2022-2023學年重慶市部分區(qū)高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據交集定義直接求解即可.【詳解】，，.故選：A.2．設命題，則的否定為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據含有一個量詞的命題的否定，即可得到答案.【詳解】由題意可知命題為特稱命題，其否定為全稱命題，即“”，故選：B.3．已知隨機變量的期望為，則（    ）A．9 B．11 C．27 D．29【答案】B【分析】根據期望的性質計算可得.【詳解】因為，所以.故選：B4．已知，下列不等式中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的性質和基本不等式即可判斷.【詳解】因為，所以，故A錯誤；令，則，故B錯誤；令，則，，，故C錯誤；因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：D5．實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是決勝全面建成小康社會、全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的重大歷史任務，是新時代做好“三農”工作的總抓手，某區(qū)聘請5名農業(yè)專家安排到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)作指導，每名專家只安排到一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排一名專家，其中專家和必須去同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的安排方案的種數(shù)是（    ）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【分析】依題意可知每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)可能是、、或、、，先分組再分配.【詳解】依題意每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)可能是、、或、、，若是、、，則有種安排方法；若是、、，則有種安排方法；綜上可得一共有種安排方法.故選：D6．“”是“函數(shù)有極值”的（   ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據函數(shù)有極值，即有變號零點，即可得到，從而求出的取值范圍，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：若函數(shù)有極值，則有變號零點，即，解得；所以由推不出函數(shù)有極值，故充分性不成立，由函數(shù)有極值推得出，故必要性成立，所以“”是“函數(shù)有極值”的必要不充分條件；故選：B.7．一個盒子里裝有6個小球，其中4個是黑球，2個是白球，現(xiàn)依次一個一個地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則不正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式及條件概率的概率公式計算可得；【詳解】對于A：事件表示“第次取出的球是黑球”，則，所以A正確；對于B：事件表示“第，次取出的球都是黑球”，則，所以B正確；對于C：，所以C錯誤，對于D：，，，所以，故D正確．故選：C．8．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造函數(shù)，對求導，結合導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合單調性即可比較函數(shù)值大?。?/span>【詳解】令，則，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，因為，所以，又，所以，所以，，所以，故．故選：B 二、多選題9．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據初等函數(shù)的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)在上為減函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)在上為增函數(shù)，符號題意；對于C中，函數(shù)，當，可得，在上為增函數(shù)，符合題意；對于D中，函數(shù)在上為減函數(shù)，不符合題意．故選：BC.10．下列命題正確的是（    ）A．當時，當且僅當事件與相互獨立時，有B．隨機變量服從兩點分布，則C．在殘差圖中，殘差比較均勻的分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內且水平帶狀區(qū)域寬度越窄，其模型的擬合效果越好D．已知由一組樣本數(shù)據得到的經驗回歸方程為，，則這組數(shù)據中一定有【答案】AC【分析】由相互獨立事件的定義即可判斷A；求出兩點分布的方差可判斷B；由殘差圖的意義可判斷C；由回歸方程的求解過程及含義可判斷D.【詳解】對于A，因為，，即，所以事件與相互獨立；反之，若事件與相互獨立，則有，則，即亦有，故A正確；對于B，若隨機變量服從兩點分布，則，，，所以，故B錯誤；對于C，在殘差圖中，殘差比較均勻的分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內且水平帶狀區(qū)域寬度越窄，說明預測值與實際值越接近，即其模型的擬合效果越好其模型的擬合效果越好，故C正確；對于D，依題意，這組數(shù)據的中心即為，回歸直線方程必過樣本中心，但不表示這組數(shù)據中一定有，故D錯誤.故選：AC11．“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．則下列命題中正確的是（    ）  A．B．在“楊輝三角”第7行中，從左到右第5個數(shù)與第6個數(shù)之比為C．D．第10行所有數(shù)字的平方和為【答案】ACD【分析】對于，利用題中條件可直接判斷正確，也可利用組合數(shù)模型去證明；對于，先找到“楊輝三角”第7行中，從左到右第5個數(shù)與第6個數(shù)，利用組合數(shù)公式計算即可；對于，利用組合數(shù)公式計算即可；對于,兩種方法表達中的系數(shù)，可判斷.