2022-2023學(xué)年山東省泰安市新泰市第一中學(xué)東校高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若在△ABC中，，，且，，則△ABC的形狀是（    ）A．正三角形 B．銳角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】利用向量加法的幾何意義和模長之間的關(guān)系即可判定其為等腰直角三角形.【詳解】由于，，，則，即，所以△ABC為等腰直角三角形．故選：D．2．（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用誘導(dǎo)公式化為同角，然后利用倍角公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.3．在中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的減法運(yùn)算即可得到答案．【詳解】由可得則有，可得，所以故選：B4．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)正切函數(shù)的定義求出，再根據(jù)二倍角公式求得，根據(jù)兩角和的正切求得.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的定義可知，,所以．故選：A．5．已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的基本定理可得關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?/span>與共線，則存在，使得，即，因?yàn)橄蛄?/span>、不共線，則，整理可得，即，解得或.故選：C.6．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式和倍角公式即可求解.【詳解】依題意，，故選：B.7．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方關(guān)系式求出，再根據(jù)及兩角差的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：B8．已知函數(shù)，則（    ）A．的最大值為4B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．在單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)【答案】C【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，直接判斷B，根據(jù)正弦型函數(shù)的最值判斷A，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】，對A，函數(shù)的最大值為2，故A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)?/span>，故B錯(cuò)誤；對C，∵，∴，由在單調(diào)遞增可得在單調(diào)遞增，故C正確；對D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C. 二、多選題9．下列命題正確的有（    ）A．方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同D．“若是不共線的四點(diǎn)，且'“四邊形是平行四邊形”【答案】AD【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷A，根據(jù)單位向量的定義判斷B，根據(jù)相等向量的定義判斷C，根據(jù)相等向量及平行四邊形的性質(zhì)判斷D.【詳解】解：對于A，方向相同或相反的兩個(gè)非零向量為共線向量，故A正確；對于B：單位向量的模為，但是方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；對于C：若兩個(gè)向量相等，它們的起點(diǎn)不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，故C錯(cuò)誤；對于D：若是不共線的四點(diǎn)，且，則且，所以四邊形是平行四邊形，故充分性成立，若四邊形是平行四邊形，則，故必要性也成立，故D正確.故選：AD10．下列說法正確的是（    ）A．向量在向量上的投影向量可表示為B．若，則與的夾角θ的范圍是C．若是等邊三角形，則，的夾角為D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)投影向量的定義即可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷B；根據(jù)向量夾角的定義即可判斷C，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，根據(jù)投影向量的定義可得向量在向量上的投影向量為，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，若是等邊三角形，則，的夾角為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，所以或或，故D錯(cuò)誤．故選：AB.11．要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（    ）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位B．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）D．向左平移個(gè)單位，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）【答案】BC【分析】根據(jù)周期變換和平移變換的原則即可得解.【詳解】要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位；或者向左平移個(gè)單位，再將所得圖象每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）.故選：BC.12．若函數(shù)的最小正周期為，則（    ）A． B．在上單調(diào)遞增C．在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn) D．在上的值域?yàn)?/span>【答案】BC【分析】根據(jù)二倍角公式化簡，由周期可得，代入即可判斷A,根據(jù)整體法即可判斷BD，令，根據(jù)即可求解滿足條件的零點(diǎn)，即可判斷C.【詳解】.由最小正周期為，可得，故，對于A,,故A錯(cuò)誤；對于B,當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故B正確；對于C，令，所以或，當(dāng)時(shí)，滿足要求的有 故有5個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D,  當(dāng)時(shí)，，則故，所以D錯(cuò)誤.故選：BC. 三、填空題13．若兩個(gè)非零向量，滿足，則與的夾角為      ．