注意事項：
1．考試時間：120分鐘，滿分：150分．試題卷總頁數(shù)：4頁．
2．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效．
3．需要填涂的地方，一律用2B鉛筆涂滿涂黑．需要書寫的地方一律用0.5mm簽字筆．
4．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合B，結(jié)合并集的概念與運算即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以.
故選：A.
2. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】舉例說明即可判斷選項ABD，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C.
【詳解】A：若，當(dāng)時，，故A錯誤；
B：若，有，不滿足，故B錯誤；
C：若，則，即，故C正確；
D：若，有，不滿足，故D錯誤.
故選：C.
3. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得到答案.
【詳解】命題“，”的否定是：，.
故選：A
4. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域得到不等式，解得答案.
【詳解】定義域滿足，解得且.
故選：D.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用誘導(dǎo)公式計算得到答案.
【詳解】.
故選：B
6. 角的終邊與單位圓O相交于點P，且點P的橫坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)定義以及同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可知，
又，則.
故選：A
7. 函數(shù)，則（ ）
A. 3B. 2C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入計算即可．
【詳解】由分段函數(shù)解析式得，，
故選：C．
8. 若正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等式計算得出1，再結(jié)合常值代換求和的最值，計算可得最大值.
【詳解】
,
.
故選:D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
9. 已知函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】確定函數(shù)有兩個零點，計算，，，，得到答案.
【詳解】，，故函數(shù)有兩個零點，
，，故上有零點；
，，故上有零點；
故零點所在的區(qū)間為，.
故選：AD
10. 設(shè)，則的一個必要不充分條件可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由必要不充分條件的定義逐一判斷，找出能使是其真子集的范圍即可.
【詳解】根據(jù)題意可知，需滿足是該條件范圍的真子集，
經(jīng)逐一檢驗可知BD符合題意
故選：BD
11. 已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 為第二象限角B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算求解即可判斷各選項.
【詳解】由同角三角函數(shù)平分關(guān)系可得，
，因為，所以，解得，,
因為，所以是第二象限角，故選項，正確，
有同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得，，故選項錯誤，
因為，故選項正確.
故選：.
12. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中不正確的是（ ）
A. 是上的增函數(shù)B.
C. 的值域是D. 的值域是
【答案】ABC
【解析】
【分析】舉反例得到ABC錯誤，變換，確定，得到答案.
【詳解】對選項A：，，
，錯誤；
對選項B：，錯誤；
對選項C：，錯誤；
對選項D：，，，
的值域是，正確；
故選：ABC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知冪函數(shù)圖像經(jīng)過和，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)，結(jié)合經(jīng)過，求出，再將代入，即可求解．
【詳解】設(shè)，由經(jīng)過，則，解得，
所以，則，
故答案為：．
14. 已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的面積為___．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的弧長公式求出半徑，再計算扇形的面積．
【詳解】扇形的圓心角為，弧長為，
則扇形的半徑為r4，
面積為Slrπ×4＝2．
故答案為2．
【點睛】本題考查了扇形的弧長與面積的計算問題，是基礎(chǔ)題．
15. 不等式對一切實數(shù)都成立，則取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】分類和兩種情況討論，對時，利用二次函數(shù)的圖像進行分析求解．
【詳解】當(dāng)時，，成立；
當(dāng)時，一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，
則，解得，即；
綜上所述，的取值范圍是，
故答案為：．
16. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則a的值為______；當(dāng)時，，若，則m的取值范圍是______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】由偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱可得，由偶函數(shù)性質(zhì)利用換元法解不等式即可得或，可求出m的取值范圍是.
【詳解】依題意可知，解得；
即當(dāng)時，，
解不等式可得或，又因為，可得，
當(dāng)時，可得,
解不等式可得或，又因為,可得；
所以可得或，
解得或，
即m的取值范圍是.