【詳解】對于，由題中條件，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，可判斷出正確；也可利用排列組合的思想進行證明：設個元素分別為其個元素的組合就來看可以分成兩類.（1）組合中含有元素,這一類組合可以看作除外從剩下的個元素中再選個元素，其組合個數(shù)為（2）組合中不含有元素,這一類組合可以看從剩下的個元素中選個元素，其組合個數(shù)為根據加法原理，有對于，因為在“楊輝三角”第7行中，從左到右第5個數(shù)與第6個數(shù)分別為，又，故錯誤；對于，,故，故正確；對于，在“楊輝三角”中，第行所有數(shù)字的平方和恰好是第行的中間一項的數(shù)字，數(shù)學語言表達為：證明如下：對應相乘可得的系數(shù)為又利用二項式定理可得通項公式為，當時，的系數(shù)為故正確.故選：12．若，且滿足，則下列結論正確的是（    ）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】對于選項A，B，C根據基本不等式即可得出，對于選項D，根據已知消元后利用基本不等式即可求解.【詳解】對于A，B，因為，，所以，則，即，得或（舍），則，當且僅當等號成立，所以A錯誤，B正確.對于C，因為，，所以，則，即，得或（舍），則，當且僅當等號成立，所以C正確.對于D，因為，，即，則，所以，則，所以，則，當且僅當，即時等號成立，所以D正確. 故選：BCD. 三、填空題13．已知函數(shù)，則的定義域為          ．【答案】【分析】根據根式和對數(shù)式的限制條件可得答案.【詳解】因為，所以，解得，所以的定義域為.故答案為：14．曲線的一條切線的斜率為1，則該切線的方程可以是          （寫出一個滿足要求的答案）．【答案】（答案不唯一）【分析】設切點為，求出導數(shù)，利用斜率為1求出切點即可求出切線方程.【詳解】設切點為，因為，且切線的斜率為1，所以，則或，所以或，不妨取，則，所以切線方程為，即.故答案為：（答案不唯一）.15．某企業(yè)的一批產品由一等品零件、二等品零件混裝而成，每包產品均含有10個零件，小張到該企業(yè)采購，利用如下方法進行抽檢；從該企業(yè)產品中隨機抽取1包產品，再從該包產品中隨機抽取5個零件，若抽取的零件都是一等品，則決定采購該企業(yè)產品；否則，拒絕采購．假設該企業(yè)這批產品中，每包產品均含1個或2個二等品零件，其中含2個二等品零件的包數(shù)占，則小張決定采購該企業(yè)產品的概率為          ．【答案】【分析】根據題意，分析可得含1個二等品零件的包數(shù)占，進而由古典概型和全概率的計算公式即可求得結果.【詳解】根據題意，該企業(yè)這批產品中，含2個二等品零件的包數(shù)占，則含1個二等品零件的包數(shù)占，在含1個二等品零件產品中，隨機抽取5個零件，若抽取的5個零件都是一等品，其概率為，在含2個二等品零件產品中，隨機抽取5個零件，若抽取的5個零件都是一等品，其概率為，則小張決定采購該企業(yè)產品的概率，故答案為：.16．偶函數(shù)定義域為，其導函數(shù)為，若對，有成立，則關于的不等式的解集為          ．【答案】【分析】令，，依題意可得為偶函數(shù)且在上單調遞減，根據函數(shù)的奇偶性與單調性將函數(shù)不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】令，，因為定義域為上的偶函數(shù)，所以，則，即為偶函數(shù)，又，因為對，有成立，所以當時，即在上單調遞減，則在上單調遞增，又，所以，則不等式等價于，即，即，所以，解得或，所以不等式的解集為.故答案為： 四、解答題17．在下列條件中①第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，②只有第6項的二項式系數(shù)最大，③任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知在展開式中，__________．(1)求的值；(2)若其展開式中的常數(shù)項為405，求其展開式中所有項的系數(shù)的和．【答案】(1)(2)1024 【分析】（1）若選①，則根據組合數(shù)的公式可求出的值；若選②，則根據二項式系數(shù)的性質可求出的值；若選③，則根據所有項的二項式系數(shù)公式可求出的值；（2）由（1）可得二項式為，然后寫出二項式展開式的通項公式，再結合常數(shù)項為405，可求出的值，再令可求出其展開式中所有項的系數(shù)的和．【詳解】（1）若選①，因為第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，即，所以根據組合數(shù)公式可知，若選②，因為只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以可知共有11項，所以，若選③，因為，所以，得，（2）由（1）可知二項式為，則其通項公式為，由，得，所以常數(shù)項為，因為展開式中的常數(shù)項為405，所以，解得或（舍去），所以二項式為，所以其展開式中所有項的系數(shù)的和18．黨的二十大報告明確提出，要積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和，有計劃分步驟實施碳達峰行動在國家“雙碳”戰(zhàn)略的指引下，某地相關部門出臺了一系列支持新能源汽車產業(yè)發(fā)展的政策和購車優(yōu)惠補貼，帶動新能源汽車銷量跑出“速度與激情”經調查統(tǒng)計，某新能源汽車公司的銷售量逐步提高，如圖所示，該新能源汽車公司在2023年1~5月份的銷售量y（單位：萬輛）與月份x的折線圖．    (1)依據折線圖計算x，y的相關系數(shù)r，并推斷它們的相關程度；(2)請建立關于的經驗回歸方程，并預測2023年8月份的銷售量．參考數(shù)據及公式：相關系數(shù)．在經驗回歸方程中，．【答案】(1)，變量x，y具有較強的線性相關性，(2)，預測2023年8月份的銷售量約為萬輛. 【分析】（1）由已知數(shù)據，結合相關系數(shù)公式求相關系數(shù)，由此判斷線性相關程度；（2）根據參考公式求出回歸方程的系數(shù)，由此可得回歸方程.【詳解】（1）設表示第個月的月份數(shù)，表示第個月的銷售量，，則，，，，所以，，，，，所以，所以變量x，y具有較強的線性相關性，（2）由（1）可得，，所以關于的經驗回歸方程為，所以當時，，所以由經驗回歸方程可以預測2023年8月份的銷售量約為萬輛.19．