?專題5.1 有理數(shù)十六大必考點(diǎn)
【人教版】


【考點(diǎn)1 相反意義的量】 1
【考點(diǎn)2 有理數(shù)的概念及分類】 3
【考點(diǎn)3 相反數(shù)】 5
【考點(diǎn)4 絕對(duì)值】 6
【考點(diǎn)5 根據(jù)數(shù)軸化簡絕對(duì)值】 8
【考點(diǎn)6 相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)綜合】 11
【考點(diǎn)7 有理數(shù)的混合運(yùn)算】 12
【考點(diǎn)8 新定義中的有理數(shù)運(yùn)算】 16
【考點(diǎn)9 科學(xué)計(jì)數(shù)法】 18
【考點(diǎn)10 有理數(shù)乘方的應(yīng)用】 19
【考點(diǎn)11 有理數(shù)的大小比較】 21
【考點(diǎn)12 閱讀材料中的有理數(shù)運(yùn)算】 24
【考點(diǎn)13 有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 29
【考點(diǎn)14 正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 31
【考點(diǎn)15 有理數(shù)中的規(guī)律探究】 36
【考點(diǎn)16 數(shù)軸與絕對(duì)值、動(dòng)點(diǎn)的綜合探究】 40


【考點(diǎn)1 相反意義的量】
【例1】（河北省保定市新秀學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，則-50元表示（???）
A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元
【答案】A
【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的相反意義即可得出答案．
【詳解】解：收入100元記作+100元，則?50元表示支出50元，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量，正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（重慶市育才中學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果水庫的水位高于正常水位4m時(shí)，記作+4m，那么低于正常水位5m時(shí)，應(yīng)記作(???)
A．5m B．-5m C．+15m D．-15m
【答案】B
【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示，據(jù)此可求解．
【詳解】解：如果水庫的水位高于正常水位4m時(shí)，記作+4m，那么低于正常水位5m時(shí)，應(yīng)記作-5m．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，關(guān)鍵是掌握正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個(gè)為正，則和它意義相反的就為負(fù)．
【變式1-2】（山西省呂梁市交城縣2022-2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果電梯上升5米，記作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ．
【答案】電梯下降3米
【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
【詳解】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，
∵電梯上升5米，記作+5米，
∴-3表示電梯下降3米．
故答案為：電梯下降3米．
【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．
【變式1-3】（2022·全國·七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店西邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向西走了60米，此時(shí)小明的位置在（????）
A．文具店 B．玩具店 C．文具店西邊40米 D．玩具店西邊60米
【答案】A
【分析】根據(jù)題意以書店為原點(diǎn)，向東方向?yàn)檎剑?0米為單位長度，畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸分析即可得出答案．
【詳解】如圖，根據(jù)題意一書店為原點(diǎn)，向東方向?yàn)檎剑?0米為單位長度，畫出數(shù)軸，

則文具店表式的數(shù)是?20，玩具店所表示的數(shù)是?100，依題意，40?60=?20
故此時(shí)小明的位置在文具店
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，具有相反意義的量，有理數(shù)的加減的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸分析是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)2 有理數(shù)的概念及分類】
【例2】（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列有理數(shù)填入它所屬于的集合圈內(nèi)．
?34，1，3.5，0，?2，4

