2021-2022學(xué)年浙江省衢州市開(kāi)化中學(xué)高一下學(xué)期5月教學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（   ）A．. B． C． D．【答案】D【分析】先解一元二次不等式求得集合，再解含絕對(duì)值的不等式求得集合，然后結(jié)合交集的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：D.2．若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】，則，因此，的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3．若，，的標(biāo)準(zhǔn)差為2，則，，……，的標(biāo)準(zhǔn)差是（    ）A．18 B．7 C．6 D．2【答案】C【分析】設(shè)，，的平均數(shù)為，則有，方差為，可求得，，……，的平均數(shù)以及方差，進(jìn)而求得標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】設(shè)，，的平均數(shù)為，則有，方差為.故，，……，的平均數(shù)為，因此，，，……，的方差是，所以，，……，的標(biāo)準(zhǔn)差是6.故選：C.4．將一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，球體最大體積的直徑為棱長(zhǎng)，利用球的體積公式即可求解.【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為3cm，所以球體最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的內(nèi)切球、球的體積公式，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國(guó)的三大產(chǎn)業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三產(chǎn)業(yè)中的各個(gè)行業(yè)都面臨著很大的營(yíng)收壓力.2020年7月國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了我國(guó)上半年國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，如圖所示：圖1為國(guó)內(nèi)三大產(chǎn)業(yè)比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重.以下關(guān)于我國(guó)上半年經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的說(shuō)法正確的是（    ）A．第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值與第三產(chǎn)業(yè)中“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平B．第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值超過(guò)第三產(chǎn)業(yè)中“房地產(chǎn)業(yè)”的生產(chǎn)總值C．若“住宿餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為32500億元D．若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為166500億元【答案】D【分析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】對(duì)于A，57%×6%=3.42%<6%，錯(cuò)誤；對(duì)于B，57%×13%=7.41%>6%，錯(cuò)誤； 對(duì)于C，（億），錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)題意，第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為億元，正確.故選：D.6．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的周期求出的值，利用逆向變換將函數(shù)的圖象向左平行個(gè)單位長(zhǎng)度，得出函數(shù)的圖象，根據(jù)平移規(guī)律得出的值.【詳解】由于函數(shù)的周期為，，則，利用逆向變換，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，所以，因此，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的計(jì)算，同時(shí)也考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，本題利用逆向變換求函數(shù)解析式，可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7．定義在R上的函數(shù)滿足，則（      ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式求解出周期，利用周期求值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，兩式相加可得，即∴，∴.故選：D.8．設(shè)，則的最小值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】變形為，利用基本不等式求解.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)和，即時(shí)取等號(hào)，故選：D. 二、多選題9．下列命題是真命題的是（    ）A．， B．，C．， D．方程的實(shí)根有三個(gè)【答案】CD【分析】利用命題的定義，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由反函數(shù)的性質(zhì)可知，由于與的圖象關(guān)于對(duì)稱，且的圖象恒在圖象的下方，所以恒成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，即恒成立，故C正確；對(duì)于D，與有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選:CD.10．已如直線平面，直線平面，則下列命題正確的是（    ）A． B．C． D．