某校高二年級為研究學生數(shù)學成績與語文成績的關系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從高二學生中抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據整理如下： 語文成績優(yōu)秀語文成績不優(yōu)秀總計數(shù)學成績優(yōu)秀50  數(shù)學成績不優(yōu)秀 80 總計   已知從這200名高二學生中隨機抽取1人語文成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為．(1)請完成如上的列聯(lián)表；(2)根據的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關聯(lián)？(3)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比．現(xiàn)從該校學生中任選一人，表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學生數(shù)學成績不優(yōu)秀”．請利用樣本數(shù)據，估計的值．附：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)數(shù)學成績與語文成績有關(3) 【分析】（1）先求出語文成績優(yōu)秀的人數(shù)，然后結合表中的數(shù)據可完成列聯(lián)表；（2）利用公式計算，然后根據臨界值表進行判斷；（3）根據條件概率公式求解即可.【詳解】（1）因為從這200名高二學生中隨機抽取1人語文成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為，所以高二學生中語文成績優(yōu)秀的有人，所以列聯(lián)表如下： 語文成績優(yōu)秀語文成績不優(yōu)秀總計數(shù)學成績優(yōu)秀503080數(shù)學成績不優(yōu)秀4080120總計90110200（2）因為，所以根據小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，所以認為數(shù)學成績與語文成績有關.（3）因為，所以的值為.20．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】(1)極小值，無極大值.(2)當時，函數(shù)沒有零點；當或時，函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)有2個零點. 【分析】（1）根據題意得出，然后分別令以及，通過計算即可得出函數(shù)的單調性，進而求出結果；（2）可將轉化為，記，求出函數(shù)的單調性以及最值，最后根據函數(shù)的單調性以及最值，然后數(shù)形結合可得出結果.【詳解】（1）當時，，，令，則；令，則；故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)取極小值，無極大值.（2）令，因為，所以，記，有，令，則；令，則，故在上單調遞增，在上單調遞減，從而，因此當時，直線與的圖像沒有交點；當或時，直線與的圖像有1個交點；當時，直線與的圖像有2個交點.綜上：當時，函數(shù)沒有零點；當或時，函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)有2個零點.21．2023年五一期間，某商城舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過1萬元（含1萬元），均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種．方案一：從裝有10個形狀與大小完全相同的小球（其中紅球3個，白球2個，黑球5個）的抽獎盒中，一次性摸出3個球，其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅球和1個白球，則打5折；若摸出2個紅球和1個黑球，則打7折；若摸出1個紅球2個黑球，則打8.8折；其余情況不打折；方案二：從裝有10個形狀與大小完全相同的小球（其中紅球2個，黑球8個）的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減1500元．(1)若一位顧客消費了1萬元，且選擇抽獎方案一，試求該顧客享受7折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費怡好滿1萬元，試分析該顧客選擇哪種抽獎方案更合算，并說明理由．【答案】(1)(2)該顧客選擇第一種抽獎方案更合算. 【分析】（1）方案一若享受到折，需要摸出2個紅球和1個黑球，由此可計算出概率；（2）選擇方案一，付款金額元可能的取值為5000、7000、8800、10000，分別計算出概率的分布列，計算出期望．選擇方案二，設摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則得關系式，由，可得，再計算出，比較后可得．【詳解】（1）選擇方案一若享受到7折，則需要摸出2個紅球和1個黑球，設顧客享受到折為事件，則．（2）若選擇方案一，設付款金額為元，則可能的取值為5000、7000、8800、10000，，，，．故X的分布列為，50007000880010000所以（元）若選擇方案二，設摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則， 由已知可得，故，所以（元）因為，所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算．22．已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)設，其中，若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)單調遞減為，單調遞增為.(2) 【分析】（1）求出的定義域和導函數(shù)的零點，判斷在相應區(qū)間上導函數(shù)的符號即可求解.（2）由恒成立得恒成立，令可得恒成立，構造函數(shù)，求出的最大值即可求解.【詳解】（1）的定義域為，，令，得，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2），定義域為，令，，所以在上單調遞增，而當趨向于1時，趨向負無窮；趨向正無窮時，趨向正無窮，故，由恒成立，，得，即，恒成立，令，則，令，得，時，，單調遞增，時，，單調遞減，所以，所以，解得.所以的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題第（2）小題關鍵是由恒成立，得恒成立，換元令可轉化為恒成立，構造函數(shù)求出其最大值即可求解，可減少復雜的隱零點運算. 

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