?專題12 線段中的四種動(dòng)點(diǎn)問題與四種數(shù)學(xué)思想 專項(xiàng)講練
線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題（數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)題）是人教版七年級(jí)上學(xué)期壓軸題，而四種數(shù)學(xué)思想則一直貫穿我們整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，站在中考的角度看數(shù)學(xué)思想的重要性甚至超過線段的動(dòng)點(diǎn)問題。本本專題主要介紹線段相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題（與中點(diǎn)、和差倍分結(jié)合的動(dòng)點(diǎn)問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）和四種數(shù)學(xué)思想（分類討論思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想）。
【知識(shí)儲(chǔ)備】
1.在與線段長度有關(guān)的問題中，常常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)列方程；
2.線段等量代換模型：

若，則，即
3.定和型中點(diǎn)模型：

若，分別是，的中點(diǎn)，則
線段的動(dòng)點(diǎn)問題解題步驟：
1.設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；
2.利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；
3.根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；
4.觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果。
【動(dòng)點(diǎn)問題】
題型1：線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題
例1．（2022·廣東·七年級(jí)期中）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為8，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒：

（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為______，點(diǎn)表示的數(shù)為______ （用含的代數(shù)式表示）；
（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)？（3）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段的長．




變式1．（2022·河南·七年級(jí)期中）如圖①，已知線段，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．

（1）若，則DE的長為_____________；（2）若，求DE的長；（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長度的速度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以點(diǎn)P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問當(dāng)t為多少時(shí)，P，Q之間的距離為6？




題型2：線段和差倍分關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)問題
例2．（2022·貴州黔西·七年級(jí)期末）已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動(dòng)．

(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；
(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線段上，，，求的長．






變式2．（2022·陜西岐山縣·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長．
（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長．







題型3：線段上動(dòng)點(diǎn)問題中的存在性（探究性）問題
例3．（2022·廣西桂林·七年級(jí)期末）如圖，在直線AB上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)， ；
(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．



變式2．（2022·湖北青山區(qū)·七年級(jí)期中）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ 　，n＝ 　；
（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線段CD以2個(gè)單位長度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．
①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；
②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．





題型4：閱讀理解型（新定義）問題
例5．（2022·河南宛城七年級(jí)期中）如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．
（1）填空：線段的中點(diǎn) 這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）
（問題解決）（2）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)。
（應(yīng)用拓展）（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值．


變式1．（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【探索新知】
如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”.
（1）①一條線段的中點(diǎn) 這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）
②若線段，是線段的“二倍點(diǎn)”，則 （寫出所有結(jié)果）
【深入研究】如圖2，若線段，點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒2的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（2）問為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”；
（3）同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒1的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)的值.















【數(shù)學(xué)思想】
1.分類討論思想
分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干個(gè)不同的情形，然后逐類進(jìn)行研究和求解的一種解題思想。在線段計(jì)算中，由于線段及端點(diǎn)的不確定性往往需要分類討論。
常見分類依據(jù)：①無圖常需分類討論； ②在不清楚點(diǎn)的具體位置的情況下，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，即分點(diǎn)在線段上還是在線段的延長線上，在左側(cè)還是右側(cè)等情況。
例1．（2022·重慶初一期中）已知，點(diǎn)C在直線 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，點(diǎn) M是線段 AB 的中點(diǎn)，則線段 MC的長為（ ）
A． B． C．或 D．或

變式1．（2022·江蘇·七年級(jí)期中）把根繩子對(duì)折成一條線段，在線段取一點(diǎn)，使，從處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長的一段為，則繩子的原長為（ ）
A． B． C．或 D．或

變式2．（2022·沙坪壩區(qū)·七年級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．


2.數(shù)形結(jié)合思想
?以圖形的認(rèn)識(shí)為主，這是幾何研究的主要特點(diǎn)。同時(shí)我們也要聯(lián)系到數(shù)量，使兩者一致，達(dá)到數(shù)與形的完美結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩塊基石，它們常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。??在解題時(shí)，必須注意把數(shù)和形結(jié)合起來，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，或者把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題。利用數(shù)研究形，關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)條件，使幾何圖形數(shù)量化；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求最值和定值是?？键c(diǎn)。