與不相交【答案】ACD【分析】根據(jù)空間中的線面關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可求解【詳解】解：對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€平面，，所以直線平面，又直線平面，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€平面，，直線平面，所以與平行或與相交或與異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€平面，，所以直線平面，又直線平面，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€平面，，所以直線平面或直線平面，即直線與不相交，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.11．已知函數(shù)，則（    ）A．最小正周期為 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．最大值為【答案】BC【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式、二倍角公式和輔助角公式求出，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)依次求出最小正周期、最大值、對(duì)稱軸和單調(diào)減區(qū)間即可.【詳解】，所以函數(shù)的最小正周期為，最大值為，故AD錯(cuò)誤；令，即對(duì)稱軸為，故B正確；令，解得，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，又，所以在上單調(diào)遞減，故C正確.故選：BC.12．已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則四邊形ABDC為菱形B．向量在向量上的投影向量為C．若，E，F分別滿足，則D．若點(diǎn)G為三角形ABC的重心，則【答案】AB【分析】A由已知有、即可判斷；B根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義及投影向量的定義求結(jié)果；C、D由、、、分別求出坐標(biāo)，再應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】A：由，則，故且，同理且，又，則四邊形ABDC為菱形，正確；B：在上的投影向量為，正確；C：由A知：四邊形ABDC為菱形，則 ，，所以，錯(cuò)誤；D：由G為三角形ABC的重心，則，故，，故，所以，錯(cuò)誤.故選：AB 三、填空題13．求值：__________．【答案】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.14．如下圖，是用“斜二測(cè)畫法”畫出的直觀圖，其中，，那么的周長(zhǎng)是__________．【答案】【分析】結(jié)合斜二測(cè)直觀圖的畫法原則可得，從而可得到，進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng).【詳解】斜二測(cè)直觀圖的畫法原則，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減半，所以，又因?yàn)?/span>，所以，因此的周長(zhǎng)為，故答案為：.15．《蒙娜麗莎》是意大利文藝復(fù)興時(shí)期畫家列奧納多·達(dá)·芬奇創(chuàng)作的油畫，現(xiàn)收藏于法國(guó)盧浮宮博物館．該油畫規(guī)格為縱，橫．油畫掛在墻壁上時(shí)，其最低點(diǎn)處離地面（如圖所示）．有一身高為的游客從正面觀賞它（該游客頭頂到眼睛的距離為），設(shè)該游客與墻的距離為，視角為，為使觀賞視角最大，則應(yīng)為______．【答案】cm【分析】設(shè)，在直角三角形中表示出和，結(jié)合兩角和正切公式求出，利用基本不等式即可求得觀賞視角最大時(shí)x的值.【詳解】如圖，作垂直于的延長(zhǎng)線，垂足為D,則 ， 設(shè),則,,即，解得，因?yàn)?/span> 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí)觀賞視角最大，此時(shí)cm,故答案為：cm.16．已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】易知單調(diào)遞增，且，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，又，所以不等式對(duì)恒成立，即不等式對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，而對(duì)于，，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為： 四、解答題17．已知向量，，，．（1）求的最小值及相應(yīng)的t值；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)t．【答案】（1）最小值為，；（2）．【分析】（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算公式計(jì)算，再由二次函數(shù)求最值即可；（2）由平面向量共線的充要條件列方程解得可得．【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，，所以，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，此時(shí)．（2）因?yàn)?/span>，又與共線，，所以，解得．18．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．(1)證明：∥平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2). 【分析】（1）連結(jié)，先證明四邊形為平行四邊形，可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論.（2）過(guò)C作的垂線，垂足為H，證明平面，說(shuō)明的長(zhǎng)為C到平面的距離，解直角三角形即可求得答案.【詳解】（1）證明∶連結(jié)，∵分別是 的中點(diǎn),∴,且 ，∵N為的中點(diǎn)，∴ ，由題設(shè)知 ，即四邊形為平行四邊形， ∴ ，∴ ，∴四邊形為平行四邊形，故，∵ 平面，平面，∴平面．（2）過(guò)C作的垂線，垂足為H，由已知可得四邊形為菱形，，，連接 則為等邊三角形，而E為的中點(diǎn),所以 ，又因?yàn)?/span>平面，平面， 所以 ，平面 ，∴平面,又平面, ∴，而,平面 ,所以平面，∴的長(zhǎng)為C到平面的距離，由已知得所以點(diǎn)C到平面的距離為 .19．2021年中國(guó)共產(chǎn)黨迎來(lái)了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校為學(xué)生組織了系列學(xué)黨史活動(dòng)．