故答案為：；
四、解答題：本題共有6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可；
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可．
【小問1詳解】
原式．
【小問2詳解】
原式
．
18. 已知，集合，，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合，利用交集運算法則可得或；
（2）求出或，即可得
【小問1詳解】
易知或，
又；
或
【小問2詳解】
由（1）可知或，
因此可得或
19. 已知角滿足______．請從下列三個條件中任選一個作答．（注：如果多個條件分別作答，按第一個解答計分）．
條件①：角的終邊與單位圓的交點為；
條件②：角滿足；
條件③：角滿足．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）時，原式；時，原式；
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)定義以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可解得；
（2）將分母看成“1”，將表達式化為只含有的式子代入計算即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
條件①：因為角的終邊與單位圓的交點為，
可得，，由三角函數(shù)的定義可得
條件②：因為角滿足，
又因為，即可得
所以，可得
條件③：因為角滿足，又因為，
即，可得
又，∴，
即
【小問2詳解】
易知
由（1）可知：，
當(dāng)時，原式；
當(dāng)時，原式.
20. 已知函數(shù)．
（1）判斷的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）求在上的值域．
【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析
（2）在上為增函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義，求出定義域，代入即可得出判斷；
（2）直接根據(jù)單調(diào)性定義證明即可；
（3）結(jié)合的奇偶性與單調(diào)性，即可求出在上的值域．
【小問1詳解】
函數(shù)是奇函數(shù)．
的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，
所以在上是奇函數(shù)．
【小問2詳解】
在上為增函數(shù)；
證明：任取，
則
，
因為，所以，，，
則，即．
故在上為增函數(shù)．
【小問3詳解】
結(jié)合（1）（2）知在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，取得最小值，且最小值為
當(dāng)時，取得最大值，且最大值為
故在的值域為．
21. 2022年10月16日上午，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂開幕．二十大報告提出，全面推進鄉(xiāng)村振興，堅持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展，鞏固拓展脫貧攻堅成果．某地政府為深入推進鄉(xiāng)村振興，決定調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)．該地區(qū)現(xiàn)有260戶農(nóng)民，且都從事水果種植，平均每戶的年收入為3.5萬元．為增加農(nóng)民收入，當(dāng)?shù)卣疀Q定動員部分農(nóng)民從事水果加工．據(jù)測算，若動員戶農(nóng)民只從事水果加工，剩下的只從事水果種植，則從事水果加工的農(nóng)民平均每戶收入將為萬元，而從事水果種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高5x%．
（1）若動員x戶農(nóng)民從事水果加工后，要使從事水果種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農(nóng)民的總年收入，求x的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這260戶農(nóng)民中從事水果加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事水果種植的農(nóng)民的總收入，求a的最大值．
【答案】（1）
（2）22
【解析】
【分析】（1）依題意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范圍為；
（2）化簡表達式并利用基本不等式即可求出a的最大值為22.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知，需滿足，
化簡為，解得，
故x的取值范圍為
【小問2詳解】
由題意得
整理可得，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值10；所以，
即a的最大值為22
22. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且過點．
（1）求實數(shù)m和a的值；
（2）設(shè)，是否存在正實數(shù)t，使關(guān)于x的不等式對恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求得，從而可得解；
（2）由（1）可得，再用整體換元思想將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再分類討論，討論時和若時函數(shù)的單調(diào)性，從而可解決函數(shù)在上恒成立問題.
【小問1詳解】
因為是定義域為R的奇函數(shù)，
∴，∴，檢驗符合.
∴．
又因為過點，
∴ ，
∴
【小問2詳解】
由（1）得，
因為，令，∴，
記，∵函數(shù)在上恒成立，
∴（?。┤魰r，函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以為減函數(shù)，
則需函數(shù)恒成立，即恒成立．
由于對稱軸，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
∴恒成立，∴恒成立，則恒成立，
故合題意
（ⅱ）若時，則需在恒成立，則：
①
②
③
綜上所述：故存在正數(shù)，使函數(shù)在上恒成立
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二小問中，用換元法令，將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是關(guān)鍵，再利用分類討論思想解決函數(shù)不等式上恒成立的問題，本題考查了函數(shù)的奇偶性，整體換元以及分類討論思想，屬于較難題.

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