2022-2023學年山東省泰安市泰山區(qū)山東省泰安第一中學高一下學期6月月考數(shù)學試題 一、單選題1．設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)a的值為（    ）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由復數(shù)乘法法則化復數(shù)為代數(shù)形式，再由復數(shù)的分類求解．【詳解】，它是實數(shù)，則，．故選：C．2．某射擊運動員7次的訓練成績分別為:86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績的第80百分位數(shù)為（    ）A．88.5 B．89 C．91 D．89.5【答案】B【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】7次的訓練成績從小到大排列為：85，86，87，88，88，89，90，，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第個數(shù)據(jù)，即89，故選：B3．在中，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知三角形中兩角和其中一角的對邊，可以用正弦定理求另一角的對邊.【詳解】在中，由正弦定理得，，即，解得：.故選：A.4．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將轉(zhuǎn)化為，再將未知角向已知角轉(zhuǎn)化，根據(jù)倍角公式求出的值.【詳解】因為，所以，所以.故選：C.5．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（    ）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合垂直的性質(zhì)、平面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，，若，分別在直線上為平面，的法向量，且，故，所以選項A說法正確；因為，，所以，而，因此，所以選項B說法正確；當時，如下圖所示：也可以滿足，，，所以選項C說法不正確；因為，，所以，而，所以，因此選項D說法正確，故選：C6．有位男生和位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該位同學中任取人，至少有名女生的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將位男生分別記為、、，位女生分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“從這位同學中任取人，至少有名女生”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】將位男生分別記為、、，位女生分別記為、，從這位同學中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“從這位同學中任取人，至少有名女生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，因此，所求概率為.故選：D.【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列、組合數(shù)的應用.7．在中，角，，所對的邊分別是，，，，，，則（    ）A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】利用正弦定理求出，再求.【詳解】由正弦定理得，得，則；因為，則，故，則，所以A正確.故選：A.8．已知函數(shù)是偶函數(shù).若將曲線向左平移個單位長度后，再向上平移個單位長度得到曲線，若關于的方程在有兩個不相等實根，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)得出，通過計算得出，然后通過轉(zhuǎn)化得出，通過圖像變換得出，最后根據(jù)正弦函數(shù)對稱性得出且，通過求出此時的值域即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，，解得，，則，則，向左平移個單位長度后，得到，向上平移個單位長度，得到，當時，，結(jié)合正弦函數(shù)對稱性易知，在有兩個不相等實根，則且，此時，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)圖像變換、正弦函數(shù)性質(zhì)、偶函數(shù)的性質(zhì)的應用以及兩角差的正弦公式，能夠根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出是解決本題的關鍵，考查計算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題. 二、多選題9．已知點O，N在△ABC所在平面內(nèi) ，且，，則點O，N分別是△ABC的（    ）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】AC【分析】分析出點O到三角形的三個頂點的距離相等，所以O為的外心；先證明點N在AB邊的中線上，同理可得點N在其他邊的中線上，所以點N為的重心.【詳解】因為，所以點O到三角形的三個頂點的距離相等，所以O為的外心；由，得，由中線的性質(zhì)可知點N在AB邊的中線上，同理可得點N在其他邊的中線上，所以點N為的重心.