【答案】見解析
【分析】利用負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、正整數(shù)和非負(fù)數(shù)的定義即可區(qū)分作答．
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、正整數(shù)和非負(fù)數(shù)的的定義，理解相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．注意：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都屬于分?jǐn)?shù)即他們都是有理數(shù)．
【變式2-1】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在23，?4.3，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，π2中，非負(fù)有理數(shù)的數(shù)有___________________．
【答案】23，0.25，0，1.23
【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義及分類：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，逐個(gè)判定即可得到結(jié)論．
【詳解】解根據(jù)有理數(shù)的定義及分類可知，23符合題意；?4.3是負(fù)數(shù)，不合題意；0.25符合題意；0符合題意；1.23符合題意；1.01001000100001…是無理數(shù)，不合題意；π2是無理數(shù)，不合題意；
故答案為：23，0.25，0，1.23．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的定義及分類，掌握有理數(shù)的分類是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·黑龍江·肇源縣超等蒙古族鄉(xiāng)學(xué)校期中）在下列數(shù)中：?|?3|，0.23，(?2)2，0，(?3)3，??20062，?15，??10.2，該正整數(shù)的個(gè)數(shù)為m，非負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為n，則m?n的值為________．
【答案】?2
【分析】根據(jù)正整數(shù)的概念知所給數(shù)中(?2)2，??20062，??10.2為正整數(shù)，得到m=3；根據(jù)非負(fù)數(shù)的概念知所給數(shù)中0.23，(?2)2，0，??20062，??10.2為非負(fù)數(shù)，得到n=5，代入求值即可．
【詳解】解：?|?3|=?3，0.23，(?2)2=4，0，(?3)3=?27，??20062=20062，?15，??10.2=5，
∴正整數(shù)有：(?2)2，??20062，??10.2，即m=3，
非負(fù)數(shù)有：中0.23，(?2)2，0，??20062，??10.2，即n=5，
∴m?n=3?5=?2，
故答案為：?2．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，掌握有理數(shù)概念及分類是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·陜西·白水縣田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：
15，?19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3·，π，80%，5．
(1)分?jǐn)?shù)集合{　 　…}；
(2)自然數(shù)集合{　 　…}；
(3)非正整數(shù)集合{　 　…}；
(4)非負(fù)有理數(shù)集合{　 　…}．
【答案】(1)﹣19，215，﹣5.32，2.3，80%
(2)15，0，5
(3)﹣5，0
(4)15，215，0，2.3，80%，5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)定義及分類方法解答即可．
（1）
解：分?jǐn)?shù)集合{﹣19，215，﹣5.32，2.3，80%}；
故答案為：﹣19，215，﹣5.32，2.3，80%；
（2）
解：自然數(shù)集合{15，0，5}；
故答案為：15，0，5；
（3）
解：非正整數(shù)集合{﹣5，0}；
故答案為﹣5，0；
（4）
解：非負(fù)有理數(shù)集合{15，215，0，2.3，80%，5}；
故答案為：15，215，0，2.3，80%，5．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟記有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 相反數(shù)】
【例3】（2022·黑龍江·同江市第三中學(xué)七年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（　?。?br /> A．2與12 B．（﹣1）2與1 C．﹣1與（﹣1）2 D．2與|﹣2|
【答案】C
【分析】兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0，可對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，看選項(xiàng)中的兩個(gè)數(shù)和是否為0，如果和為0，則那組數(shù)互為相反數(shù)．
【詳解】解：A、2+12＝52；
B、（﹣1）2+1＝2；
C、﹣1+（﹣1）2＝0；
D、2+|﹣2|＝4．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查相反數(shù)的定義及性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0,以及有理數(shù)的加法計(jì)算法則．
【變式3-1】（2022·河北保定·七年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)是_____．

【答案】A和C．
【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．
【詳解】解：由題意得：點(diǎn)A表示的數(shù)為：2，點(diǎn)B表示的數(shù)為：1，點(diǎn)C表示的數(shù)為：-2，點(diǎn)D表示的數(shù)為：-3，
則A與C互為相反數(shù)，
故答案為：A和C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和相反數(shù)的定義，知道數(shù)軸上某點(diǎn)表示的數(shù)，并熟練掌握相反數(shù)的定義即可．
【變式3-2】（2022·寧夏·銀川市第三中學(xué)七年級(jí)期中）下列各組數(shù)中：①﹣32與32；②（﹣3）2與32；③﹣（﹣2）與﹣（+2）；④（﹣3）3與﹣33；⑤﹣23與32，其中互為相反數(shù)的共有（　?。?br /> A．4對(duì) B．3對(duì) C．2對(duì) D．1對(duì)
【答案】C
【分析】兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0．本題可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，看選項(xiàng)中的兩個(gè)數(shù)和是否為0，如果和為0，則那組數(shù)互為相反數(shù)．
【詳解】解：根據(jù)相反數(shù)的定義可知：①﹣32與32；③﹣（﹣2）與﹣（+2）互為相反數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查相反數(shù)的概念．解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的概念，明確兩數(shù)互為相反數(shù)，它們的和為0．
【變式3-3】（2022·山東威?！て谥校┤鬽，n互為相反數(shù)，則下列各組數(shù)中不是互為相反數(shù)的是（　　）
A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n
【答案】B
【詳解】分析：直接利用互為相反數(shù)的定義分析得出答案．
詳解：A、∵m，n互為相反數(shù)，
∴-m和-n也是互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵m，n互為相反數(shù)，
∴m+1和n+1不是互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)正確；
C、∵m，n互為相反數(shù)，
∴m+1和n-1是互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)正確；
D、∵m，n互為相反數(shù)，
∴5m和5n也是互為相反數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選B．
點(diǎn)睛：此題主要考查了互為相反數(shù)，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)4 絕對(duì)值】
【例4】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）若|a|=12，且a

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