超過18件，則車間授予“工藝標兵”稱號，由以上統(tǒng)計表填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“工藝標兵”稱號與性別有關； 非“工藝標兵”“工藝標兵”總計男員工人數(shù)   女員工人數(shù)   合計   （2）為提高員工的工作積極性，該車間實行計件工資制：每月完成合格品的件數(shù)在12件以內（包括12件），每件支付員工200元，超出的部分，每件支付員工220元，超出的部分，每件支付員工240元，超出4件以上的部分，每件支付員工260元，將這4段頻率視為相應的概率，在該車間男員工中隨機抽取2人，女員工中隨機抽取1人進行工資調查，設實得計件工資超過3320元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格見解析，有95%的把握認為“工藝標兵”稱號與性別有關；（2）分布列見解析，.【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計表可得列聯(lián)表，根據(jù)公式計算出，結合臨界值表可得答案；（2）根據(jù)統(tǒng)計表數(shù)據(jù)可得男員工實得計件工資超過3320元的概率，女員工實得計件工資超過3320元的概率．設隨機抽取的男員工中實得計件工資超過3320元的人數(shù)為，隨機抽取的女員工中實得計件工資超過3320元的人數(shù)為，則，由題意可知，的所有可能取值為0，1，2，3，根據(jù)概率公式求得取各個值的概率，可得分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）列聯(lián)表如下： 非“工藝標兵”“工藝標兵”總計男員工人數(shù)48250女員工人數(shù)42850合計9010100， 所以有95%的把握認為“工藝標兵”稱號與性別有關．        （2）若員工實得計件工資超過3320元，則每月完成合格品的件數(shù)需超過16件，由題中統(tǒng)計表數(shù)據(jù)可得，男員工實得計件工資超過3320元的概率，女員工實得計件工資超過3320元的概率．設隨機抽取的男員工中實得計件工資超過3320元的人數(shù)為，隨機抽取的女員工中實得計件工資超過3320元的人數(shù)為，則．        由題意可知，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，        所以隨機變量的分布列為0123所以.【點睛】關鍵點點睛：掌握獨立性檢驗的原理、分布列的定義和離散型隨機變量的數(shù)學期望公式是解題關鍵.22．某中學有初中學生1800人，高中學生1200人，為了解學生本學期課外閱讀時間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）寫出a的值；（2）試估計該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數(shù)；（3）從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）a＝0.03；（2）870人；（3）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)頻率頻率直方圖的性質，可求得a的值；（2）由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時間不小于30小時的學生的頻率及人數(shù)，求和；（3）分別求得初高中生中閱讀時間不足10個小時的學生人數(shù)，寫出X的取值及概率，寫出分布列和數(shù)學期望.【詳解】解：（1）由頻率直方圖的性質，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1，解得a＝0.03，（2）由分層抽樣可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，閱讀時間不小于30小時的學生的頻率為（0.03+0.005）×10＝0.25，∴所有的初中生閱讀時間不小于30小時的學生約有0.25×1800＝450人，同理，高中生閱讀時間不小于30小時的學生的頻率為（0.03+0.005）×10＝0.035，學生人數(shù)約為0.35×1200＝420人，所有的學生閱讀時間不小于30小時的學生約有450+420＝870，（3）初中生中閱讀時間不足10個小時的學生的頻率為0.005×10＝0.05，樣本人數(shù)為0.05×60＝3人，同理，高中生中閱讀時間不足10個小時的學生的頻率為0.005×10×40＝2，故X的可能取值為：1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列為： X 1 2 3 P  ∴E（X）＝1×+2×+3×＝. 

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