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了1名同學(xué)進(jìn)行黨史知識(shí)測(cè)試，滿分100分，并將這名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)按，，，，分成5組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖．已知測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生為70人．（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）為獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)勝者，學(xué)校將對(duì)本次測(cè)試成績(jī)排在前40%的學(xué)生發(fā)放獎(jiǎng)品，若某學(xué)生獲得了獎(jiǎng)品，請(qǐng)估算一下該學(xué)生的成績(jī)至少達(dá)到多少分；（3）學(xué)校組織黨史知識(shí)測(cè)試設(shè)定的預(yù)案是：以抽取的樣本作為參考，若學(xué)生的平均成績(jī)不低于80分，只需發(fā)放下一步學(xué)習(xí)資料，否則要舉辦黨史知識(shí)大講堂加強(qiáng)學(xué)習(xí)．請(qǐng)根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，估計(jì)該校是否需要舉辦黨史知識(shí)大講堂，并說(shuō)明理由．（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）【答案】（1）200，；（2）86分；（3）按照學(xué)校的預(yù)案，只需要發(fā)放學(xué)習(xí)資料即可，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）頻數(shù)除以頻率等于樣本容量求出，利用頻率和為1列方程計(jì)算的值；（2）轉(zhuǎn)化為求第60百分位數(shù)；（3）估計(jì)平均數(shù)，并與80進(jìn)行比較．【詳解】（1）由已知條件可得，由頻率和為1得，解得．（2）因?yàn)?/span>，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)，因?yàn)?/span>，，所以第60百分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)該生得分最低為，則，解得，所以估計(jì)該生的得分至少達(dá)到86分.（3）由頻率分布直方圖可得，因?yàn)?/span>，所以按照學(xué)校的預(yù)案，只需要發(fā)放學(xué)習(xí)資料即可.20．在中，三個(gè)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合范圍，可得的值；（2）由已知利用三角形的面積公式可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求，的值，即可得解的周長(zhǎng)；【詳解】（1）由正弦定理知，已知條件可化為，又在中，所以，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以．（2）因?yàn)?/span>，所以，得，由知，，所以，，所以的周長(zhǎng)為．21．如圖，已知在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，.(Ⅰ)求與平面所成的角的正弦值；(Ⅱ)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)存在，.【分析】(Ⅰ) 取的中點(diǎn)，連結(jié)，利用題目條件說(shuō)明平面，再過(guò)點(diǎn)過(guò)作于點(diǎn)，連，通過(guò)證明平面來(lái)說(shuō)明與平面所成的角為，再在中求；(Ⅱ) 過(guò)作于點(diǎn)，連結(jié)，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)先證明，再根據(jù)要使得平面平面，則需，利用求出的長(zhǎng)，再由得，，可得.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)作于點(diǎn)，連，又因?yàn)?/span>，所以為的外心，又由，所以在平面上射影是的外心所以平面，所以平面平面，所以平面所以為與平面所成的角在中，，，在中，，在中，，，所以，故與平面所成的角的正弦值．(Ⅱ)過(guò)作于點(diǎn)，連結(jié)，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由(Ⅰ)得平面，又平面，所以，又，，都在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面，又平面，所以要使得平面平面，則需在中，，，所以，，在中，，由得，，所以．故棱上存在點(diǎn)，使得平面平面，且當(dāng)時(shí)有平面平面.22．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求a的最小值；(3)若，對(duì)任意均有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)1(3) 【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即關(guān)于x的方程在函數(shù)的定義域內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，列出不等式組，解之即可得解；（2）設(shè)對(duì)任意的，，且，利用作差法，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，分離參數(shù)即可得出答案；（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，分，兩種情況討論，從而可得出答案.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有兩個(gè)大于的不等實(shí)根，所以，，解得；（2）解：設(shè)對(duì)任意的，，且，.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以恒成立，因?yàn)?/span>，所以，，所以，因此a的最小值是1；（3）解：由（2）得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由，得，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以成立，②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以成立，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 

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