故選：AC.10．某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30.下列說法中正確的是（    ）A．男生樣本容量為30B．每個女生被抽入到樣本的概率均為C．所有樣本的均值為166D．所有樣本的方差為46.2【答案】ACD【分析】分層抽樣等比例性質(zhì)求男女生樣本容量，再由古典概型的概率求每個女生被抽入到樣本的概率判斷A、B；利用均值、方差公式，結(jié)合男、女的樣本的均值和方差求樣本總體均值方差判斷C、D.【詳解】A：由人，正確；B：由人，故每個女生被抽入到樣本的概率為，錯誤；C：所有樣本的均值為，正確；D：男生方差，女生方差，所有樣本的方差，正確.故選：ACD11．盒子里有2個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設事件“兩個球顏色相同”，=“第1次取出的是紅球”，=“第2次取出的是紅球”，=“兩個球顏色不同”．則下列說法正確的是（    ）A．A與相互獨立 B．A與互為對立C．與互斥 D．與相互獨立【答案】ABD【分析】設2個紅球為，2個白球為，運用列舉法可得樣本空間，后由事件相互獨立，對立，互斥相關概念可得答案.【詳解】2個紅球為，2個白球為，則樣本空間為：，共12個基本事件.事件A，共4個基本事件.事件B，共6個基本事件.事件C，共6個基本事件.事件D，共8個基本事件.對于A選項，因，則，故A與相互獨立.故A正確；對于B選項，注意到，得A與互為對立.故B正確；對于C選項，注意到，則與不互斥.故C錯誤.對于D選項，因，則，故D與相互獨立.故D正確.故選：ABD12．如圖，在菱形ABCD中，，，M為BC的中點，將△ABM沿直線AM翻折成，連接和，N為的中點，則（    ）A．平面平面AMCDB．線段CN的長為定值C．當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為D．二面角的最大值為30°【答案】ABD【分析】對于A，由已知可得△ABC為等邊三角形，則，由翻折性質(zhì)知，平面，再由面面垂直的判定可得結(jié)論，對于B，取AD中點E，由三角形中位線定理可得，，由等角定理得，然后在△NEC中由余弦定理可求出CN長，對于C，由題意可知將三棱錐的頂點放置在長寬高分別為2，，1的長方體的頂點處，從而可求出其外接球的半徑，進而可求出球的表面積，對于D，過作，垂足為F，過F作，垂足為D，可和即為二面角的平面角，當時，取得最大值1，從而可求出其角度【詳解】對于A，如圖所示，在菱形ABCD中，，，所以△ABC為等邊三角形，又M是BC的中點，所以，由翻折性質(zhì)知，又因為，平面，，所以平面，因為平面AMCD，所以平面平面AMCD，故A正確；對于B，如圖所示，取AD中點E，則，，在菱形ABCD中， ，，因為和的兩邊方向相同，則由等角定理得，在△NEC中，由余弦定理可得，所以，即CN長為定值，故B正確；對于C，由題意可知當平面平面AMD時，三棱錐的體積最大，由A項已證知此時平面AMD，易知，所以，故可將三棱錐的頂點放置在長寬高分別為2，，1的長方體的頂點處，此時三棱錐的外接球即為長方體的外接球，則長方體的外接球半徑，表面積為，故C錯誤；對于D，如圖所示，由選項A可知，平面平面AMCD，在平面中，過作，垂足為F，在平面AMCD中，過F作，垂足為，因為平面平面AMCD，，平面平面，平面，所以平面AMCD，即為二面角的平面角．，在菱形ABCD中，已知FG為定值，由平面，知，點的在以M為圓心的圓弧上，所以當時，取得最大值1，此時，因為為銳角，所以，故D正確，故選：ABD． 三、填空題13．已知向量，則向量在向量上的投影向量的坐標為           ．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的求法，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案.【詳解】由題，向量在向量上的投影向量為，故答案為：14．如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點B與C的距離為        km.【答案】【分析】在中，根據(jù)，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.【詳解】在中，因為，，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因為，，所以，由正弦定理得： ，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積為      ．【答案】【分析】由正余弦定理求，進而求△外接圓半徑為r，由平面，設外接球半徑為R，則求R，即可求外接球的表面積.【詳解】在△中，由余弦定理：，即，由正弦定理知：若外接圓半徑為r，則，即，∵平面，設四面體外接球半徑為R，則，∴，即四面體的外接球的表面積.故答案為：.16．中，角A，B，C滿足，則的最小值為      ．【答案】/【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得，利用三角函數(shù)的最值的求法求得的最小值.【詳解】依題意，，，，由正弦定理得，所以，所以為銳角，且.，由于且，所以且，所以，所以，當，是等號成立.所以的最小值為. 故答案為：【點睛】利用正弦定理或余弦定理來求角時，要注意角的范圍，如，則可能是或.求解含角的表達式的最值或范圍時，首先將表達轉(zhuǎn)化為一個角的形式，如轉(zhuǎn)化為等形式，再根據(jù)的范圍求得的范圍. 