2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】使用換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】故選：C2．已知角的終邊過點(diǎn)，則的值為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合三角函數(shù)的定義、兩角差的正切公式求得正確答案.【詳解】.故選：D3．平面向量與相互垂直，已知，，且與向量(1，0)的夾角是鈍角，則=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示及模的運(yùn)算，向量夾角的定義求解即可．【詳解】設(shè) ①， ，②，與向量(1，0)夾角為鈍角，，③，由①②③解得，，故選：D．4．化簡=（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡所求表達(dá)式，由此求得正確結(jié)論.【詳解】依題意，原式，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.5．已知中，，，AD與BE交于點(diǎn)P，且，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用基底向量表示,然后利用向量相等即可求解.【詳解】，，AD與BE交于點(diǎn)P，且，，∴，又，∴，解得，，∴.故選：A.6．如圖，已知點(diǎn)是邊長為2的正三角形的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ） A．最大值為8 B．為定值6C．最小值為2 D．與的位置有關(guān)【答案】B【分析】因?yàn)?/span>共線,所以設(shè),再代入求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>共線,故,.所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了共線向量的運(yùn)用以及數(shù)量積的轉(zhuǎn)換計(jì)算,屬于中檔題.7．已知，，一條對(duì)稱軸為，若關(guān)于x的方程，在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由是的對(duì)稱軸及，可求出，得到，換元后利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【詳解】因?yàn)?/span>是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以，解得，又因?yàn)?/span>，所以，所以.， ，即，，設(shè)，則，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖,當(dāng)時(shí)，，所以，即，故選：A．8．克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓的直徑為2，為直徑延長線上的一點(diǎn)，，為半圓上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形，則當(dāng)線段的長取最大值時(shí)，（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】根據(jù)已知條件先分析出的最大值并得到之間的關(guān)系，由此借助余弦定理求解出的長度，再利用余弦定理即可求解出的大小.【詳解】因?yàn)?/span>，且為等邊三角形，，所以，所以，所以的最大值為，取等號(hào)時(shí)，所以，不妨設(shè)，所以，所以解得，所以，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答問題的關(guān)鍵是理解題中所給的定理，由此分析得到角的關(guān)系，并借助余弦定理即可求解出結(jié)果. 二、多選題9．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)系式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由題意根據(jù)韋達(dá)定理可知，，再利用三角函數(shù)間的關(guān)系即可求解.【詳解】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，，對(duì)于A，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.10．在三角形ABC中，下列命題正確的有（    ）A．若，，，則三角形ABC有兩解B．若，則一定是鈍角三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則的形狀是等腰或直角三角形【答案】BCD【分析】利用正弦定理，對(duì)A進(jìn)行判斷，得到A，B都是銳角，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，及兩角和與差的三角函數(shù)公式得，對(duì)B進(jìn)行判斷，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷，利用正弦定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式，對(duì)D進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，，，所以由正弦定理得, 所以角只有一個(gè)解，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，即，所以，即，所以，所以，故一定是鈍角三角形，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>所以所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，所以因?yàn)?/span>，，所以，解得或，即或，所以的形狀是等腰或直角三角形，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11．在中，D為AB上一點(diǎn)滿足，若P為線段CD上一點(diǎn)，且，（為正實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C．的最大值為 D．【答案】AD【分析】由題設(shè)結(jié)合三點(diǎn)共線可得，再應(yīng)用基本不等式及的關(guān)系求的最值和的取值范圍，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義求的線性關(guān)系．【詳解】由題設(shè)，可得，又三點(diǎn)共線，所以，對(duì)于A選項(xiàng)，，又，∴，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，即知，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，為正實(shí)數(shù)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由知，，則，而，所以，由得，即，故D正確，故選：AD．12．已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．C．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為【答案】BC【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性可判斷A選項(xiàng)；利用已知條件結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)周期性可判斷C選項(xiàng)；設(shè)，利用【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>且函數(shù)為偶函數(shù)，所以，可得，所以，，所以，對(duì)任意的，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，，D錯(cuò).故選：BC. 三、填空題13．已知，則       ．【答案】【分析】根據(jù)已知條件利用三角函數(shù)和差倍角公式，輔助角公式化簡計(jì)算后可得，最后利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】解：，則.故答案為：14．在中，，，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，則的面積等于          ．