例2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級(jí)期中）（1）如圖1，請(qǐng)利用無刻度的直尺和圓規(guī)，連接，在線段上求作線段，使；

（2）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、分別是線段、上的點(diǎn)，且，．若，求線段的長．



變式1．（2022·福建·福州華倫中學(xué)七年級(jí)期末）如圖直線l上有AB兩點(diǎn)，，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，，若點(diǎn)C是射線AB上一點(diǎn)，且滿足，則OC＝______cm．

變式2.（2022·山東·七年級(jí)期末）如圖1，將一段長為60cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊．

（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處．
①如圖2，若A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，MN＝　　cm；

②如圖3，若點(diǎn)A'落在點(diǎn)B'的左側(cè)，且A'B'＝20cm，求MN的長度；

③若A'B'＝ncm，求MN的長度．（用含n的代數(shù)式表示）

（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長度由短到長的比為3：4：5，直接寫出AN所有可能的長度．





3.整體思想
整體思想就是通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法。運(yùn)用整體思想計(jì)算線段的長或求定值，注意設(shè)字母參數(shù)x，并用x表示有關(guān)線段。在線段計(jì)算中，求一條線段上的兩個(gè)中點(diǎn)之間的距離時(shí)常用到整體的思想。
例3．（2022·陜西咸陽·七年級(jí)期末）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時(shí)，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)C，D在線段AB上移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否會(huì)發(fā)生變化，若會(huì)，請(qǐng)說明理由；若不會(huì)，請(qǐng)求出EF的長．



變式1．（2022·遼寧撫順·九年級(jí)）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD，點(diǎn)P沿直線l從左向右移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（　?。?br />
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)

變式2．（2022·河南三門峽·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B在線段AC的延長線上，M、N分別是線段AC、CB的中點(diǎn)．(1)若，，求線段MN的長；(2)若，，求線段MN的長．







4.方程思想
方程思想是指把數(shù)學(xué)問題通過適當(dāng)?shù)耐緩睫D(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決的思想方法，運(yùn)用方程思想計(jì)算線段的長，巧設(shè)未知數(shù)，一般設(shè)和其它多數(shù)線段相關(guān)的線段為x.有關(guān)線段比的問題（或倍分關(guān)系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山東煙臺(tái)·期中）如圖線段，點(diǎn)在射線上從點(diǎn)開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，則時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（????）

A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．

(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請(qǐng)說明理由．





變式2．（2022·河南·鄭州中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，線段AC＝8m，．機(jī)器狗P從點(diǎn)A出發(fā)，以6m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即以原來的速度返回；機(jī)械貓Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．當(dāng)機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第二次相遇時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計(jì)算說明：當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處？(3)當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ＝2m？請(qǐng)直接寫出x的值．













課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2022·山西·右玉縣七年級(jí)期末）一條直線上有，，三點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則______．

2．（2022·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，已知，C為線段AB上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)（1）如圖1，若AC＝4，BC＝6，求CF的長；（2）若AB＝16CF，求的值；（3）若AC＞BC，AC﹣BC＝a，取DC的中點(diǎn)G，CE的中點(diǎn)H，GH的中點(diǎn)P，求CP的長（用含a的式子表示）．





3.（2022·河南七年級(jí)期末）如圖，已知B、C在線段AD上．

（1）圖中共有 　 　條線段；（2）若AB＝CD．①比較線段的大?。篈C　　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，求MN的長度．





4.（2022·廣西·七年級(jí)期末）已知線段AB上有兩點(diǎn)C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上的點(diǎn)，且滿足DN=14DB，AB＝24．求MN的長．





5.（2022·浙江·七年級(jí)期末）已知直線l依次三點(diǎn)A、B、C，AB＝6，BC＝m，點(diǎn)M是AC點(diǎn)中點(diǎn)
（1）如圖，當(dāng)m＝4，求線段BM的長度（寫清線段關(guān)系）．
（2）在直線l上一點(diǎn)D，CD＝n＜m，用m、n表示線段DM的長度．




6.（2022·山東·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，
（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求線段MN的長；
（2）若AB＝a，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)，你能用含a的代數(shù)式表示MN的長度嗎？若能，請(qǐng)寫出結(jié)果與過程，若不能，請(qǐng)說明理由．（3）若將（2）中“點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為直線AB上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)畫圖并寫出說明過程．




