2022-2023學(xué)年山東省東明縣第一中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．對(duì)下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵?/span>    ）．  A． B． C． D．【答案】C【分析】圖像是個(gè)有向線段，可知其表達(dá)是一個(gè)向量.【詳解】圖像有起點(diǎn)有終點(diǎn)，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.故選：C.2．如果一架飛機(jī)向西飛行，再向南飛行，記飛機(jī)飛行的路程為，位移為，則（    ）．A． B． C． D．與不能比較大小【答案】A【分析】根據(jù)題意，作圖，結(jié)合向量的幾何意義，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：則該飛機(jī)由先飛到，再飛到，則，，，則飛機(jī)飛行的路程為，，所以.故選：A.3．下面給出的關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)是（    ）．①；②；③；④；⑤．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義式與運(yùn)算律，結(jié)合數(shù)乘的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于①，，，故①正確；對(duì)于②，設(shè)向量與的夾角為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，根據(jù)數(shù)乘的性質(zhì)可直接判斷，，故③正確；對(duì)于④，設(shè)向量與的夾角為，則，，故④正確.對(duì)于⑤，，顯然⑤錯(cuò)誤.故選：D.4．已知，，且，則的坐標(biāo)是（    ）．A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由題意，設(shè)，由可求出的值，進(jìn)而得解.【詳解】由，，可設(shè)，又，所以，解得，所以或.故選：D5．已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量定義計(jì)算即可.【詳解】為單位向量，則 ，則向量在向量上的投影向量為.故選：C.6．若非零向量與滿足，且，則為（    ）A．三邊均不等的三角形 B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】由已知可得的角平分線與BC垂直，可分析出是等腰三角形，根據(jù)數(shù)量積公式可求角A，即可判斷.【詳解】解：，的角平分線與BC垂直，，，則是頂角為的等腰三角形，故選：C.7．岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”．因范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世．小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度CD為（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】由題意可得為等腰三角形，故有米，在中，利用求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，所以為等腰三角形，所以米，在中，，所以米.故選：B.8．若平面向量，，，兩兩的夾角相等，且，，，則（    ）．A．2 B．4或 C．5 D．2或5【答案】D【分析】依題意可得夾角為或，再分夾角為和夾角為兩種情況討論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?/span>，，兩兩的夾角相等，所以?shī)A角有兩種情況，即，，兩兩的夾角為或,當(dāng)夾角為時(shí)，，當(dāng)夾角為時(shí)，，所以或.故選：D． 二、多選題9．下列命題中，正確的是（    ）．A．若，則B．若四邊形滿足，則四邊形構(gòu)成平行四邊形C．若，，則與可以作為基底D．在中，恒成立（注：，，）【答案】BCD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、向量相等的性質(zhì)，結(jié)合基底的定義、余弦定理逐一判斷即可.【詳解】，顯然當(dāng)時(shí)，滿足，但是此時(shí)共線不互相垂直，故選項(xiàng)A不正確；因?yàn)樗倪呅?/span>滿足，所以且，因此四邊形構(gòu)成平行四邊形，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?/span> ，所以與不是共線向量，因此可以作為基底，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD10．化簡(jiǎn)下列各式，結(jié)果為的是（    ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)平面向量加、減法法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．如圖，四邊形ABCD為直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】直接由向量的加減法法則、平面向量基本定理即可解決問(wèn)題.【詳解】由，知A正確；由，得知B正確；由知C正確；由N為線段DC的中點(diǎn)知，知D錯(cuò)誤；故選：ABC.12．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角可為（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)可得；分別驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)中的的取值，根據(jù)可確定正確選項(xiàng).【詳解】由余弦定理得：，又，，整理可得：；對(duì)于A，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，，則，C正確；對(duì)于D，，則，D錯(cuò)誤.故選：BC. 三、填空題13．已知，是兩個(gè)不共線的向量，與共線，則實(shí)數(shù)          ．