【答案】/【分析】由不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，通過向量的數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次不等式恒成立，即可求出，的值，從而可求的面積．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，所以又因?yàn)?/span>，，所以，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，所以，因?yàn)?/span>所以，所以的面積為，故答案為：．15．已知三角形ABC中，是的重心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若（），則的取值范圍        .【答案】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用，將用表示，再根據(jù)線性規(guī)劃即可得出答案.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，則，則，因?yàn)?/span>是的重心，所以，即，直線的方程為，即，設(shè)，P在內(nèi)部（不含邊界），，因?yàn)?/span>，即所以，所以，則，令，則，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了向量中的最值問題，建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算和把點(diǎn)的位置用不等式組體現(xiàn)是解題的關(guān)鍵. 四、雙空題16．如圖，在平面凸四邊形中，為對(duì)角線的中點(diǎn).若.則       ，       .【答案】     3     【分析】設(shè)，則，由，利用余弦定理建立，解方程即可得到答案；在中，由余弦定理即可算得.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?/span>，P為AC的中點(diǎn)，所以，，，又，所以，即，代入數(shù)據(jù)有，解得，所以；在中，由余弦定理得，，所以.故答案為：3；.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題. 五、解答題17．已知，為銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正弦二倍角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為銳角，，所以，則；（2）由于，為銳角，則，又，所以.18．在中，，點(diǎn)D在邊上，.(1)若，求的值，(2)若，且點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，求的值.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；（2）作出輔助線，得到，由余弦定理求出，從而求得答案.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)均符合要求；（2）在中，過D作的平行線交于E，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，在中，，又，所以.由余弦定理得：，所以，所以或（舍去），故.19．如圖，在中，已知，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，滿足(1)當(dāng)時(shí)，求(2)是否存在非零實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值：若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)(2)存在非零實(shí)數(shù)，使得 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，、分別是，的中點(diǎn)，則、，然后根據(jù)已知條件即可求解；（2）假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使得，利用、為基底分別表示出和，由求出值即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，、分別是，的中點(diǎn)，，，；（2）解：假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使得，由，得，；又，；，解得或（不合題意，舍去），所以存在非零實(shí)數(shù)，使得．20．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）、.【分析】（1）由圖象可得出函數(shù)的最小正周期的值，可求出，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，結(jié)合的取值范圍可求得的值，由可求得的值，綜合可得出函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)圖象變換求得，求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，再與定義域取交集可得結(jié)果.【詳解】（1）由圖可得函數(shù)的最小正周期為，所以，， ，則，，則，，則，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，所以，；（2）由題意可得，令，，得，，記，則.因此，函數(shù)在上的增區(qū)間是、.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.21．如圖，正方形ABCD邊長為5，其中AEF是一個(gè)半徑為4的扇形，在弧EF上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過Q作正方形邊長BC，CD的垂線分別交BC，CD于G，H，設(shè)，長方形QGCH的面積為S.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求的最大值.【答案】（1），；（2）5.【分析】（1）先根據(jù)題意計(jì)算在豎直方向上和水平方向上的投影的長度，即可計(jì)算的長度，計(jì)算長方形QGCH的面積再化簡即得結(jié)果；（2）先換元，確定新元的范圍和函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即得結(jié)果.【詳解】解：⑴，則在豎直方向上的投影的長度為，在水平方向上的投影長度為，故，，，，整理得：，；（2），，令，即，平方可得，當(dāng)時(shí)，可求得.，， 根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求含有正余弦函數(shù)的和（或差）及乘積的函數(shù)求最值（范圍）時(shí)，常進(jìn)行三角換元，令和（或差）為新變量，形成二次函數(shù)，求二次函數(shù)最值（范圍）即可.22．已知函數(shù)（且）.(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，若存在，求a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析.(2).(3)存在，，. 【分析】（1）求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的奇偶性的定義可得證；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（3）由的定義域得，分，，討論函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組求解即可.【詳解】（1）解：函數(shù)是奇函數(shù). 證明如下：由，解得的定義域?yàn)?/span>.因?yàn)閷?duì)任意的，都有，且，所以，是奇函數(shù).（2）解：當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?/span>的定義域是，所以，所以，，所以，所以，的值域是.（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?/span>，又，且，由的定義域得，所以.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以無解.（或者因?yàn)?/span>，所以，所以無解），故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)a，b滿足題意.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得或（舍），.綜上，存在實(shí)數(shù)，. 

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