四、解答題17．中國神舟十三號載人飛船于2022年4月16日圓滿完成飛行任務，神舟十三號的成功又一次激發(fā)了廣大中學生對于航天的極大興趣. 某校舉行了一次主題為“航天夢，強國夢”的知識競賽活動，用簡單隨機抽樣的方法，在全校選取100名同學，按年齡大小分為大齡組甲和小齡組乙兩組，每組各50人，所有學生競賽成績均在60~100之間，甲組競賽成績的頻率分布表和乙組競賽成績的頻率分布直方圖，如下圖所示．組號組頻數(shù)頻率第一組50.1第二組ab第三組150.3第四組 100.2(1)求a，b，x的值；(2)若以平均分為依據(jù)確定小組成績的優(yōu)劣，你認為哪個小組成績更優(yōu)？請說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)若成績不低于90分的同學稱為“航天追夢者”，以選取的100名同學作為樣本，試估計該校2000名學生中“航天追夢者”的人數(shù)．【答案】(1)，，(2)甲組成績更優(yōu)，理由見解析(3)300人 【分析】（1）根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖可得答案；（2）分別算出兩組的平均分作比較即可；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)算出甲、乙兩組中“航天追夢者”的頻率，然后可算出答案.【詳解】（1）由甲組的頻率分布表可知， ，由乙組的頻率分布直方圖可知，，（2）記甲組平均分為，，記乙組平均分為，，因為 ，即甲組成績更優(yōu).（3）由頻率分布表可知，甲組中“航天追夢者”的人數(shù)為10，乙組中“航天追夢者”的人數(shù)為，甲、乙兩組中“航天追夢者”的頻率，甲、乙組中“航天追夢者”的人數(shù)為.18．在①，②這兩個條件中任選一個作為已知條件，然后解答問題．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，______．(1)求角A；(2)若，，求的BC邊上的中線AD的長．【答案】(1)(2) 【分析】（1）若選①，由已知可得，可求出，進而求出；若選②：由正弦定理，得，可求出，進而求出；（2）是的邊上的中線，，利用向量法可求的長．【詳解】（1）解：（1）若選①，即，得，，或（舍去），，；若選②：，由正弦定理，得，，，，則，，；（2）解：是的邊上的中線，，，，．19．如圖所示，在四棱錐中，，為棱的中點，，，平面平面．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由平面平面，可得平面，進而得，再利用勾股定理證得，根據(jù)線面垂直判定定理可證明結(jié)論.（2）利用等積法, 可求點到平面的距離.【詳解】（1）因為，，，所以且．而，故四邊形為矩形，則．因為平面平面，且平面平面，所以平面．又平面，平面，故且．因為，，，所以，即．而，故平面．（2）記點到平面的距離為．如圖，過點作，垂足為，則平面．因為，故．因為平面，所以．所以，．因為，即，故．20．已知函數(shù)，其中，若實數(shù)滿足時，的最小值為．(1)求的值及的對稱中心；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求周長的取值范圍．【答案】(1)，對稱中心；(2) 【分析】（1）先由倍角公式及輔助角公式化簡得，再結(jié)合已知求得周期即可求出，由正弦函數(shù)的對稱性即可求得對稱中心；（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等變換及三角函數(shù)的值域即可求得周長的取值范圍．【詳解】（1），顯然的最大值為1，最小值為，則時，的最小值等于，則，則，；令，解得，則的對稱中心為；（2），，又，則，由正弦定理得，則，則周長為，又，則，則，故周長的取值范圍為.21．如圖，在四棱錐中，平面平面∥平面，，E是的中點．(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)若M是線段上任意一點，試判斷線段上是否存在點N，使得∥平面？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)當為中點時，∥平面. 【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理即可證明.（2）由面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，又因為平面，所以平面平面.（3）取的中點，連接，由線面平行的判定定理證明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理可證得∥平面.【詳解】（1）∥平面平面平面平面,所以.（2）因為平面平面平面平面，，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（3）取的中點，連接，分別為的中點，所以，平面，平面，所以平面，又因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，又因為平面，所以∥平面.線段上存在點N，使得∥平面.22．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設,所以，設為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速. 

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