【答案】【分析】用向量的共線定理，結(jié)合平面向量基本定中的唯一性構(gòu)建參數(shù)方程組，即可求.【詳解】與共線，，，又，是兩個(gè)不共線的向量，，解得，故答案為：.14．若對(duì)個(gè)向量存在個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”，以此規(guī)定，能說(shuō)明線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)依次可取的一組值是            （只要寫(xiě)出一組答案即可）【答案】【分析】利用題中的定義設(shè)出方程，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程組，給其中一個(gè)未知數(shù)賦值求出方程組的一個(gè)解．【詳解】設(shè)k1+k2+k3，則依次可取的一組值是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查理解題中給的新定義、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的基本定理．15．在中，已知，，，則          ．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求得第三個(gè)角，根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦差角公式，可得答案.【詳解】在中，由，且，，則，由正弦定理，則，可得，.故答案為：.16．如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值是          ．  【答案】【分析】利用平面向量的加減法運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題可得，，，，所以，，，所以，則.故答案為：. 四、解答題17．已知平面向量，.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由與的數(shù)量積為可得；（2）由與的數(shù)量積大于0，再去除兩向量同向的情形．【詳解】（1）由已知，，，與垂直，則．解得；（2），，又時(shí)，，兩相向夾角為0，所以且．18．對(duì)于任意的a，b，c，，試用向量方法證明不等式．【答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，結(jié)合，即可求證.【詳解】證明：設(shè)，.∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)與共線，即時(shí)，等號(hào)成立.19．已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．(1)求；(2)若，的面積為，求，．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，，即為．因?yàn)樵?/span>中，，所以，即，因?yàn)?/span>，，所以，所以，即；（2）由，，得．由余弦定理，得，因?yàn)?/span>，所以，即，又，所以．20．在中，角所對(duì)的邊分別為，.(1)判斷的形狀，并加以證明；(2)如圖，外存在一點(diǎn)D，使得且，求.【答案】(1)直角三角形，證明見(jiàn)解析(2)5 【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；（2）根據(jù)正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，結(jié)合中垂線性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得又，所以化簡(jiǎn)得：，，所以，，所以，是直角三角形方法二：在中，由余弦定理得整理得，所以， 是直角三角形（2）方法一：在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.方法二：作 ，垂足為 ， ，垂足為,則，在中 所以，為的中垂線所以21．重慶育才中學(xué)學(xué)生小王和小李星期天一同返校進(jìn)入校門(mén)，如圖所示，背對(duì)著校門(mén)站在陶行知雕像前點(diǎn)，小李沿著行知大道（正西方向）走27米后到達(dá)點(diǎn).小王以垂直于小李的路線向正南方向行走若干米后到達(dá)陶行知紀(jì)念館點(diǎn)，后又沿著南偏西的方向行走到達(dá)國(guó)旗桿下點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn).設(shè)，如圖所示.(1)設(shè)國(guó)旗桿底點(diǎn)到行知大道的最短距離為，請(qǐng)用表示的解析式；(2)求小王走過(guò)的路程的最大值.【答案】(1)(2)米 【分析】（1）根據(jù)題意可得出，再由正弦定理可表示出，再結(jié)合與即可得出答案.（2）利用正弦定理表示出與，即可化簡(jiǎn)求出的最大值.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，所以. 又因?yàn)?/span>，且，所以.（2）在中，由正弦定理得，，于是.因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值米.22．如圖，過(guò)△ABC的重心任作一條直線，分別交邊，于點(diǎn)，（不含端點(diǎn)），若，，，，記△ADE，△ABC，△ADG，△CEG的面積分別為，，，，試探究：(1)的值；(2)用分別表示，，并且求出的最小值．【答案】(1)3(2) ；， 【分析】（1）設(shè)出基底，由， ，三點(diǎn)共線的基本性質(zhì)，利用共線向量的性質(zhì)列出等式，求出即可；（2）利用三角形重心的性質(zhì)，三角形面積比的基本模型即可表示出，，利用換元法及不等式的性質(zhì)求出最小值.【詳解】（1）設(shè)，，則向量， 由， ，三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，即，整理得， 可得， 消去得，其中.（2）， 由為的重心，可得、、的面積相等，所以，，令，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值. 

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