7．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知線段，點(diǎn)在線段上，且．

(1)求線段，的長；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)，，重合，線段的中點(diǎn)為，設(shè)①請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示線段，的長；②若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出使得，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的的值．





8．（2022·山東菏澤·七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)C在線段上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且．

(1)若，求線段的長；(2)若，則________（直接寫出結(jié)果）；
(3)若已點(diǎn)知C在線段的延長線上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，，求的長．




9．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．
(1)點(diǎn)D在線段AB上，且AB=6，，求線段CD的長度；(2)若點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=2BE，當(dāng)時(shí)，線段CD與CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．





10．（2022·北京海淀區(qū)·北大附中七年級(jí)期末）點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為5，線段AB的長為線段OA長的1.2倍．點(diǎn)C在數(shù)軸上，M為線段OC的中點(diǎn)．

（1）點(diǎn)B表示的數(shù)為________；（2）若線段，則線段OM的長為________；
（3）若線段（），求線段BM的長（用含a的式子表示）．





11．（2022·河南義馬市·七年級(jí)期末）如圖，B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．

（1）當(dāng)時(shí)，①________cm，②此時(shí)線段CD的長度=_______cm；（2）用含有t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過程中AB的長；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，若AB中點(diǎn)為E，則EC的長度是否變化？若不變，求出EC的長；若變化，請(qǐng)說明理由．




12．（2022·重慶一中）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，是最大的負(fù)整數(shù)，且，滿足．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立刻返回到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后再返回到點(diǎn)并停止．

（1）________，________，________．
（2）點(diǎn)從點(diǎn)離開后，在點(diǎn)第二次到達(dá)點(diǎn)的過程中，經(jīng)過秒鐘，，求的值．
（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個(gè)單位長度和每秒5個(gè)單位長度，假設(shè)秒鐘時(shí)，、、三點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的的值．








13．（2022·昌圖縣十八家子中學(xué)）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)，表示的數(shù)分別為-10和20，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位秒的速度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）點(diǎn)出發(fā)多少秒時(shí)，；
（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的值；（3）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的長．





14．（2022·江西東湖區(qū)·）已知：如圖1，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）

（1）若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，此時(shí)AC＝　 　，DM＝　 ?。唬ㄖ苯犹羁眨?br /> （2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，求AC+MD的值．
（3）若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝2AC，則AM＝　 ?。ㄌ羁眨?br /> （4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．



15．（2022·深圳市高級(jí)中學(xué)初一期末）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=12cm，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.

（1）當(dāng)t=1時(shí)，PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長；（2）當(dāng)t=2時(shí)，PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長；
（3）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=2AC，請(qǐng)求出AP的長；
（4）在（3）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的長.



16．（2022·綿陽市七年級(jí)期末）已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點(diǎn)．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點(diǎn)D是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中：
①是定值；②是定值．其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)選擇正確結(jié)論并求出其值．

17．（2022·綿陽市·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（理解新知）
如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，

（1）線段的中點(diǎn) 這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）
（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則 ；
（3）（解決問題）如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 t，請(qǐng)求出 為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．



18．（2022·北京市第七中學(xué)七年級(jí)期中）如圖1，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AC=2BC時(shí)，則稱點(diǎn)C是線段AB的內(nèi)二倍分割點(diǎn)；如圖2，如果BC=2AC時(shí)，則稱點(diǎn)C是線段BA的內(nèi)二倍分割點(diǎn)．
??
例如：如圖3，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C、D分別表示數(shù)-1、2、1、0，則點(diǎn)C是線段AB的內(nèi)二倍分割點(diǎn)；點(diǎn)D是線段BA內(nèi)二倍分割點(diǎn)．

（1）如圖4，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)N所表示的數(shù)為7．MN的內(nèi)二倍分割點(diǎn)表示的數(shù)是 ；NM的內(nèi)二倍分割點(diǎn)表示的數(shù)是 ．

（2）數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的數(shù)為-30，點(diǎn)B所表示的數(shù)為20．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t>0）秒．
①線段BP的長為 ；（用含t的式子表示）
②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、A、B三個(gè)點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的內(nèi)二倍分割點(diǎn)．



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