【答案】/【分析】由向量和與差的模相等可確定向量、相互垂直，且得到，最后運(yùn)用向量夾角公式求解即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?/span>，則，變形得 ，所以 且，則 ，故 ，又，則.故答案為:.14．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，則         ．【答案】/【分析】由三角函數(shù)圖象的平移變換求出，再由平移后圖象重合，可得，再結(jié)合即可得出答案.【詳解】，，因?yàn)槠揭坪髨D象重合，故，因?yàn)?/span>，故．故答案為：.15．已知，，，求      ．【答案】【分析】根據(jù)展開求出，然后代入求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>又因?yàn)?/span>，，即 所以又因?yàn)?/span>故答案為： 四、雙空題16．如圖，在平行四邊形中，，分別是，上的點(diǎn)，且滿足，，記，，則向量  （用，來表示）；若，，且，則  ．【答案】          【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接可得，以與為基底，根據(jù)可得與的夾角，再利用轉(zhuǎn)化法可得.【詳解】在平行四邊形中，，，，，，，且，，，，，，故答案為：，． 五、解答題17．如圖，在中，.設(shè).  (1)用表示；(2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且.求證：三點(diǎn)共線，并指明點(diǎn)的具體位置.【答案】(1)，(2)證明見解析，是的中點(diǎn) 【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算求得關(guān)于的表達(dá)式.（2）根據(jù)向量線性運(yùn)算求得，由此證得三點(diǎn)共線，并確定點(diǎn)的位置.【詳解】（1）依題意，，.-（2）由，又，所以，，故三點(diǎn)共線，且是的中點(diǎn).  18．已知是鈍角，是銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求出，，由及兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）.（2）因?yàn)?/span>是鈍角，是銳角，，所以，，，所以，.所以,19．已知向量與的夾角，且，．(1)求，；(2)求；(3)與的夾角的余弦值．【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求解，利用數(shù)量積的運(yùn)算；（2）按照數(shù)量積的性質(zhì)求解模長即可；（3）根據(jù)向量夾角余弦值的公式運(yùn)算即可.【詳解】（1）已知向量與的夾角，且，，則，所以；（2）（3）與的夾角的余弦值為.20．如圖，在中，，，，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn).(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）找出與和的關(guān)系，即可求出結(jié)果.（2）設(shè)出的表達(dá)式，得到的表達(dá)式，即可得出的最小值【詳解】（1）由題意，在中，，，∴為的中點(diǎn)，∴.（2）由題意及（1）得，在等腰直角三角形中，，由（1）知，.設(shè)，則，∴∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為.21．如圖所示，摩天輪的直徑為100m，最高點(diǎn)距離地面高度為110m，摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個(gè)座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，并且運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周大約需要12min．(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；(2)在甲進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙乙游客進(jìn)座艙（如圖所示，此時(shí)甲、乙分別位于P、Q兩點(diǎn)，本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），以乙進(jìn)座艙后開始計(jì)時(shí)，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出時(shí)t的取值范圍．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）建立合適的坐標(biāo)系，求出H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，列出不等關(guān)系，用三角恒等變換化簡，解出解集.【詳解】（1）如圖，以摩天輪中心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系．由題意，摩天輪的角速度所以甲所在的位置的縱坐標(biāo)則（2）令甲、乙兩位游客距離地面的高度為、，則，令，得或解得：．22．已知函數(shù)(1)將函數(shù)化簡成的形式，并求出函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.若方程在上有兩個(gè)不同的解，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值.【答案】(1)，最小正周期為(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是， 【分析】（1）使用三角恒等變換和輔助角公式化簡，并利用求出最小正周期即可.（2）先使用伸縮和平移變換得到，再將方程等價(jià)變換為，由的圖象和性質(zhì)求出的取值范圍，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，同時(shí)，利用的對稱性，可求出的值.【詳解】（1），∴函數(shù)的最小正周期.（2）由（1），將函數(shù)的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，∴，由，，得，，∴在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，同理可求得在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，且的圖象關(guān)于直線，對稱，方程等價(jià)于，∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，，由單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，，∴，實(shí)數(shù)的取值范圍是.又∵的圖象關(guān)于直線對稱，∴，即，∴. 

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